思法数学：初升高衔接讲义-第10讲---函数的奇偶性

思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究第10讲 函数的奇偶性一【学习目标】1.理解函数奇偶性的概念及其几何意义；2.能利用定义判断函数的奇偶性；3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.二【知识梳理】1.引入：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们从图象和解析式两个方面总结下列各函数有什么共性？（1）,；(2) ,. （1）与的共性：图象 ；解析式 （2）与的共性：图象 ；解析式 2.定义：（1）对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数（2）对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数3.点拨：（1）如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；（3）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；（4）偶函数的图象关于y轴对称,反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数，且；奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.若奇函数在时有意义，则.4.函数奇偶性的判断：（1）图象法；（2）定义法.用定义判断函数奇偶性的步骤是：先求定义域，看是否关于原点对称；再判断或是否恒成立；作出相应结论.若；若提问：（1）下列函数是偶函数吗？为什么？；（2）下列函数是奇函数吗？为什么？；三【典例精析】例1判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）f(x) =x+；（6）；（7）；（8）.解：（1）为非奇非偶函数；（2）为非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）为非奇非偶函数；（5）奇函数；（6）奇函数；（7）既是奇函数又是偶函数；（8）为偶函数；点拨：常用结论：(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇非偶函数. (4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.例2.判断函数的奇偶性：解：当0时，0，于是当0时，0，于是综上可知， 是奇函数例3. 为R上的偶函数，且当时，则当时，x(x+1) 提问：若是奇函数呢？例4.已知函数是偶函数，求实数的值解：是偶函数，恒成立，即恒成立，恒成立，即例5.已知函数，若，求的值。解:方法一：由题意得 得，方法二：构造函数，则一定是奇函数，又 因此 所以，即例6设定义在2，2上的偶函数在区间0，2上单调递减，若，求实数的取值范围答案： 例7.设函数对任意，都有，且时，。（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性并证明；（3）试问当时是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由。四【过关精练】一.选择题1.已知是定义在R上的奇函数，则（ D ）A. B.C. D.2.如果偶函数在区间上是减函数，且最大值为7，那么在区间上是（ B ）A.增函数且最小值为-7 B.增函数且最大值为7C.减函数且最小值为-7 D.减函数且最大值为73.函数是定义在区间上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ C ）A. B. C. D.4.下列函数中不是偶函数的是（D ）A. B. C. D.5.已知函数为偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是（ A ）A.0 B.1 C.2 D.4二.填空题6.已知函数为奇函数，若，则1 7.若是偶函数，则的单调增区间是 8.设是定义在上的奇函数，且时，=,则_-5_9.若在上是奇函数，且，则_三.解答题10.用定义判断函数 的奇偶性。11.已知函数在区间上是奇函数，函数在区间上是偶函数，求证：是奇函数12.已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，求这