3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量.ppt

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量,研究,从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.,为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？,1直线的方向向量,直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。,p,空间中任意一条直线l的位置可由l上的一个定点A以及l的方向向量确定.,那么对直线l上的任意一点P，一定存在唯一的实数t，使得,由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。,平面的法向量,平面的法向量：如果直线l，则l的方向向量叫做平面的法向量，记作。,l,几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有,给定一点A和一个向量,那么过点A以为法向量的平面是确定的.,a,b,3向量在立体几何中的应用,b,a,a,a,练习：,4.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,l1l2,l1l2,5.设分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,.,.,练习：,练习：,6.设是直线l的方向向量,是平面的法向量,根据下列条件,判断l与的位置关系.,l或l.,l.,例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量.,证明：设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1),所以平面ACD1所以是平面ACD1的法向量.,由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取x=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。,例2已知空间中的三点A(1,-2,0)，B(3,0,1)，C(5,3,3)，求平面ABC的法向量与单位法向量.,设平面ABC的法向量为,平面的法向量不惟一，合理取值即可。,例3在空间直角坐标系内，设平面经过点P(x0,y0,z0)，平面的法向量为=(A,B,C)，M(x,y,z)为平面内任意一点，求x,y,z满足的关系式。,解：,例4证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。,已知直线a、b和平面、，a,b，ab=M，a，b，求证：,，,证：设直线a、b方向向量分别为，平面、的法向量分别为,因为a，b,因为a,b，ab=M，,所以,练习,1.已知分别是直线l1,l2的方向向量,两条件中l1、l2的位置关系是().,B,A平行平行B平行垂直C垂直平行D垂直垂直,2设平面的法向量为(1,2,-2)，平面的法向量为(-2,-4,k)，若，则k=；若，则k=.3设l的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(6,2,3)，若l，则m=；若l，则m=.,4如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，证明：BD1/平面AEC,用空间向量来解决下列题目,用空间向量来解决下列题目,在正方体AC1中，