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(定积分),第五章定积分,第一节定积分的概念和性质,第五章定积分,定积分问题举例,1,曲边梯形面积,第一节定积分概念与性质,设y=f(x)是闭区间a,b上的连续函数,且f(x)0.由直线x=a,x=b和x轴,y=f(x)曲线构成的图形称为曲边梯形.,y,y=f(x),a,A,c,b,x,B,y,y=f(x),A,x,xi,xi+1,分割,取点,求和,取极限是求面积的主要方法,B,它的面积为,y,y=f(x),二定积分的定义,定义设函数f(x)在区间a,b上有界,在a,b内任意插入(n-1)个分点,将a,b分成n个小区间,为各区间的长度,在每一个小区间上取一点,令,令,如果极限存在,y=f(x),x,a,b,xi,xi-1,Ai,其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.a,b为积分区间,b为积分上限,a为积分下限为黎曼积分和,y,注意:(1)函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.(2)定义中对小区间的划分和选点是任意的,虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.(3)定积分和积分变量的字母的选取无关.例如,(4)定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的划分和选点无关.,由积分定义,可知以a,b上连续曲线y=f(x)0为曲边的曲边梯形的面积,如果(2)中的极限存在,我们称为函数f(x)在区间a,b内可积.,下面我们不加证明给出几个定理和推理。定理1若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界定理2若函数f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积定理3若函数f(x)在a,b上有界,且又有有限个间断点,则f(x)在a,b上可积.,推论1在区间a,b上分段连续的函数f(x)在a,b可积.推论2若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上的定积分等于它在(a,b),(a,b,或a,b)上的定积分.对于这几种区间上的定积分,我们通常用闭区间a,b作为代表来进行研究,并把它们统一作为,(2)当b0,则,这性质表示以f(x)0,为边的曲边梯形的面积非负.,推论(不等式)如果在a,b上,f(x)g(x),则,性质6(绝对值不等式),性质7(估计不等式)设M与m分别是f(x)在区间a,b是的最大值与最小值,则,这个性质用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在这区间中的最大值M和最小值m.,性质8(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存在一点a,b,使得,几何意义是曲边梯形的面积等于以(b-a)为底边,f()为高的矩形面积,a,b,y=f(x),f(),x,y,例2估计积分,的值之范围,先求极值:,积分中值定理可推广为:若函数f(x)与g(x)在a,b上连续,且g(x)不变号,则存在a,b,使有,利用性质7,不等式的证明除了利用性质7外,还可利用定积分的几何意义例3设f(x)在a,b上二次可微,且f(x)0.f“(x)0,试证,o,x,y,A,B,C,D,E,f(x),证明:因为f(x)0,f”(x)0.所以f(x)在a,b上递增,且是凹的.显然f(x)的定积分是存在的.它等于曲边梯形ABCD的面积,从图上