概率论与数理统计答案-第四版-第1章(浙大)

1、 写出下列随机试验的样本空间S：（1） 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2） 生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查结果。（4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。(1)解：设该班学生数为n，总成绩的可取值为0,1,2,3，100n，(2)解：S=10、11、12所以试验的样本空间为S=i/n| i=1、2、3100n(3)解：设1为正品0为次品S=00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010 (4)解：取直角坐标系，则S=（x，y）|x2+y21取极坐标系，则S=（，）|1,00，证明P（AB|A）P（AB|AB）（2）若P（A|B）=1，证明P（B|A）=1（3）若设C也是事件，且有P（A|C）P（B|C），P（A|C）P（B|C），证明P（A）P（B）解：（1） P（AB|A）=P（AAB)P（A）=P（AB)P（A） P（AB|AB）=P（ABAB）P（AB）=P(AB）P（AB） 因为 P(A)PAB笔误?右边是并吧所以 P（AB)P（A）P(AB）P（AB）因此 证明 P（AB|A）P（AB|AB）（2）P（B|A）=P（BA)P（A）=1-P（AB）1-P（A）=1-PA-PB+P(AB)1-P（A）因为 P（A|B）=P（AB)P（B）所以 P(AB)=P(B)所以 P（B|A）=1-PA-PB+P(AB)1-P（A）=1-PA1-P（A）=1（3）P（A）=P(AC)+ P(AC)= P（A|C）P(C)+ P（A|C）P（C） P（B）= P(BC)+ P(BC)= P（B|C）P(C)+ P（B|C）P（C）所以 P(A)-P(B)=P(C)( P（A|C）- P（B|C）)+ P（C）(P（A|C）- P（B|C）)已知 P（A|C）P（B|C） P（A|C）P（B|C）所以 P(A)-P(B) 0所以 P（A）P（B）28有两种花籽，发芽率分别为0.8和0.9，从中各取一个，设各花籽是否发芽相互独立 （1）这两颗花籽都能发芽的概率 （2）至少有一颗能发芽的概率 （3）恰有一颗能发芽的概率解：设事件A为a花籽发芽，事件B为b花籽发芽（1） P（AB）=P(A)P(B)=0.72（2） P（AB）=P(A)+P(B)-P(AB)=0.98（3） P(ABAB)= P（AB）- P（AB）=0.2629、根据报道美国人血型的分布近似地胃：A型为37，O型为44，B型为13，AB型为6。夫妻拥有的血型是相互独立的。（1）B型的人只有输入B、O两种血型才安全。若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率。解：设一个人的血型为A,B,0，AB分别为事件A,B,O,AB.(1) 设夫是妻的安全输血者为事件C,则P（C）=P（B）+ P（O）=13%+44%=0.57(2) 设妻为B型夫为A型为事件D,则P（D）=P（B）P（A）=13%37%=0.0481（4） 设随机地取一对夫妇，其中一人为A型，另一人为B型为事件X，则事件X包括妻为B型夫为A型和妻为A型夫为B型,P（X）=P(A) P(B)+ P(A) P(B)=0.0962(4)法一：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是O型为事件Y，一个人的血型不是O为事件 ,则事件Y可表示为两人恰有一人为O型和两人都是O型，P(Y)=P(O) P()+P(O) P()+P(0) P(O)=0.6864法二：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是O型为事件Y，则事件Y的对立事件为两人都不是O型血（事件）,则P(Y)=1-P()=1- P()P()=0.686430、（1）给出事件A、B的例子，使得（i）P（A B）P（A），（ii）P（A B）=P（A） （iii）P（A B）P（A）（2）设事件A、B、C相互独立，证明：（i）C与AB相互独立 （ii）C与AB相互独立。（3）设事件A的概率P（A）=0，证明对于任意另一事件B，有A、B相互独立。（4）证明事件A、B相互独立的充要条件是P（A B）=P（A B）答：（1）（i）当事件B发生会是事件A发生的概率减小时，P（A B）P（A） 比如A是骑自行车上学的学生，B是男生，全集是所有学生（ii）当事件B发生对A没有影响，即A、B互为独立事件时，P（A B）=P（A）比如事件A是扔骰子得到一点，事件B是明天下雨。（iii）当事件B发生会是事件A发生的概率增加时，P（A B）P（A） 比如事件A是课余时间我去健身，事件B是课余时间室友们健身，显然他们很有可能对我的决定产生影响。（2）（i）A、B、C相互独立 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=P（AB）P（C） 即P（AB）C）=P（AB）P（C） C与AB相互独立 （ii）P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB） P（AB）P（C）=P（A）P（C）+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(AB)C) C与AB相互独立（3）因ABA,故若P（A）=0，则0P（AB）P(A)从而 P(AB)=0=P(B)0=P(B)P(A)按定义，A,B相互独立。（4）必要性.设A,B相互独立，则A, 也相互独立，从而只P（A|B）=P(A), P(A|)=P(A).故P（A|B）= P(A|).充分性.设P（A|B）= P(A|)，按定义此式即表示 =由比例的性质得=31.设事件A，B的概率均大于零，说明以下叙述（1）必然对，（2）必然错，（3）可能对。并说明理由。（1）若A与B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3）P(A)=P(B)=0.6，且A,B互不相容。（4）P(A)=P(B)=0.6，且A,B相互独立。解：（1）、（2）必然错原因：若A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)0 若A，B互不相容，则AB=,即P(AB)=0 所以（1）、（2）必须错（3）必然错原因：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)1 P(A)=P(B=0.6) 笔误 即P(AB)0.20 则A，B不可能互不相容（4）可能对原因：当P（AB）=P(A)P(B)=0.36时，A，B相互独立，否则A，B不相互独立。32.有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有概率0.005报道为假阳性（即不带艾滋病毒者，经此法检验有0.005的概率被认为带艾滋病毒），今有140名不带艾滋病毒的正常人全都接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？解：设事件A表示被报道至少有一人带艾滋病毒P(A)=k=1140P140(k)=1-P140(0)=1-C14000.00500.=0.504333、 盒中有编号为1,2,3,4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A 为“取得的是1号球或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”验证：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，但P(ABC)P(A)P(B)P(C)，即事件A，B，C两两独立，但A，B，C不是相互独立的。解、由题意知，事件AB，AC，BC，ABC均为“取得的是1号球”则P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=，且P(A)=P(B)=P(C)=所以P(AB)=P(A)P(B)=，P(AC)=P(A)P(C)=，P(BC)=P(B)P(C)=,但P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=。故可证明事件A，B，C两两独立，但A，B，C不是相互独立的。34、 试分别求以下两个系统的可靠性：（1） 设有四个独立工作的元件1，2，3，4，它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按题34图（1）的方式连接（称为并串联系统）（2） 设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5，它们的可靠性均为p,将它们按题34图（2）的方式连接（称为桥式系统）。123412345解：（1）设系统工作为事件B，元件1,2,3,4工作分别为事件A1，A2，A3，A4，则 P（B）=P（A1）P（A2A3A4） =P1P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4) =p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4(2)设系统工作为事件B,元件1,2,3,4,5工作分别为事件A1，A2，A3，A4，A5则 法一P(B)=P3P(A1A4)P(A2A5)+(1-P3)P(A1A2A4A5) =p（p+p-p*p）(p+p-p*p)+(1-p)(P*P+p*p-p*p*p*p) =法二P(B)=P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2) =p(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5) -P(A1A2A4A5)-P(A1A2A4A3A2)-P(A1A3A5A4A5)-P(A1A3A5A4A3A2) -P(A4A5A4A3A2)+P(A1A2A1A3A5A4A5)+P(A1A2A1A3A5A4A3A2) +P(A1A2A4A5A4A3A2)+P(A1A3A5A4A5A4A3A2) -P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2) = 35、如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我么可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性. 在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出. 如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的.解：法一设Ai表示事件“第i只开关闭合”，则Ai表示事件“第i只开关断开”，iN*.根据题意， Ai(iN*)之间彼此独立且P(Ai)=0.96. 另设Bi表示事件“有i个开关并联时遇到情况C电路闭合”， iN*.（1）当有两只开关并联时,系统可靠性为 P (B2)=P (A1A2)=1-P (A1A2)=1-P (A1A2)=1-P (A1)P(A2)=1-(1-0.96) (1-0.96)=0.9984当有两个开关并联连接时，系统可靠性为0.9984. （2）当有n只开关并联时，系统可靠性为 P (Bn)=P (A1A2An)=1-P (A1A2An)=1-P (A1) P (A2) P (An)=1-(1-0.96)n=1-0.04n 所以要使P (Bn)达到0.9999，即P (Bn)0.9999，则 1-0.04n0.9999 即0.04n0.0001 即nlg0.04lg0.0001 即nlg0.0001lg0.04=4lg25=2.861 因为n只能为整数，所以n至少为3，即如果需要有一个可靠性为0.9999的系统，则至少需要用3只开关并联.法二1) 解：设两个开关分别为A和B.电路的可靠性即开关至少一个闭合，又因为A与B相互独立，故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B)=0.96+0.96-0.96*0.96=0.99842) 解：为使系统可靠性达到0.9999，设需要n个开关，第i个开关用Xi 表示，n个开关相互独立，同理，P(X1+X2+X3+.+Xi+Xn)=i=1nPXi-1ijnP(XiXj)+-1n-1P(X1X2Xn)则令n=3时，P(X1+X2+X3)=P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X1X2)-P(X1X3)-P(X2X3)+P(X1X2X3) = P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X1X2)-P(X1X3)-P(X2X3)+P(X1)P(X2)P(X3)=0.96*3-0.96*0.96*3+0.963 =0.0.9999 因此当n=3时，已可以使系统达到要求的可靠性。故至少需要用3个这样开关。36、三人独立地破译一份密码，已知个人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解： 设Ai表示事件“第i个人译出密码”，i=1,2,3. Ai之间相互独立。 则事件“至少一人能将此密码译出”即A1A2A3. P (A1A2A3) =1-P (A1A2A3) =1-P (A1A2A3) =1-P (A1) P (A2) P (A3) =1-(1- 15) (1- 13) (1- 14)=35.所以三人中至少有一人能将此密码译出的概率是3/5。37. 设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率（2）求有一只蓝球一只白球的概率（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率解：（1）设“至少有一只蓝球”为事件A，则其对立事件A为“两只盒子都未抽到蓝球”因为在两只盒子中取球相互独立，所以P（A）= 4779 = 49 则所求概率P（A）= 1 - P（A）= 1 - 49 = 59（2）设“有一只蓝球一只白球”为事件B，“第一只盒子取到蓝球，第二只盒子取到白球”为事件C，“第一只盒子取到白球，第二只盒子取到蓝球”为事件D则P（C）= 3749 =421 P（D）= 2729=463由于事件C、D互斥，则所求概率P（B）= P（C）+ P（D）= 421+463=1663（3）由（1）（2）所设及题意知所求概率为P（B|A）=P（AB）P（A）=P（B）P（A）= 1663 / 59=163538. 袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率为多少？解：设“一枚硬币投掷r次每次都得到国徽”为事件A，“这枚硬币是正品”为事件B由于每次投掷硬币相互独立，则 P（A|B）=（12）r P（A|B）=1 P（B）=mm+n P（B）= 1- P（B）= nm+n 由题意知所求概率为P（B|A） 根据贝叶斯公式 P（B|A）= PABPA=PABPBPABPB+PABPB = （12）rmm+n （12）r mm+n +1 nm+n = mn2r+m T39. 设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为A1）,损坏10%（事件A2）,损坏90%（事件A3）,且知P(A1)=0.8，P(A2)=0.15，P(A3)=0.05.现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为B）.试求P(A1|B), P(A2|B) ,P(A3|B) (这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)。解：P(B|A1)=(1-2%)3=0.P(B|A2)=(1-10%)3=0.729P(B|A3)=(1-90%)3=0.001P(A1B)=P(B|A1)*P(A1)=0.*0.8=0.P(A2B)=P(B|A2)* P(A2)= 0.729*0.15=0.10935P(A3B)=P(B|A3)* P(A3)= 0.001*0.05=0.00005因为A1、A2、A3是S的一个划分，由全概率公式得：P(B) = P(B|A1)*P(A1)+P(B|A2)*P(A2)+P(B|A3)*P(A3)= 0.*0.8+0.729*0.15+ 0.001*0.05=0.再由贝叶斯公式得：P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(B|A1)*P(A1)P(B|A1