2.统计第二课.ppt

前一课回顾,1、讲述了经典粒子运动状态的描述方法经典粒子的运动状态可以用坐标和共轭动量精确描述，是轨道运动，可以用-空间空间中的一条相轨道表示。2、讲述了量子粒子运动状态（微观态）的描述方法量子粒子不是轨道运动，不能用坐标和共轭动量精确描述，而用一组量子数描述。3、讲述了系统微观状态的经典和量子描述经典系统的微观状态可以用-空间中的N个点表示；量子系统的微观状态由全同性和粒子服从的统计特性决定。对于定域系统，确定系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态；对于非定域系统，确定系统的微观运动状态归结为确定每一个量子态上的粒子数。4、讲述了等几率原理5、玻尔兹曼、玻色、费米系统的微观状态数目的计算,QUIZ,根据量子力学，处于长度为L的容器中的一维自由粒子的动量和能量都是分立的，可以用一个量子数n描述。请问：1、粒子的能级是否是简并的？如果是，能级的简并度是多少？2、如果粒子的运动空间L很大，粒子的动量和能量可以看成是准连续的。这时可以利用半经典近似。在不考虑自旋的情况下，如何求得粒子在能量为到d范围内的可能量子态数目？,Question：在能量准连续时，如何计算在部分空间中量子粒子的微观状态数目？,我们知道，在满足能量准连续条件时，描述r维自由粒子的一个运动状态需要空间中大小为hr的体积。对于，1、2、3为自由粒子，则分别为：h，h2，h3。所以，只要直到了所考虑的空间的体积，就可以按照下式计算可能的状态数目。,因此，关键是：如何计算所考虑的空间的体积。,根据空间的定义，其体积如下计算（以3维自由粒子为例，不限定坐标空间范围）：,3维自由粒子的一个运动状态所需要的相格大小为：h3这是由测不准原理确定的:(xpx)(ypy)(zpz)h3。,1、考虑在部分空间中，例如：对空间体积不作限定，仅对动量空间作限定：px,px+dpx;py,py+dpy;pz,pz+dpz。则所考虑的空间体积为：,2、考虑在空间中，对空间体积不作限定，仅对动量空间限定：ppdp，则空间的体积为？此时，应该换成球极坐标:,很明显，所考虑的那部分空间的体积应该等于ppdp的球壳的体积乘以空间体积V。,3、考虑在空间中，对空间体积不作限定，仅对能量范围限定：d，空间体积为多少？,我们应该记住空间的定义：由广义坐标和广义共轭动量构成。因此，在对空间体积不作限制的前提下，应当把对能量的限制范围转换成对动量的限制范围。,这样，我们把所考虑的能量在d之间的空间，转换成动量在ppdp之间的空间。因此所考虑的空间的体积应该等于下述球壳的体积乘以空间体积V。,计算中不考虑粒子的自旋的影响时,p,p,dp,在经典极限或者非简并条件(ll)下：,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响。,对于由量子粒子组成的近独立系统，对应于一个分布l，系统可能具有的微观状态数目受粒子的全同性以及粒子服从的统计特性影响：定域系统；非定域（玻色和费米）系统。,玻尔兹曼系统的特点：（1）粒子可以分辨；（2）每个量子态上占据的粒子数目无限制。玻色系统的特点：（1）粒子不可以分辨；（2）每个量子态上占据的粒子数目不受限制。,在经典极限或者非简并条件(ll)下：,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响。,在玻色和费米分布中，l个粒子占据能级l上l个量子态本来是关联的。在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远远小于1，粒子之间的关联（粒子遵循的统计特性之间的差异）可以忽略。但是，粒子的全同性仍然发挥影响：1/N!,玻尔兹曼系统的特点：（1）粒子可以分辨；（2）每个量子态上占据的粒子数目无限制。费米系统的特点：（1）粒子不可以分辨；（2）每个量子态只能被一个费米子占据。,在经典极限或者非简并条件(ll)下，玻色系统和费米系统的微观状态数目近似相等，且为玻尔兹曼系统微观状态数目的1/N!。,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响,针对玻色和费米系统，粒子的全同性是一致的，区别在于粒子遵守的统计特性。从上面可以看出，在经典极限条件下，统计特性带来的影响小到可以忽略不计了。但是，粒子的全同性仍然存在。否则，三种系统的微观状态数目就应该相等了。,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响,玻色、费米系统中粒子的全同性,经典极限条件,经典极限条件下粒子的全同性,0斜着眼睛对8说：“胖就胖唄，还束什么腰”,8笑着对0说：“瞧，我多苗条”,在经典极限或者非简并条件(ll)下，玻色系统和费米系统的微观状态数目近似相等，且为玻尔兹曼系统微观状态数目的1/N!。,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响,针对玻色和费米系统，粒子的全同性是一致的，区别在于粒子遵守的统计特性。从上面可以看出，在经典极限条件下，统计特性带来的影响小到可以忽略不计了。但是，粒子的全同性仍然存在影响。否则，三种系统的微观状态数目就应该相等了。,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响,玻色、费米系统中粒子的全同性,经典极限条件,经典极限条件下粒子的全同性,8笑着对0说：“瞧，我多苗条”,在经典极限或者非简并条件(ll)下，玻色系统和费米系统的微观状态数目近似相等，且为玻尔兹曼系统微观状态数目的1/N!。,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响,针对玻色和费米系统，粒子的全同性是一致的，区别在于粒子遵守的统计特性。从上面可以看出，在经典极限条件下，统计特性带来的影响小到可以忽略不计了。但是，粒子的全同性仍然存在影响。否则，三种系统的微观状态数目就应该相等了。,注意：系数1/N!是粒子全同性的影响,玻色、费米系统中粒子的全同性,经典极限条件,经典极限条件下粒子的全同性,0斜着眼睛对8说：“胖就胖唄，还束什么腰”,8笑着对0说：“瞧，我多苗条”,Ashortbreak.,6、玻尔兹曼、玻色、费米分布的导出,上一节讲述了对于一个已知的分布l，如何求得系统的微观状态数目。根据等几率原理，对于处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观态出现的几率相等。因此，微观状态数目最多的分布出现的概率最大。这种分布称为最概然分布。下面以玻尔兹曼分布为例，介绍最概然分布的导出。,首先，介绍一个近似等式：ln(m!)=m(lnm-1)。当m很大时，lnm!=ln1+ln2+lnm可以看成是lnx在1，m内的积分,上式就是著名的Stirling公式。,玻尔兹曼分布,Stirling公式的推导：,x,lnx,当m远远大于1时，上面矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以：,当m足够大时，上式中第二项同第一项相比较，可以忽略。因此，Stirling公式就可以用一级近似。即：,更为精确的Stirling公式：,玻尔兹曼系统的微观状态数目为,由于ln随着的变化使单调的，因此可以等价地讨论ln为极大地分布。两边取对数，有：,假设所有的l都很大，可以利用Stirling公式，有：,玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使系统对应于该分布所具有的微观状态数目最大。亦即：取极大值。,为此引入两个Lagrange乘子，乘以两式并从第一式中减去,为求得使ln为极大地分布，我们令每个l有l的变化，ln将有ln的变化。使ln为极大的分布l必然使ln0。,但这些l不完全是独立的，它们因该满足下列条件：,根据Lagrange乘子法原理，每一个系数都应该等于零，所以有：,据此我们得到玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布：,两个Lagrange乘子由下面两个约束条件确定：,=,上面导出了玻尔兹曼分布（定域系统的最可几分布），只是利用了系统的微观状态对数的一阶微分等于零（适当引入Lagrange乘子后）的条件。为证明是微观状态数目的极大值，还必须验证其二阶微分小于零。为此，我们对ln再次微分：,从原则上讲，在给定N、E、V的条件下，凡是满足两个限制条件的分布都有可能实现。但是，对于宏观系统，与最概然分布（玻尔兹曼分布）相对应的值非常陡，使其他分布的微观状态数目与之相比，几乎等于零。因此，可以认为在平衡态下粒子实质上处于玻尔兹曼分布，由此引起的误差是可以忽略的。,由于l大于零，所以上式永远是负的，这样就证明了玻尔兹曼分布是使ln为极大的分布。,为证明这一点，我们考虑一个稍微偏离玻尔兹曼分布的分布的微观状态数目：,如果假设对玻尔兹曼分布的偏离约为l/l10-5，则两者的ln相差为：,在经典统计中，玻尔兹曼分布的表达式如下：,其中，两个拉氏乘子，满足以下两个限制条件：,在玻尔兹曼分布公式中的系数，的物理意义是什么？,从这些式子中很难看出它们的物理意义，但可以推断出是一个无量纲的物理量，的量纲应该是【J1】。,在推导玻尔兹曼分布中，的引入来自系统的粒子数和能量守恒两个条件：,在玻尔兹曼分布公式中的系数，的物理意义是什么？,从这些式子中很难看出它们的物理意义，但可以推断出是一个无量纲的物理量，的量纲应该是【kJ1】。,在推导玻尔兹曼分布中，的引入来自系统的粒子数和能量守恒两个条件：,首先，讨论的物理意义。,式中，、和、分别是系统1和2的拉氏乘子。其他的则分别对应着系统的能级、简并度等。,假设有两个近独立粒子系统1和2，它们各自的粒子总数为N和N，能量为E和E。当两个系统分别处于各自的平衡态时，其最可几分布分别为：,在不改变两个系统外参量的前提下，让这两个系统通过热壁进行热交换，组成一个复合孤立系统。通常情况下，两个系统的状态要发生变化，直到复合系统达到新的热平衡为止。,此复合系统热平衡时应该满足以下三个条件：,由于两个孤立系统之间只有能量交换，其外参量陡没有发生变化，因此，各自的能级并不改变。复合系统的微观状态数目可以描述为：,为求得该复合系统的分布，将根据三个限制条件引入三个拉氏乘子，、和。由于系统1和2的能级、简并度以及个能级上的粒子数目是独立的，所以应该分别对两个子系统中各个能级上的粒子数目求微分。,最后，我们得到发生热交换后两个系统的分布公式：,热平衡后两个系统的和不同，但是具有相同的。经过热交换后达到热平衡的两个孤立系统具有相同的温度。因此，（T）。,【假设1和2是同种粒子的不同相】。如果使系统1和2即可以交换能量，又可以交换粒子数。则系统1和2各自的能量和粒子数均不守恒，而新形成的复合系统的能量和粒子数守恒。此时，只能引入两个拉氏乘子和。得到分布如下：,经过热交换和粒子数交换后，复合系统达到平衡，两个系统具有系统的和。根据热力学知识知道，应当与温度和化学势有关，即：（，T）。,玻色和费米分布的导出：,对于处在平衡态的孤立系统，具有确定的粒子数N、体积V和能量E。利用l、l、l分别表示粒子的能级、能级简并度以及在能级上的粒子数。，则对于任何一个分布l,下面两式必须满足。,玻色和费米系统的微观状态数目为：,考虑等几率原理，使系统微观状态数目最大的分布为最概然分布；由于的单调性，也就是使得ln()最大的分布。,首先，推导玻色分布：,先考虑玻色分布，对微观状态数两边取对数，有：,令l有l的变化，则当ln()的变化等于零时，ln有极值，即：,假设l1，l1，利用Stirling公式：ln(m!)m(lnm-1)，有：,式中l的变化不是任意的，它必须满足下面两个式子：,所以：玻色分布如下：，则由如下二式得出：,利用拉氏乘子，乘以上式，并从ln()中减去，则有：,再推导一下费米分布：,类似地，使得费米系统的微观状态数目的对数最大的分布是其最概然分布。对费米系统的微观状态数目求对数，然后利用Stirling公式，得到：,令l有l的变化，则当ln()的变化等于零时，ln有极值，即：,利用拉氏乘子，乘以两个限制条件，并从ln()中减去,有：,同样地，l的变化不是任意的，它必须满足下面两个限制方程：,得到费米分布如下：,拉氏乘子，由以下两式决定：,费米分布和玻色分布统一如下。其中“”表示费米分布；“”表示玻色分布：,在以上推导中，我们利用了一些假设，如：l1，l1等条件，这些条件实际上并不一定满足，这是一个重要缺陷。后面我们利用系综原理给出上述分布的严格推导。,两种分布中的拉氏乘子和可以通过右边的两个限制条件得出。它们的物理意义是什么？,玻色分布和费米分布分别是该类系统的热平衡态分布。,如果假设对玻尔兹曼分布的偏离约为l/l10-5，则两者的ln相差为：,这说明即使对最概然分布有很微小的偏离，其状态数与最概然分布相比，近似为零。,玻色粒子，玻色分布,费密粒子，费密分布,可分辨