概率与统计在高中数学中的运用

第2章 概率统计在高中数学教学中的重要作用为适应信息时代的发展，我们在平时的数学教学过程中应重视学生数学思维品质及综合能力的培养，这也就是一个授人以鱼而不如授人以渔的过程。本文在讨论概率统计在高中数学教学中的应用策略前，有必要对其在高中数学教学中的重要作用分析，并主要从以下三个方面进行：有利于培养学生的思维品质、有利于高中生开展研究性学习和培养高中生的创新能力。2.1 概率统计在教学中培养学生的思维品质在概率论发展的早期阶段，研究的主要是古典概率。在早期阶段所针对的是基本事件数有限的情况，为确定事件概率，只需计算各种可能出现的情况便可。然而随着科学技术的发展，以及对概率统计的强烈需求，一些数学家在一开始就注意到把等可能思想推广到含有无限多个可能性事件的情况，从而产生了几何概率。从古典概率发展到几何概率，体现出从有限到无限的极限过程。笔者在教学过程中，深刻地认识到高中概率统计中蕴含着很多数学思想，如：比例思想；补集思想；数形结合思想；分类讨论思想；数学模型思想。不管是这其中的那种数学思想，其实质均为随机性数学思想6。教师在授课课程中注重概率论与数理统计，有利于培养学生随机性思维品质，且这种品质不同于以前的那种类似于“书呆子”式的一成不变。学生在长期的确定性数学的学习过程中，习惯于用纯粹的、确定性的方法来描述和解决问题，习惯于任何数学问题只有唯一的准确答案，一旦遇到不确定性的问题并束手无策7。本质上我们所能够遇到的问题绝大多数为随机性情形，随机现象是概率统计的研究对像，通过重复试验，我们发现并不总是出现相同结果的现象。新编高中数学教材在讲述概率时是通过给出若干个事件引导学生分析其特点然后自然引出随即事件的定义后逐步展开的。结合笔者实际的教学经验，这种编排有利于打破传统教学中给予学生的思维定势，培养随机性的发散思维，能够更为灵活地解决愈加复杂的问题。教学中，教师可充分利用这一有利时机，进一步引导学生从身边的实际入手，各抒己见，列举出更多的事件，让学生自觉、能动地参与教学活动的全过程。这样通过师生互动，理清“随机”的内涵，真正认识到广泛存在于现实世界中的随机概率事件。同时这一过程中，可让学生体会学习概率统计的必要性，增强培养随机性数学思维学好概率统计的自觉意识。而且通过平时的教学，可让学生深刻理解概率与数理统计之间相辅相成的关系，弄清概率论其实偏重于基础理论，而后者数理统计偏重于研究应用。通过对概率论与数理统计本身特点的理解，即概率论的特点是针对实际的随机事件提出数学模型，然后去研究它的特征、性质和规律性；而统计则是以概率为基础，通过对观察所获的数据来建立与之相对应的数学模型，从而作出客观地分析。课堂中在讲授概率论与数理统计时，是可以反映概率论与数理统计之间的逻辑关系，而这种相辅相成的逻辑关系对于学生深刻理解概率论与数理统计有着重要的作用，这种理解恰恰符合培养学生随机性思维品质的要求，从而促使学生在不同场合下灵活运用随机性数学思维去解决不同的实际问题。2.2 概率统计有利于高中生开展研究性学习由于概率论与数理统计解决的是一类随机性问题，而随机性问题往往需学生投入更多时间来思考，而这种思考常会激发学生积极地开展研究性学习，加深对基础知识的把握和客观世界的理解。解决概率统计问题，便没有一成不变的解决方法和问题答案，传统的数学教学只是把知识点弄清楚，而概率统计不同于传统的数学教学，是要求采取适当的方法，在老师的引导下积极发挥学生的主体作用，培环 境问题情境研究问题形成模式观察分析观察分析抽象概念解决问题养他们在解决实际问题中的探索精神。这一过程我们可以如下的图形来表示：图1结合笔者的实际教学情况，数学开放性问题一般都具有一定的挑战性，而这种开放性更多地蕴涵于概率统计中，并侧重于学生解决问题的思路和策略，而不是问题的答案，这能够诱发学生的学习兴趣和学习动力，调动和发挥学生的非智力因素，有助于培养学生的发现能力、创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这些都与“新教改”的目标和要求是吻合一致的。因此针对众多的含概率统计思想的数学开放问题非常适宜于学生进行研究性学习8。教师在设计、选择开放题时应尽量做到贴近真实的生活环境，使学生能充分地意识到数 学的有用之处和巧妙之处，而不是认为数学是毫无用处的，因此来调动学生的学习热情，培养他们发现问题、提出问题、解决问题的能力，并激发学生的求知欲和进取精神。2.3 概率统计有利于培养高中生的创新能力随着社会的不断进步和科学技术的飞速发展，世界正从传统的工业时代向现代化的信息时代迈进，知识经济已初见端倪，而知识经济的核心在于创新，这对高中教育和高中学生同时提出了更高的要求。高中数学教育只有不断地适应时代深化改革，培养出的学生才能具备相关的创新素质与能力，以适应知识经济发展的需要。长期以来，受传统教学思想的影响，数学教育习惯以传授知识、训练解题技能为主要方式，以教学内容的单一性和稳定性为基本出发点，牢牢地束缚了学生的思维，只得被动地接受标准而单一的答案，不允许自由发挥。在传统教学过程中，学生创新能力的培养没有得到足够的重视，只是满足于考试成绩的合格，灵活运用数学知识解决实际问题的能力被忽略9。对于现代教育来说，知识的获取不再是教育的最终目的，而是认识科学本质、掌握学习方法、培养思维能力的手段，强调在学习中发现和体验知识这一过程，而不是简单地重复知识或是完成考试。教育思想和教育观念是教育改革的先导，而培养学生创新能力是适应教育思想转变的需要，其关键是培养学生创造性解决问题的方法和勇于探究实际问题的精神。在这一教育改革过程中，学生的动手和创新能力在解决实际问题中得到培养，这是传统教育与现代教育最重要的区别。因此我们有必要让学生树立概率论与数理统计的基本数学理念，从而增强学生对它的兴趣，最后达到培养学生的理论与实践创新能力16。虽然概率统计对于培养高中生的创新能力有种重要的作用，但一般学生均会觉得概率统计学起来非常困难，但正是这一感觉困难的学习过程，便是培养学生理论与实践创新能力的过程。概率论与数理统计难学与难教的主要原因是这门课程的理念与其他的数学基础课的理念不同。学生从小学到初中再到高中，在头脑中树立的主要数学基础课和专业课的理念是确定性的，比如：同性电荷相斥，异性电荷相吸引；太阳必定从东方升起，从西方落下，等等。而不同于原有的确定性原理，概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科，要想使学生学好概率论与数理统计，就必须让学生具备概率论与数理统计的思维理念，即如何揭示随机变量的统计规律性。而且有关概率统计的发展历史丰富多彩，这一多彩的发展历史在无形中培养了学生的学习兴趣。另外，概率统计的历史故事隐约体现了一条哲理：不要把数学想得那么艰难晦涩，不可捉摸，它只不过是现实生活的升华而已10。同时也验证了E. Knuth的话：我所知道的每一点数学都以这样那样的方式在实际应用中帮了我的忙9。在有关概率论与数理统计认知和学习的过程中，学生的创新能力得到逐步的培养，并具有了一定的能力去解决实际生活中的科学问题。学生在这一过程中培养自身的创新能力，还需学校和老师在教学方法和手段上进行创新，以提高学生自我学习和研究的兴趣与精神。第3章 概率统计在高中数学教学中的应用策略在上一章中分析了概率论与数理统计在高中数学教学中的重要作用，为了在今后的教学过程中强化这种作用，我们有必要对概率统计在高中数学教学中的应用策略进行分析，并主要以下三个方面进行：重视基础知识，培养学生运用概率统计解决实际问题能力、提供实践机会，加深学生对概率统计解决实际问题的理解和提高教师素质，保障课堂上概率统计有效教学的顺利实施。3.1 重视基础知识，培养学生运用概率统计解决实际问题能力重视概率论与数理统计的基本概念和基本思想，帮助学生逐步加深理解和认识概率统计，“与时俱进”地重新审视基础知识与技能。在传统教学过程中，我国各阶段的数学教学均对“双基”训练一直高度重视，但是随着新标准的诞生，以及教学改革中存在的不足，仍然与发达国家存在着差距，导致学生有着很强的计算能力，却在面对较为复杂的实际问题时往往束手无策11。虽然通过加强概率统计的教学，增强学生处理实际问题的能力，但是如果学生在概率统计方面的基础存在不足的话，那么也会影响他们运用相关知识解决实际问题的能力。所以我们有必要在传统教学改革的基础上，增强学生在概率统计方面的基础知识，培养他们随机性思维品质，提高处理复杂的实际问题的能力17。虽然我们经常呼吁理论联系实际，但由于在巩固知识与“双基”训练上花费了大量的时间，在这次改革中，概率论与数理统计部分力求显示其数学思想，关注学生的整体认识水平，使学生能使所学数学知识能有效地揭示。客观世界事物的运动变化规律，能反映事物间的相互联系，而概率统计的思想在中学贯穿于每一种场合，打好这一基础，使学生体会概率论与数理统计在生活中的广泛应用。根据社会对数学教学的要求，以及学生知识结构的夜店和认识结构的变化，通过夯实学生的基础知识，能够促进他们逐步上升。在具体的操作过程中，我们要本着数学思维品质之上的原则，摈弃那些重复性和过于复杂的公式计算，在教学条件和环境许可的情形下，适当地增设一些探索性和开放性的数学问题，最好能够达到寓教于乐的境界，并在这一过程中不知不觉地促进学生基础知识的提高。这种改革与变化的出现，可以减少学生的学习负担，而将剩余的时间转移到数学问题的思考上来，而不是死记硬背和死板的公式计算。当然，对一些有探索性的问题进行引入时，应以学生所学的基础数学知识为起点，应充分体现学生的自主性和合作交流的能力，避免因为问题过难而打击学生的积极性，削弱他们思考的积极性，否则会导致得不偿失。这样我们可以在真正意义上增强学生解决实际问题的能力，加强概率论与数理统计与现实世界的联系，主要可以通过创设问题情境，让学生在讨论问题的过程中学习有关材料的选取，都从实际问题出发，对概念的理解都放在现实情境中加以领会，应尽量使学生熟悉事物的题材，鼓励组织学生进行调查研究，学会运用所学知识解决实际问题的能力。3.2 提供实践机会，加深学生对概率统计解决实际问题的理解在概率论与数理统计中，只有给学生提供充足的实践机会，这种实践不一定是非要学生在生活中利用概率统计的知识解决实际问题，也可让学生在课堂中亲自经历与概率统计有关的活动，有意识地培养他们从概率统计的角度地考虑有关问题，学会收集数据和分析数据，直正地投入到利用统计与概率解决实际问题的探索活动当中，加深学生对概率论与数理统计解决实际问题的理解。概率统计教学主要用来培养学生的随机观念，了解随机现象与概率的意义，随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性12。概率统计学习的目标是要求学生对基本的概率统计知识的掌握，发展随机性思维能力，不应过多地将时间应用于计算，教学中应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义，如可以模拟掷硬币的试验等。另外在实际的教学过程中，我们不应该让概率统计学习同以往的“题海战术”那样淹没在“数据计算”中，重点是促进学生在真实环境下加深对概率论与数理统计的理解，进而在这种基础上解决实际问题1318。为达到这种目的，我们在概率论与数理统计教学中要有意识地靠编制事件、提出课题、处理实际问题，当然如果能够多利用生活中的案例进行教学最好不过。概率论与数理统计所涉及到的是现实世界中一些对象，即是针对现实生活中的具体案例（该具体案例可能是虚构的），运用适当的手段与方法来解决这一问题，利用之前的有关知识来对相关结果进行预测，提供对方可供选择和处理的可行性方案。如用某产品的销售情况，预测未来的情况。也可以通过实验，人为地创设条件，将其与别的社会实际问题联系起来，或者利用计算机（器）产生一些随机数模拟实际问题，总之现实生活中有许许多多的事例可供研究19。在新标准中有一条理念：倡导积极主动，用于探索学习方式。在实际操作过程中，这种学习方式更多的是面对实际案例，引导学生灵活运用概率论与数理统计只是来解决实际问题。这种方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程14。而统计与概率的内容形式多样，结合实际提高学生的学习兴趣，有助于学生形成主动的，多样的学习方式，养成独立思考，积极探索的习惯。弗赖登塔尔关于基础数学教育说过：“学校数学主要是活动的、操作的”。前面所描述的一切，归根结底在于要为学生多提供实践机会，这种实践机会可以是生活中的实际案例，也可以是教师在课堂上编造的切合实际的例题，在这种贴近实际生活的教学环境中，教师的角色可从“知识的传授者”向“促进者、引导者”转变，通过事先组织的问题情境，引导学生交流、合作，使学生积极主动地参与到学习中来，养成独立思考，充分体现自己的才能，同时感觉到概率论与数理统计的学习是有意义的，是可以在实际生活中大放异彩解决问题的；概率统计不是枯燥不成不变，而是时刻伴随着我们在生活中的每个角落。在这种力量（实践机会）的驱使下，学生自然会养成一种热爱概率统计、学习概率统计的学习习惯，并在无形中加深了自己对概率论与数理统计解决实际问题的理解。3.3 提高教师素质，保障课堂上概率统计有效教学的顺利实施为有效促进概率统计在高中数学教学中的应用，重点在于保障课堂上概率统计有效教学的顺利实施，作为课堂主体的教师在其中所起的作用异常重要。但不容忽视的是，教师相关素质的提高是其顺利实施的关键。因此，在讨论概率统计在高中数学教学中的应用策略时，我们有必要提高教师素质，以保障创新能力教学和创新教育的实施，真正意义上促进学生创新能力的提升。现代社会飞速发展，知识日新月异。目前绝不多数的高中教师在这方面表现较为薄弱，而且他们获取知识与信息的资源极为有限，因为受地域、经济、硬件等条件限制。在高中数学教学过程中教师应培养学生整理和构建知识框架的习惯，并把课堂交还给学生，真正实现以学生为主的课堂格局，充分培养学生的学习能力，增强学生学习的成就感，提高学生的学习兴趣，变被动为主动学习，以达到“授之以鱼不如授之以鱼”的目的。同时学数学的过程就是不断提出问题、分析问题和解决问题的过程，而这一过程是培养学生概率统计思想的绝佳时间。在课堂教学过程中，教师可通过创设问题情景，启发学生思维，让学生带着疑问进行学习，未解决疑问而积极思考；教师还可突出数学基本的思想方法，反复再现，逐步渗透。一旦相关的数学思想方法在学生脑海中形成历年，其数学思维能力和创新能力必将上升到更高一层次；同时教师还可经常引导学习进行反思性学习，优化学生的思维品质，促进学生创新能力的提升20。显然，学生的创新意识和创新激情主要来自于社会发展的要求，同时还来自于教师。新时代对教师有着更高的要求，高素质的人才呼唤高素质的教师，要求教师要有高尚的师德、全新的教育观念、多元的知识结构、综合的教育能力和健康的人格。培养学生的创新能力，首先要求教师具有更强的创新意识和创新能力，这就要求教师对高职数学有着更深刻的理解，和与实际问题遥相呼应的综合能力15。在高中数学教育中，如果教学条件允许，理论课程可与实践课程相辅相成，因为实践教学的开展离不开理论基础的支撑，所以教师在精通高中数学中概率统计知识时，还必须要有足够的实践经验和专业技术水平，以及应对科学技术发展和更新自身知识结构的能力。所以学校要求数学课需知识结构多元化，吸引优秀人才到高中学校工作，并不断地促进教师更新知识，全面提高全校教师的素质，保障培养学生创新能力教学的实施。第4章 总结与展望4.1 总结对于这个日新月异，不