弹性力学习题分解

1-3个基本假设在建立弹性力学基本方程式时有什么用途？答： 1，连续性假设：通过引用这个假设，可以认为物体中的应力、应变、位移等物理量是连续的，所以在建立弹性力学基本方程式时，可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2、完全弹性假说：引用这个完全弹性假说还包括应变与变形引起的正应力成正比的意思。 也就是说，两者形成线性关系，符合钩子法则，使物理方程式成为线性方程式。3、均匀性假设：在此假设下，所研究物体内部各点的物理性质明显相同。 因此，反映这些物理性质的弹性常数(弹性模量e和泊松比等)不会随位置坐标而变化。4、各向同性假设：“各向同性”意味着物体的物理性质在所有方向上相同。 另外，物体的弹性常数也不会随方向而变化。5、小变形假设：研究物体受力后的平衡问题时，不考虑物体尺寸的变化，按原来的尺寸和形状进行计算。 同时，在研究物体的变形和位移时，可以省略它们的二次幂或乘积，将弹性力学微分方程简化为线性微分方程.在上述假设下，弹性力学问题均为线性问题，可适用叠加原理。2-1已知薄板具有以下变形关系：式中a、b、c、d为常数，检查变形过程中是否满足连续条件，列举满足应力成分公式。解答：1 .兼容条件：将变形部分带入变形协调方程式(互换方程式)其中满足兼容方程，满足连续性条件。2 .在平面应力问题中，由应变分量表示的应力分量3 .平衡微分方程其中要满足平衡微分方程分析：变形分量表示的应力分量满足拟合方程和平衡微分方程的条件，求常数a、b、c、d还需要应力边界条件。例2-2如图所示是矩形截面坝其右侧面承受静水的压力(水的密度为)上部由集中力p作用。 试着写一下水库的应力边界条件。解答：根据边界处的应力和表面力的关系左侧面：右侧面：上下端面为小边界面，应用圣维南原理可列举三个积分的应力边界条件。 上端面额的面力向截面心o简化，得到面力的主矢量和主力矩分别为y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号、反应力主矩和面力主矩的方向相反。 所以呢下端面的面力向剖面图心d简化，得到主矢量和主力矩y=l坐标面、应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。 所以呢分析： 1、平行于坐标轴的主要边界只能创建两个等式，而不显示平行于边界的应力分量。 在左、右面，不要添加或。2、大边界应正确满足应力边界条件。 如果未精确满足小边界(二次边界)，则可应用圣维南原理近似满足应力边界条件，大大简化问题的解决。 应力合成的主向量(主矩)码的取向也能够通过外力主向量(主矩)的方向进行判断，当两者的方向一致时，解除正符号，相反地取负符号。2-8问题2-8列举了图(a )、问题2-8图(b )所示问题的所有边界条件。 应用圣维南原理对其端部边界列出了三个积分的应力边界条件。解答：图(a )图(b )1 .对图(a )的问题主要边界应准确满足下列边界条件：小边界(次边界)可以准确满足以下边界条件小边界(次边界)具有偏移边界条件可以应用圣维南原理用三个积分应力边界条件替换这两个位移边界条件当板厚较厚时2 .关于图(b )所示的问题主要边界应准确满足下列边界条件：在二次边界，应用圣维南原理，列举了三个积分的应力边界条件，板厚较厚时小边界(次边界)具有偏移边界条件可以应用圣维南原理用三个积分应力边界条件替换这两个位移边界条件2-17有矩形截面的悬臂梁，自由端受到集中负荷f，如问题2-17所示，没有体力。 基于材料力学公式，导出弯曲应力x和剪应力xy公式，取挤压应力y=0，证明这些公式满足平衡微分方程和兼容方程，然后说明这些公式是否表示正确的解答。解答：1、矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程式相对于横截面的z轴(中性轴)的转动惯量，根据材料力学公式，弯曲应力即该截面的剪切力为剪切应力即压缩应力。2、根据经验，上述公式可满足平衡微分方程也可以满足兼容的方程式重新考察边界条件：的主要边界，应正确满足应力边界条件满意。二次边界列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。二次边界列出三个积分的应力边界条件：满足应力条件。 因此，这些都是这个问题的正确答案。例3-1图所示的矩形截面简支梁受到三角形的分布载荷，试验了应力函数求出简支梁的应力分量。解： 1、互换条件：如果代入应力函数由此得到应力函数是2 .应力成分式3 .考察边界条件：确定应力成分中各系数联合可以解决以上各方面，得到再根据简支梁的端面条件确定常数d、f。 根据圣维南原理能够带入式(f )4 .应力成分式例3-2图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度为1，右端固定，左端自由，载荷从右端分布，其合力为p (没有体力)，求出梁的应力成分。解：这是平面应力问题，用半逆解法求解。(1)选择应力函数。 从材料力学可知，悬臂梁的任一截面上的弯矩方程式M(x )与截面位置坐标x成比例，该截面上的某一点的正应力与该点的坐标y成比例，因此能够设定x=1xy (a )式中的1是未定常数。 将式(a )在y上积分两次=16xy3 yf1x f2(x) (b )由互换方程式确定公式中f1x、f2(x )为x的未定函数。 把式(b )代入互换方程式4=0d4f1(x)dx4y d4f2(x)dx4=0上式是y的一次方程式，可知梁内的所有y值都应该满足，系数和自由项必须为零d4f1(x)dx4=0，d4f2(x)dx4=0积分是2式，可以得到f1x=2x3 3x2 4x 5f2x=6x3 7x2 8x 9式中2-9是未定的积分常数. 将f1x、f2x代入式(b )中，则应力函数为=16xy 32 x 33 x 24 x5 y6 x 37 x 28 x9.(c )(2)应力成分公式x=1xy，y=62y 6x 23y 7xy=-121y2-32x2-23x-4(3)考察应力边界条件：为了确定各系数，将自由端没有水平力、上下没有载荷的自由端的剪切力之和设为p，得到边界条件xx=0=0，自然满足xyy=h=0，其中-1h22-32x2-23x-4=0；为了满足上式x的任意值，2=3=0、-1h22-4=0、即4=-1h22YY=h=0，66 x 27=0x应该满足取任何值，6=7=0-hhxyx=0dy=-hh-121y2-1dy=-p若将式(e )代入上式积分-hh121y2-121h2dy=p计算为1=-3P2h3=-PIz、1=-121h2=12PIzh2其中，Iz=12h312=2h3/3，截面相对于z轴的惯性矩。最后得到应力成分x=-pixtools，y=0xy=-P2Ixh2-y2考察3-3应力函数=F2h3xy3h2-4y2不一致的方程式，求出应力成分(体力除外)，画出题3-2图所示的矩形体边界上的面力分布(在二次边界上表示面力的主向量和主矩)，指出该应力函数能够解决的问题。解(1)互换条件：代入互换方程式4x424x2y24y4=0显然令人满意。(2)应力成分式x=-12Fh3xy，y=0，xy=-3F2h1-4y2h2(3)边界条件：在y=h/2的主要边界，必须正确决定满足应力边界条件yy=h/2=0，xy=-3F2h1-4y2h2=0将圣维南原理应用于次边界x=o，x=l时，将列出三个积分的应力边界条件-h/2h/2xx=0和ldy=0 (a )-h/2h/2xx=0ydy=0，-h/2h/2xx=lydy=-Fl (b )-h/2h/2xyx=0，ldy=-F (c )在如图所示矩形板和坐标系中，当在板内产生上述应力时，从应力边界条件式(a)(b)(c )可知，上边、下边没有面力.左边界具有铅直力.右边界具有直线变化的水平面力. 因此，能够解决悬臂在自由端受到集中力的问题。3-6问题3-6图示的壁在高度h、宽度b、hb，在两侧受到均匀的剪切力q的作用，用试用函数=Axy Bx3y求出应力成分。解： (1)互换条件将应力函数代入互换式4=0。 在这里4 x4=0，4 y4=0，4 x2y2=0。明显满足互换性方程式。(2)应力成分式x=2y2=0，y=2x2=6xyy，xy=-2xy=-a-3bx2(3)考虑边界条件时，主要边界x=b/2各有两个应正确满足的边界条件xx=b2=0，xyx=b2=-q二次边界y=0不能精确满足yy=0=0和yxy=0的条件(否则，仅A=B=0)，并且可以用积分的应力边界条件替换-b/2b/2yxy=0dx=0。(4)将各应力成分代入边界条件A=-q2，B=2qb2应力成分为x=0，y=12qb2xy，xy=q21-12x2b2每3-7厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力没有问题，lh如问题3-7图所示，试验应力函数=Axy By2 Cy3 Dxy3求出应力成分。LH，=1解(1)互换条件将=Axy By2 Cy3 Dxy3代入互换方程式，则明显令人满意。(2)应力成分式x=2y2=2b6cy6dxy，y=2x2=0，xy=-2xy=-a3dy2(3)考虑边界条件时，主要边界y=h/2具有两个要精确满足的边界条件yy=h2=0，yxy=h2=0得A 34Dh2=0 (a )在二次边界x=0时，只给出面力的主向量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件来替换。 请注意，x=0是负的x面-h/2h/2xx=0dy=-FN，获得B=-FN2h；-h/2h/2xx=0ydy=-M，C=-2Mh3得到-h/2h/2xyx=0dy=-Fs、Ah 14Dh3=Fs (b )用式(a)(b )求解A=-3Fs2h，D=-2Fsh3最后的次边界条件(x=l )不需要重新检查，因为在满足所有平衡微分方程式和上述边界条件的条件下，它们是必然满足的。 如果代入应力公式x=-FNh-12Mh3y-12Fsh3xyy=0xy=-3Fs2h1-4y2h23-9问题3-9图中的简支梁仅受重力作用，梁的密度通过试验教材3-4中的应力函数(e )求出应力成分，描绘截面上的应力分布图。xyyx解(1)应力函数为=x2ax2by2cyxey3f y2gy-a 10 y5- b6y4hy3ky2a(2)应力成分公式x=x 226 ay2bx6ey2f-2 ay3-2by 26hy2kby=Ay3 By2 Cy D-gy cxy=-x3ay2byc-3ey2fy2gs由于这些应力分量满足平衡微分方程和相容性方程，因此应力分量表达式(b )、(c )、(d )是正确的解，只要可以选择适当的常数a、b、k并满足所有边界条件。(3)考虑对称性。 由于yz面是梁和载荷的对称面，应力分布必须与yz面对称。 其中x和y是x的偶函数，xy是x的奇函数，因此由式(b )和(d )可知E=F=G=0(4)考察边界条件：在主边界y=h/2处，应正确满足应力边界条件yy