核心素养之数学运算

核心素养之数学运算数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。一、运算能力的特征运算能力的主要特征：正确、灵活、合理、简洁。首先，要保证运算的正确，为此必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算中思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免错误。多题一解和一题多解在运算中十分普遍，即一般性与特殊性行往同时出现在实施运算的过程中，多题一解休现了运算的普适性，一题多解休现了运算的灵活性。二者的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理、简洁。估算也是种重要的运算技能，估算能力也是运算能力的特征之一，课标在每学段的学段目标和课程内容中，都强调了估算，并提出了具体的要求。所以我们要充分重视估算。进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有定的依据，需要掌握一点的方法，积累一定的经验，需要避免出现过大的误差，需要使估算结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。二、运算能力的培养与发展运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深化，从简单到复杂、从具体到抽象，有层次的发展。1、由具体到抽象第一学段（13年级）：理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算；第二学段（46年级）：认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律；第三学段（79年级）：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；掌握合并同类项和去括号的法则；进行简单的整式加、城、乘运算及因式分解，利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算，及简单的四则运算；解一元一次方程、可化为一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加减消元法解二元一次次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。第四学段（高中）：掌握集合的交、并、补等运算；命题的或、且、非等运算；指数、对数的运算；三角函数的运算；平面向量的线性运算，向量的数量积；一元二次不等式的解法，线性规划问题、基本不等式；数列的通项与求和；算法设计、概率；异面直线的夹角，线面角，几何体的表面积和体积；圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系；排列，组合与二项式定理；参数方程；矩阵等。无论是学习和掌握数与式的运算，还是解方程和解不等式的运算，开始总是和具体事物相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式、方程与不等式的运算。至高中阶段进行更为抽象的符号运算。运算思维的抽象程度，是运算能力发展的主要特征之一。2、由法则到算理学习和掌握数与式的运算、解方程和不等式的运算，在反复操练、相互交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎么算？”“怎么算的好？”“为什么要这样算？”等系列问题的思考。这是有法则到算理的思考，是运算从操作的层面提升到思维的法面，这是运算发展的重要内容。3、由常量到变量函数在第三学段是重要的内容，函数概念的引入，运算对象从常量提升到变量。运算的内容更加丰富多彩，课程标准中不仅有：“能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值”“会利用待定系数法确定一次函数的表达式”“会用配方法将数字系数的二次函数化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的定点坐标”等直接进行运算的内容;还包括与运算密切相关的内容，如“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”“结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论”。由变量到常量，表明运算思维产生了新的飞跃，运算能力也发展到了一个新的高度。4、由单向思维到逆向、多向思维逆向思维是数学学习的一个特点。在第学段，课程标准规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，休会加与减、乘与除的互逆关系。”在第三学段，又增加了乘方与开方的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数、微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之。运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方式是生逆的，更是相铺相成的。在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系、相互制约、有相辅相成，更需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法，需要择优选用。这是运算思维达到一个新高度的重要标志，是运算能力的培养与发展的高级阶段。由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练、灵活多样、合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。三、高中运算能力的培养运算能力反映一个学生的综合能力。运算是指在运算律的指导下对具体的数、式进行变形的演绎过程。高中数学运算包括数的运算、式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算。运算能力反映在运算的准确、合理和敏捷的程度上。它主要表现在灵活运用运算的法则、性质、公式，善于观察、比较、分析、综合、概括、推理等方面。是与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力以及空间想象能力等其它认识能力相互渗透、相互支撑形成的一种综合的数学能力。依运算的抽象度，对运算可作如下划分平凡运算：1、法则运算；2、公式运算；3、定理运算；4、定义运算非平凡运算：1、分析与综合运算；2、抽象与归纳运算； 3、类比与联想运算；4、构造与建模运算以上划分只是归纳出常见的运算形式，依运算思维的抽象度，将其划分为两个不同的层次便于把握运算能力的层次要求。两类的主要区别在于前者体现运算的“机械”性，后者体现了运算的深刻性和一定的创造性。由上可见，运算是思维的“载体”，运算能力体现思维能力，是数学素质的一面镜子。（一）运算能力差的原因数学的理论是数学运算的基础和依据，只有正确理解有关的数学概念，切实掌握有关的数学定理、公式、法则，才能找到合理的算法、算理。才能取得正确迅速的运算结果。（1）概念、公式、法则遗忘，是造成运算不正确的直接原因为此，在教学中应注意：向学生讲明记牢、记准概念、公式、法则的重要性。学习数学和学习其它任何一门学科一样，都离不开记忆。没有一定的记忆能力，就不可能有知识的积累，更不可能有知识的发展与应用。教学中注意以旧引新，以新促旧，新旧联系，相得益彰，使学过的知识经常不断地在学生的头脑中再现，增加记忆次数，促进记忆效果。高中数学内容多、课时紧，教材中各部分内容相对独立，反复次数较少，学生容易遗忘。所以我们应有意识地帮助学生温故知新。在选择例题、布置习题时要精心筛选，也可以采取课外兴趣小组、竞赛、每周几题等形式使学生把旧知识与新内容有机地结合起来，构成知识网络。在讲投概念、公式、法则时，让学生在理解的基础上，用白己的话准确地表达出来，提高表达能力，并与学生道总结记忆这些概念、公式、法则的方法，使学生记忆得法，提高记忆能力。（2）概念不清楚、公式、法则含混，是造成运算不正确的主要原因讲授新课时，尽量做到由具体抽象，由感性到理性，遵循认识规律，自然地形成概念，导出公式、法则，弄清公式和法则的来龙去脉，明确条件是什么，结论是什么，在什么范围内使用，并通过课堂练习及时巩固，使学生在头脑中建立起清晰的第一印象。对相关的概念，易混的公式、法则，通过列表，图示等方法进行对比，加以区别，澄清模糊混淆的东西，提高理解力。及时回收教学效果的反馈信息，一旦发现典型错误，就立即通过正反两方面的例子进行纠正，使错误不形成定势。（3）死套公式，是造成运算错误的又一原因知识学得死，公式、法则不能灵活运用，而造成运算错误。为避免此类错误，教学中应注意：透彻地阐明概念的本质属性，深刻分析公式、法则的实质，讲明公式使用的条件、范围。对公式、法则的使用要做到正用、反用、变形用。在习题课、复习课中，收集一些灵活性强、启发性大、综合性好、学生通过努力能解答的习题作为练习题，培养学生思维能力的灵活性、敏锐性和深刻性等品质。（4）基础不扎实数学运算有层次性，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。简单的分数运算不过关，那么进行分式的代数运算就很困难。因此，必须重视基本功训练，切不可轻视那些简单的、低级的运算。（二）总结运算规律、掌握运算技巧、提高速度（1）掌握数学运算的程序，才能合理、迅速地完成运算比如求任意角三角函数值一般要按这样的程序：负角三角函数0360的三角函数090的三角函数求值。这样，每一步该做什么，就有章可循，避免乱猜乱碰绕弯子，影响运算速度。因此，教学中应及时总结解题规律，进行严格的、有条理的训练，提高运算的合理性和白觉性，从而提高运算的准确性和迅速性。（2）数学运算富有技巧性，没有形成熟练的技能与技巧，就不能简捷地完成运算在教学中首先把精力用在掌握系统的运算规律上，同时也应当对常用的技能技巧问题给以足够的重视。例如常用的“换元法”、“形数结合法”、三角中“1”的变换、解析几何中参数选择等，技巧性都很强。要鼓励学生有意识地收集、归纳，鼓励他们一题多解，多题一解，积累经验，形成技巧。（三）运算能力重在长期培养数学运算具有艰巨性，没有良好的心理素质，不能成功地完成运算。数学运算涉及的几乎都是数、式、符号等的各种变形和推导，内容很枯燥、情况很复杂，有的题要多步运算和推理才能出结果，其间，还要随时判断解题的发展方向，抉择运算的途径，分析各种可能的情形，稍不小心，就会出错，影响结果。当前的学生，有不少缺乏吃苦耐劳的精神，表现在学习上就是不刻苦、少毅力。题目稍有难度，计算稍繁，就做不下去。有的学生常说:一看这题，头都大了。于是干脆连尝试都不做。所以，要经常做学生的思想工作，明确学习目的，端正学习态度。要鼓励他们的每一点进步。对待运算题，要求学生做到：做题前要有信心，做题时要细心，遇到问题要耐心，认真分析题意，寻找解题途径，顽强克服困难，仔细检在每一步运算，做到正确、迅速。培养与提高学生的运算能力是一项复杂的系统工程，是一项长期而艰巨的任务，教学中不会有“立竿见影”的效果，而要靠长期的、反复的实践活动，循坏往复、螺旋上升。要把运算能力的培养贯穿于整个中学数