思法数学：初升高衔接讲义-第7讲---一元二次不等式

思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究第7讲 一元二次不等式一【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二【知识梳理】1.一元二次不等式的定义：象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2.一元二次不等式的一般式：任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：，或称为一元二次不等式的一般式.3.探讨一元二次不等式的解法：怎样求不等式的解集呢？画出二次函数的图象，如图：观察函数图象，可知：不等式的解集是.一般地，怎样确定一元二次不等式与的解集呢？（1）抛物线与x轴的相关位置的情况，分为三种情况，这可以由一元二次方程的判别式三种取值情况(，）来确定也就是一元二次方程的根的情况；（2）抛物线的开口方向，也就是的符号（对一元二次不等式，可以转化为） 总结讨论结果：，分，三种情况，得到一元二次不等式与的解集4.三个二次的关系表（）： 二次函数的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根的解集R的解集5.解一元二次不等式的步骤：一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步：化二次项的系数为正数；第二步：求解相应的一元二次方程的根；第三步：根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集点拨：（1）数形结合，不要死记；（2）开口方向，根的情况解集三【典例精析】例1.解下列不等式：（1）； （2）x2+2x30；（3）x24x+40.解：（1）原不等式等价于2x2-3x-20，原不等式的解集是.（2）原不等式等价于:x2-2x+30由0，知原不等式解集为.（3）=0，方程x24x+4=0有等根，原不等式的解集为x|xR，且x2。点拨：1.要严格按“解法步骤”求解。2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为，但有的同学把第（3）题的解集表为x2，这是错误的。例2.解不等式.解：对一切xR恒有x2+x+10，原不等式等价于(1+x)(2-x)01x2. 原不等式的解集为（1，2）.例3.设全集为，已知，求。解：.故.例4.解关于x的不等式x2ax2a20.点拨：解答本题通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解解：方程x2ax2a20的判别式a28a29a20，得方程两根x12a，x2a.(1)若a0，则ax2a，此时不等式的解集为x|ax2a；(2)若a0，则2axa，此时不等式的解集为x|2axa；(3)若a0，则原不等式即为x20，此时解集为.综上所述，原不等式的解集为当a0时，x|ax2a；当a0时，x|2axa；当a0时，.例5.若不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，求不等式bx22axc3b0的解集点拨：根据已知的解集和有关一元二次不等式的解集结论逆向推出a，b，c满足的关系，进而求解另一不等式解：ax2bxc0的解集为x|3x4，a0且3和4是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得即不等式bx22axc3b0可化为ax22ax15a0，即x22x150，故所求的不等式的解集为x|3x5例6.已知，。（1）若，求的取值范围；（2）若AB是单元素集合，求取值范围。点拨：先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求的取值范围。解：易得A=1，2；而。（1）若，利用数轴，得的取值范围是；（2）若AB是单元素集合，利用数轴，AB只能是集合1.的取值范围是。四【过关精练】一、选择题：1已知ab，cd，且a，b，c，d均不为0，那么下列不等式成立的是（ ）Aacbd Badbc Cacbd Dacbd2给出下列命题：abac2bc2；aba2b2；aba3b3；aba4b4，其中正确的命题是（ ）A B C D3集合Axx216，集合Bxx2x60，则AB（ ）A3，4） B（4，2） C（4，2）3，4） D2，34若不等式ax2bx20的解集为x2x,则a，b的值分别是（ ）Aa8，b10 Ba1，b9Ca4，b9 Da1，b25不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是（ ）A4，4 B（4，4） C（，4）4，） D（，4）（4，）二、填空题：6不等式1620的解集为 7不等式（a2）x22（a2）x40，对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 8设实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是 三、解答题：9已知集合Axx23x100，集合Bxp1x2p1，若BA，求实数P的取值范围10若实数a0，解关于x的二次不等式（x2）（ax2）011.不等式（a2-1）x2-(a-1)x-10的解集为R，求a的取值范围。12.已知全集U=R，A=x|x2-x-60,C= x|x2-4ax+3a0,若ABC，求实数a的取值范围。第7讲 参考答案一、选择题：1.D；2.B；3.C；4.C；5.A.二、填空题：6x；7（2，2）；8cba提示：cb44aa2（2a）20，cb2b（bc）（cb）2a22，ba21baa2a1（a）20，ba故cba三、解答题：9解：由x23x100，得2x5，A2，5若B，则BA，这时p12p1，即p2若B，则2p3综上可知，P的取值范围是p310解：方程（x2）（ax2）0的两根为2和,（1）当a0时，2，原不等式的解集为xx2（2）当0a1时，2，原不等式的解集为xx2或x（3）当a1时，原不等式变为（x2）20，解集为xx2且xR（4）当a1时，2，原不等式的解集为xx或a2综上所述，原不等式的解集当a0时，为xx2；当a1时，为xx2或x；当a1时，为xx2且xR；当a1时，为xx或a211.解：当a2-1=0时，只有a=1,