第4章 线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法,建模 分析系统性能 时域分析法 （第三章） 根轨迹法 （第四章） 频域分析法 （第五章） 校正,n3阶的时候，求解闭环极点困难,稳定性动态性能,4-1 根轨迹法的基本概念,(s),R(s),C(s),闭环极点闭环零点,伊万思-根轨迹（图解法）,由闭环极点决定,由闭环极点和闭环零点共同决定,工作机械,电机,放大器,比较,电位器,电位器,c,r,uc,ur,us,减速器,解：,闭环传递函数,闭环特征方程,闭环极点,一. 根轨迹的概念,当系统的某个参数（例如开环增益K）由,变化时，闭环极点在s平面上移动的轨迹,画出系统的根轨迹，并分析系统性能,（开环极点）,性能分析,（1）稳定性,时，根轨迹全部分布在s左半平面，系统稳定。,（2）动态性能,两个不相等的负实根,两个相等的负实根,一对共轭复根,（3）稳态性能,有一个开环极点在原点，系统为型,斜坡输入下稳态误差为常值,阶跃输入下稳态误差为0,过阻尼状态,临界阻尼状态,欠阻尼状态,二. 绘制根轨迹的依据,闭环零、极点与开环零、极点的关系,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,前向通道传递函数,反馈通道传递函数,前向通道传递函数 零点,反馈通道传递函数 零点,前向通道传递函数 极点,反馈通道传递函数 极点,开环根轨迹增益,开环传递函数,开环传递函数 零点,开环传递函数 极点,闭环传递函数,闭环传递函数的零点,闭环传递函数的极点,开环零、极点以及开环根轨迹增益有关,闭环根轨迹增益,闭环零点,（容易）,开环前向通路根轨迹增益,开环前向通路零点 反馈通路的极点,（容易）,闭环极点,（困难）,根轨迹法,如何由已知的开环零、极点不直接求解闭环特征方程，找出闭环极点在增益K*变动下的规律性,开环传递函数和闭环传递函数所包含的系统信息完全一样,开环零、极点以及开环根轨迹增益有关,闭环根轨迹增益,闭环零点,开环前向通路根轨迹增益,开环前向通路零点 反馈通路的极点,闭环极点,利用开环传递函数直接寻求闭环极点的总体规律,三. 根轨迹的基本原理,根轨迹上的点满足闭环特征方程,1三种表达方式,零极点形式,根轨迹,所有闭环极点的集合,模值方程和相角方程,模值方程,相角方程,2分析,相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件,模值方程用来确定根轨迹上各点对应的开环根轨迹增益K* 满足相角方程也必能满足模值方程,单位负反馈系统开环传递函数为,试用根轨迹方程绘制闭环根轨迹。,解：,无开环零点，开环极点为：,根据相角方程，应有,根轨迹增益,用试探法寻找满足相角方程的点：,满足相角方程，该区段在根轨迹上。,（1）在负实轴的（-0.5 ，0）区段上任取一点s1，代入相角条件验证：,整个垂直平分线都在根轨迹上。,逐点试探可绘制出全部根轨迹。,根据模值方程，可求出S1、 S处的根轨迹增益（或开环增益）。,4-2 常规根轨迹的绘制,规则1 根轨迹的分支数,根轨迹的分支数等于闭环系统特征方程的阶数。,闭环系统特征方程式为,特征方程式的阶数或特征根的个数等于Max(m.n),（m是开环零点的个数, n是开环极点的个数）,常规根轨迹：指系统的开环增益 K：0 变化时的闭环根轨迹。 也称为180根轨迹。,规则2 根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续的并且对称于实轴。,若nm，则有n-m条根轨迹终止于无穷远,证明：,起点,终点,（nm）,或,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,规则3 根轨迹的起点、终点,模值方程,（n=m）,规则4 实轴上的根轨迹,实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上的一段。,规则5 根轨迹的渐近线,渐近线与正实轴夹角,渐近线与实轴的交点,当m m，则有n-m条根轨迹终止于无穷远,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,规则3 根轨迹的起点、终点,规则4 实轴上的根轨迹,实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上的一段。,规则5 根轨迹的渐近线,渐近线与正实轴夹角,渐近线与实轴的交点,当m n时，有n - m条根轨迹趋向无穷远，它们趋向无穷远的方位由n - m条渐近线决定。,规则6 根轨迹的分离点坐标,负反馈系统的开环传递函数为,试画出其根轨迹图,极点：,零点：,实轴上根轨迹：,n-m=1，趋于无穷远,-2,0，(-,-4,分离点,规则7 根轨迹的分离角,根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角 称为分离角,分离角的计算公式,为分离点处根轨迹的分支数。,分离点,分离角,舍去,负反馈系统的开环传递函数,绘制该系统的根轨迹,解：,开环零点,开环极点,n-m=1趋于无穷远,实轴上根轨迹：,(-,-1,规则8 根轨迹的起始角与终止角,离开开环复数极点 处的切线与正实轴的夹角，称为起始角,起始角与终止角的计算公式,进入开环复数零点 处的切线与正实轴的夹角，称为终止角,由相角方程可得：,当s1无限靠近p1时,将s1= p1代入上面的相角方程，得出,推广到一般,更为一般,单位负反馈系统的开环传递函数为,试画出该系统的根轨迹。,1. 有4条根轨迹。,开环零点,解：,2.实轴上的根轨迹,开环极点,-1.5,0，(-,-2.5,4.根轨迹的起始角和终止角,4.根轨迹的起始角和终止角,若根轨迹与虚轴相交，说明闭环特征方程存在虚根。则交点处的K值和 w值可用以下两种方法求出,规则9 根轨迹与虚轴的交点,方法1,应用劳斯判据确定,方法2,令 s=jw，代入闭环特征方程，然后分别令其实部和虚部为零而求得。由,即,解得,解：,方法1,令,即,解得,方法2,令,由辅助方程：,起点,负反馈系统的开环传递函数,求根轨迹与虚轴的交点,当 时，有,规则10 闭环特征根之和,为闭环极点,为开环极点,作用：可用来判断根轨迹的走向。当n-m2时，若闭环一部分根轨迹分支向右半S平面移动，必定有另一部分根轨迹分支向左半S平面移动,根轨迹分支数和根轨迹起点、终点,根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数，根轨迹的起点为开环极点，终点为开环零点（包括无限极点和无限零点）。,根轨迹的连续性和对称性,根轨迹随参数变化具有连续性并且根轨迹对称于实轴。,根轨迹的渐近线,实轴上的根轨迹,实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上一段。,根轨迹的分离点与分离角,劳斯稳定判据；s=jw代入闭环特征方程式求出。,解：,开环零点,开环极点,无,1、根轨迹分支数：,4,2、实轴上的根轨迹：,3、渐近线：,（20，0）,4、分离点坐标,5、分离角,劈因法解高次方程,方程为,采用“尾部二次因子式”求根的方法：,（1）取尾部二次因子式 作除式除方程左边，直到余子式为二次因子式 为止；,（2）再以 式作除式除方程左边，直到余子式为二次因子式 为止；,（3）重复上述步骤，直到近似除尽。,类似方法： 采用“头部二次因子式”求根； 采用“尾部一次因子式”求根； 采用“头部一次因子式”求根。,用劈因法求解方程,取尾部二次因子,6、根轨迹的起始角,7、根轨迹与虚轴的交点,即,解得,非最小相位负反馈系统开环传递函数,试闭环根轨迹。,解：,3、渐近线：,1、根轨迹分支数：,开环极点：,开环零点：,2、实轴上的根轨迹：,4,4、分离点：,5、起始角：,舍去,当 时，系统稳 定，称为条件稳定系统。,6、根轨迹与虚轴的交点：,利用劳斯判据求交点：,解出：,根轨迹分支数和根轨迹起点、终点,根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数，根轨迹的起点为开环极点，终点为开环零点（包括无限极点和无限零点）。,根轨迹的连续性和对称性,根轨迹随参数变化具有连续性并且根轨迹对称于实轴。,根轨迹的渐近线,实轴上的根轨迹,实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上一段。,上节课回顾,根轨迹的分离点与分离角,劳斯稳定判据；s=jw代入闭环特征方程式求出。,负反馈控制系统的开环传递函数为,绘制系统根轨迹，证明其复数部分是圆并求出圆心和半径。,解 闭环系统的特征方程为,令,令上式中实部和虚部分别为零，有,消去K，得到圆的方程：,几点讨论,1. 开环零、极点位置的微小变化，可能引起根轨迹形状的重大变化。,开环极点位置变化,开环零点位置变化,2. 有两个实数或复数极点和一个有限零点组成的开环传递函数，只要有限零点不位于两个实数极点之间，根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。,3. 当n-m3时，必定存在某个K，当开环增益超过该值时，根轨迹将进入右半s平面。,4. 当出现G(s)的极点与H(s)的零点相同时的根轨迹,可见，当K从零变到无穷大时，s=-1总是闭环极点，不应消去,而实际上,单位负反馈系统的前向传递函数为,试绘制其根轨迹图,解：,开环零点：,1分支数：,2实轴上的根轨迹：,3渐近线,开环极点：,n-m=3趋于无穷远,(-,-4.95,-4,-1.2,-1 0,4条；,4分离点d,5分离角,6与虚轴交点,令s=jw代入上式,1.确定指定根轨迹增益时的闭环极点,模值条件求出指定的K*值对应的闭环极点,2.确定指定系统某个特征参数时的闭环极点,设控制系统闭环主导极点,先确定对应这个数值时的闭环极点以及根轨迹增益,控制系统闭环极点的确定,先确定位于实轴上的闭环极点,然后利用综合除法等方法求得其余的闭环极点,然后利用综合除法再求出其余极点,例如阻尼比为0.5时的闭环极点，可以做一条阻尼比为0.5的等阻尼线，求出其与根轨迹的交点以及根轨迹增益,系统开环传递函数为,（1）要求画出闭环系统的根轨迹；,（2）确定 时的闭环极点；,（3）求阻尼比 时系统闭环极点。,解：,开环极点：,根轨迹分支数：,渐近线：,（1）作根轨迹,4,实轴上的根轨迹段：,-3, 0,分离点：,（舍去）,分离角：,起始角：,根轨迹与虚轴交点：,辅助方程,令,解得,根轨迹与虚轴交点处：,解出,1,8,5,6,34/5,将试探区域选在负实轴上，经试探,是闭环极点。,利用长除法，可以求得其余两个极点：,（2）确定 时的闭环极点,分离点 d=-2.3时,（3）求阻尼比 时系统闭环极点。,求得等阻尼线与根轨迹交点,代入闭环特征方程：,阻尼角,闭环系统特征方程,用长除法得到,问题,K之外参数变化，根轨迹怎么做？,正反馈根轨迹怎么做？,多个参数变化，根轨迹怎么做？,多回路系统的根轨迹怎么做？,参数根轨迹,零度根轨迹,根轨迹簇,多回路根轨迹,广义根轨迹,常规根轨迹,负反馈系统,1+G(s)H(s)=0,4-3 广义根轨迹,一. 参数根轨迹,等效系统与原系统的闭环特征方程相同,1定义,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹,2思路,构造等效系统,原系统的变化参数是等效系统的开环增益,3方法,改写成,参数A：,P(s)，Q(s)与变化参数无关的首一多项式,等效系统 开环传递函数,做A：,的根轨迹,原系统特征方程1+G(s)H(s)=0,位置随动系统,工作机械,电机,放大器,比较,电位器,电位器,c,r,uc,ur,us,减速器,当KA：0+时，分析系统性能。,开环传递函数,开环极点:,开环零点:,无,根轨迹的分支数：,2,实轴上的根轨迹：,0, 0.2,渐近线：,分离点：,d=0.1,分离点：,d=0.1,分离点对应的KA,过阻尼系统,近似为一阶系统,调节时间大,欠阻尼系统,校正方法,Ta：,时，分析校正后系统性能,比例微分控制,测速反馈控制,+,+,-,+,r(t),c(t),1,Tas,解：,时的根轨迹,特征方程：,绘制Ta：,开环传递函数,（1）改写成,（2）构造等效系统,（3）作等效系统当 Ta：0+变化时的根轨迹,开环极点：,开环零点：,有一条根轨迹趋向无穷远,实轴上的根轨迹：,复平面上的根轨迹是一段圆弧,圆心：（0，0）,半径：,分离点：,（-，0）,等效系统与原系统的闭环参数一般不相同,注意,等效系统原系统根轨迹相同,原系统,等效系统,上节课回顾,问题,K之外参数变化，根轨迹怎么做？,正反馈根轨迹怎么做？,多个参数变化，根轨迹怎么做？,多回路系统的根轨迹怎么做？,参数根轨迹,零度根轨迹,根轨迹簇,多回路根轨迹,广义根轨迹,常规根轨迹,负反馈系统,1+G(s)H(s)=0,二. 零度根轨迹,1定义,条件，而不是,其相角遵循,的条件,3来源,正反馈系统,开环增益为负的负反馈系统,开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子,1-G(s)H(s) = 0,2零度根轨迹的基本原理,闭环特征方程,根轨迹方程,相角方程,幅值方程,G(s)H(s)=1,不变,改变,实轴上某一区段，若其右段开环实数零极点之和为偶数时， 该区域为根轨迹,4零度根轨迹的基本法则,规则1 根轨迹的分支数,规则2 根轨迹的连续性和对称性,规则3 根轨迹的起点、终点,与常规根轨迹一致,规则4 实轴上的根轨迹,（0为偶数）,与常规根轨迹一致,与常规根轨迹一致,渐近线与实轴正方向的夹角,渐近线与实轴相交点的坐标,规则5 根轨迹的渐近线,规则6 根轨迹的分离点坐标,与常规根轨迹一致,规则7 根轨迹的分离角,与常规根轨迹一致,规则10 闭环特征根之和,规则8 根轨迹的起始角与终止角,规则9 根轨迹与虚轴的交点,与常规根轨迹一致,与常规根轨迹一致,正反馈系统的开环传递函数,要求绘制根轨迹并判断系统稳定的条件。,解：,开环极点：,开环零点：,1. 实轴上的根轨迹段：,2. 起始角：,3. 分离点坐标：,解得,利用模值条件,响应为衰减振荡曲线,有三个负实根,有一个正实根和两个负实根,S=0,S=d= -0.8,系统稳定,有一对共轭复根和一个负实根,系统稳定,响应为单调衰减,系统不稳定,负反馈系统开环传递函数为,试绘制 的根轨迹,解：,闭环特征方程,相当绘制,时，系统,的根轨迹,需要利用零度根轨迹规则,1分支数：,2实轴上的根轨迹：,3渐近线：,4.分离点：,开环零点：,开环极点：,无,3条趋于无穷远,3；,0,+),-2,-1,舍去,5.分离角,单位负反馈系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹。,闭环特征方程,解：,需要利用零度根轨迹绘制规则。,这是开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子的情况下，根轨迹绘制问题。,即,开环零点：,开环极点：,1分支数：,2实轴上的根轨迹：,1条趋于无穷远,3；,0,+),-2,-1,3.分离点,舍去,4.分离角,5.起始角,5.与虚轴交点,三、几个参数同时变化的根轨迹簇,K1，K2为可变参数,首先令一个可变参数等于零，例如 K2=0 ，闭环特征方程可写成,，绘制 K1变化时的根轨迹。,再考虑参数K2变化，将闭环特征方程可写成,绘制 K2变化时的根轨迹。第一步作出的根轨迹就是K2变化时的根轨迹的起点,1定义,几个参变量连续从零到无穷大变化时的根轨迹,2方法,考虑系统中有两个可变参数的情况,设闭环特征方程为,已知系统的开环传递函数,试绘制 时的闭环根轨迹。,解：,闭环特征方程为,作 时的根轨迹,闭环特征方程：,开环传递函数,开环极点,作 时的根轨迹,改变K可绘制出一簇根轨迹,闭环特征方程,开环传递函数,开环极点,开环零点,闭环特征方程为,绘制双回路控制系统的根轨迹,将双回路系统化简成单回路系统然后画出系统根轨迹,方法2,局限性：当内环的开环传递函数比较复杂时，求内环的闭环极点比较困难,方法1,先绘制内环系统根轨迹，求出在指定参数下内环系统的闭环极点及闭环零点 将内环系统的零点、极点连同外环系统中其它环节的极点、零点一起作为整个系统的开环传递函数的极点、零点再绘制整个系统的根轨迹,四. 多回路系统的根轨迹,双环系统结构如图所示，绘制 时系统的根轨迹。,解：,1. 绘制内环系统根轨迹,内环开环极点：,内环开环零点：,有3条根轨迹。,经过试探，求出内环系统的两个闭环极点：,另一个闭环极点：,内环系统的闭环传递函数为,2. 绘制系统根轨迹,开环传递函数为,开环极点：,可绘制出K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹。,4.4 应用根轨迹分析系统的性能,一、应用根轨迹分析系统的瞬态性能,定性分析 分析系统的稳定性、瞬态性能 确定闭环主导极点、偶极子 瞬态（动态）指标的定量估算,用根轨迹法分析系统的稳定性计算 时闭环极点并求相应的调节时间及超调量,单位负反馈系统开环传递函数,解：,1.作根轨迹图,(1)分支数：,(2)实轴上的根轨迹：,开环零点：,开环极点：,无,3条趋于无穷远,3；,(-1,0),(-2,- ),(3) 渐近线,(4) 分离点,(5) 与虚轴交点,开环传递函数增益,K=3,1.414j,-1.414j,稳定性分析,系统稳定域：,确定 时的闭环主导极点,（1）画 的等阻尼线,代入闭环特征方程：,阻尼角,求得等阻尼线与根轨迹交点,解得,主导极点,（2）求闭环极点,s3 也可以利用根之和规则求得,估算性能指标,利用主导极点，系统可近似为二阶系统,得到系统的参数：,超调量：,调节时间：,二、附加开环零点、极点对根轨迹的影响,附加开环零点对根轨迹的影响,附加的开环零点越接近虚轴，使根轨迹向左半S平面弯曲得越厉害。,引入附加开环极点对系统稳定性和瞬态性能有不利影响。,附加开环极点对