实数培优专项训练

妥善保管，反复演练-数学是思维的体操第二章：实数 知识过关与难点突破（一） 基础知识过关【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2，（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、0.03（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.,0.,-,其中无理数有 ( )个【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a是非负数（易忽略的考点）（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：（认真理解这段话，严格区别这两个概念，否则会经常出错）例：（1）下列说法正确的是 （ ）A1的立方根是； B；（C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则_。（5）已知ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。（6）（提高题）如果x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根例（1）若的平方根是2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3. （这两个公式是难点，也是易忽略点）（1）（2）中，a可以取任意实数。如，例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2.已知，那么a的取值范围是 。3.已知2x3,化简 。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。（同号性、唯一性）立方根是它本身的数有0,1，-1.3.根据立方根的同号性和唯一性，容易证明：，例：（1）64的立方根是（2）若，则b等于（3）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【估算】 1.用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。注意，估算得到的数是无理数一定精确度的近似值！2.“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。通常考察精确到十分位或整数位的情况。3.无理数的小数部分：先估算出整数部分，再用该数减去它的整数部分，得到的差就是小数部分。注意，这样的得到的小数部分是非常精确的，不是估算值。如。4.熟记20以内的数的平方和10以内的数的立方，有利于快速进行开方计算，对估算也有帮助。例：估算下列各数的大小（1） （2） （3） 用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论： （1）若ab0,则 （2）若ab，则 （3）若a、b都为正数，且ab时，则a2b2例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小： 方法一：估算法。如34 方法二：作差法：若 a-b0则ab方法三：乘方法（对于二次根式来说就是平方法）如比较的大小。例：比较下列两数的大小（1） （2）【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（ ）；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比较大小(填“”或“”).3 ， ， ， ，（4）数 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. （5）将下列各数：，用“”连接起来；_（6）若，且，则：= 【二次根式】定义：形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就不是二次根式。（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质： 性质1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积性质2： 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。二次根式化简的主要依据就是上述两条性质。分母有理化：最简二次根式还要求分母不含根式，那么就要使用以下两个公式进行分母有理化：二次根式的乘除：上述两条性质逆用，就是二次根式的乘除运算。所以，学好二次根式的关键就是熟练运用上述两个公式。不仅要正用公式，还要会逆用公式，总之要活学活用。二次根式的加减：先将二次根式化简为最简二次根式，然后将同类二次根式合并。注意非同类二次根式，不能进行加减运算，应作为最后的结果保留下来。二次根式的混合运算：注意利用加法、乘法的运算律，以及平方差公式、完全平方公式等各种公式与运算技巧进行简便计算。例：1.化简：（1） （2） （3）2.计算： 3.已知：，求代数式的值。基础训练1判断题：（1）如果a为实数，那么a一定是负数（ ）（2）有理数按定义分为整数和分数，按正负性分为正有理数、负有理数、零。但从小数的角度来看，有理数分为有限小数和无无限循环小数。所以整数是有限小数，分数是无限循环小数（ ）（3）两个无理数之和或者乘积都不一定是无理数（ ）（4）-3是9的平方根（ ）（5）9的平方根是3 （ ）（6）无理数是无限小数（ ）（7）如果a00，则ab=1（ ）2.在实数中,0, ,314, 无理数有个3. 算术平方根、平方根、立方根依次是 4已知1x2，则|x3|+= 5已知y=+5，则的值是 6若+有意义，则=_ _7根式的计算：（1） （2） （3） （4）= （5）= 8.（1）已知： ，则= （2）已知： ，则= 9当a为实数时，=a在数轴上对应的点在（）A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧10.数轴上作出表示，的点。11若3，5为三角形三边，化简：12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920 。求它的面积。（二）难点突破专项突破一：算术平方根的双重非负性1（1）内非负性：对于来说，被开方数a必须是非负数，即，否则没有意义（负数没有算术方根），被开方数是非负数，这个性质常常考察二次根式有意义的问题：（2）外非负性：对于来说，根据算术平方根定义可知，其本身也是非负数，即 ，算术平方根是非负数，这个性质常常考察多个非负数的和为零的问题：大多数同学总是区别不了双重非负性，导致解题步骤上失分严重，我们可以用以下习题进行区别：一）被开方数的非负性专项训练：对于来说，被开方数a必须是非负数，即例1 当 时，有意义，当 时，有意义例2 式子 中x的取值范围是 例3 例4例5 若都是实数且，求的值例6 若，求的值；例7已知，求的立方根的相反数；二）算术平方根本身的非负性专项训练：对于来说，其本身也是非负数，即例1 已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,求x-y的值例2例3已知，那么的值为 ；例4与互为相反数，试求的值；例5 已知，求的立方根；例6 已知都是实数，且满足，且；1 的值； 求代数式的值； 以为边的三角形的形状是 ；例7若，求的平方根； 求的值。专项突破二：二次根式的混合运算（1）； （2）； （3）（4）； （5）； （6）（7）； （8）； （9）（10）；（11）；（12） 专项突破三：去绝对值1已知1x2，则|x3|+ = 23.已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 4.6.（1）若，则k的取值范围是 （2）若 ，则k的取值范围是 专项突破四：对算术平方根、平方根、立方