数学小升初内部讲义

小升初内部讲义目 录第一讲 逻辑推理初步2第二讲 循环小数化分数5第三讲 分数计算（一）9第四讲 分数计算（二）11第五讲 分数、百分数应用题（一）14第六讲 分数、百分数应用题（二）17第七讲 生活中的经济问题20第八讲 工程问题22第九讲 圆的周长与面积24第十讲 不定方程28附录：综合检测卷（1）综合检测卷（2）第一讲 逻辑推理初步学习提示：本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。典型题解例1 22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有几人？例2 10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分的总和相等，求第三名的得分。例3 小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成。小张说：“它是84261”。小王说：“它是26048”。小李说：“它是49280”。小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字。现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。”你知道这个电话号码吗？例4 张教授连续做实验若干个小时，开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合。已知这个挂钟只在整点时报时（几点就报几下），整个实验过程挂钟共敲了39下，问：（1）张教授的实验一共做了几个小时？（2）他做完实验时，挂钟敲了多少下？例5 某次竞赛共有五道题，赵军只做对了题，得26分；钱广只做对了题，得25分；孙悦只做对了题，得26分；李肜只做对了题，得27分；周泉只做对了题，得28分；吴伟五题都做对了，问吴伟得了多少分？课后自测：1从三个方向看一个立方体，如下图，求H、X、Y的对面分别是什么字母。2有A、B、C、D、E共5位选手进行乒乓球循环赛，即每两人都要打一盘，且只许打一盘。规定胜者得2分，负者得0分。现在知道：A与B并列第一名，D比C的名次高。每个人都至少胜了一盘，求每个人的得分。3某班44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选举班长，A得选票23张，B得选票占第二位，C、D得票相同，E得选票最少，得4票，求B得选票多少张？4A、B、C三名同学参加了一次考试，试题共10题，都是判断正误题，正确的画“”，错误的画“”，每道题答对得10分，答错没有分，他们的答卷如下表题号学生12345678910ABC考试成绩公布后，三人都得70分，请你给出各题的正确答案。5甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一场。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经赛了几盘？6甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是8、7和17分，甲得了一个第一名，已知第一名的得分大于第二、第三名得分之和，各个比赛项目分数相同。问比赛共有几个项目？3人在各项目中各得多少分？第二讲 循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。典型题解一、 循环小数化成分数1、 纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化成分数呢？看下面例题。例1 把纯循环小数化分数： 2、 混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。例2 把混循环小数化分数及时练习：1、化纯循环小数为分数。2、 化下列混循环小数为分数。二、 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。例3 计算下面各题：三、 循环小数作加法 循环小数能直接作加法运算吗？（1）有限小数加循环小数考察下面的例子。计算： （2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。考察下面的一些例子。 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。考察下面的例子：再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？ 规律（1） 有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。其循环节跟原加数的循环节相同。法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节补足再相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。（2） 两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。法则是：用两个循环节相加的和除于999（其中9的个数等于循环节的位数），商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。（3） 两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。方法是：先把两个加数改成循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小数，再按照法则（2）进行计算。及时练习1 直接计算下列各题 2 直接计算下列各题 3 将分数化成小数计算 四、 循环小数与整数作乘法我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。下面分两种情形来讨论。（1） 纯循环小数乘以整数。考察下面例子： 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（2） 混循环小数乘以整数。混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进行计算。例如，计算 规律（1） 纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数中的循环节位数相同。法则是：用循环节乘以整数的积除以999（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。（2） 混循环小数乘以整数，先将混循环小数扩大一定的倍数，使它变成纯循环小数，按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得到混循环小数乘以整数的积。及时练习1、 计算下列各题 2、 计算 第三讲 分数计算（一） 学习提示：在分数四则混合运算中，按照四则运算的顺序进行计算的同时，如果能够根据数据特点灵活运用定律，可以使计算更简便、迅速。这一点在一定程度上反映一个人智商的高低和知识掌握的灵活程度。典型题解 例1 例2 例3 例4 例5 规律分数计算千变万化，但万变不离其宗，除了要掌握分数运算的计算法则、定律、性质外，还要有以下两种意识：1、 约分。约简分子、分母中的公因数及公因式。2、 灵活运用定律、性质。这里说的主要是运用乘法分配律。对于形如乘加(减)乘的算式及乘法算式，有一个因数可以凑整时，分析另一个因数的特点，必要时进行拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。同学们，通过以上讲解，不知对你是否有些启发，试一下怎么样。课后自测：第四讲 分数计算（二）学习提示在五年级的课本中，我们就学习过这样的题目：，如果直接通分计算，是对的，但是显然很麻烦。我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差来计算：原式=。通过拆分，使得一部分分数相互抵消，从而简便计算。两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化为分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数叫做埃及分数。埃及分数在分数计算中有着重要的规律。如这一讲，我们就来研究通过分数的拆分，计算较复杂的分数计算题。典型题解例1、例2、例3、例4、例5、课后自测：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、第五讲 分数百分数应用题（一）学习提示： 分数，百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学的重点和难点之一。学好分数，百分数应用题对发展能力，提高解题技能，具有非常重要的作用。解答分数，百分数应用题的关键是确定单位“1”，能够准确找出量与率之间的对应关系。分数，百分数应用题涉及的知识广泛，数量关系变化莫测，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，能灵活的应用一些解题方法。基本训练：（1），男生人数占全班人数的，你想到了什么？（2），读一本120页的书，读了这本书的，还剩多少页？（3），读一本120页的书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，还剩下多少页没有读？（2），（3）题的数量关系基本是相同的：单位“1”的量分率=分率的对应量。（4），读一本120页的书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，还剩下50页没读，这本书一共多少页？（5），读一本书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，第一天比第二天多读了10页，这本书一共多少页？（4）（5）题的数量关系基本相同，分率的对应量分率=单位“1”的量。在认真读题的基础上，首先确定谁为单位“1”，再结合线段图确定量率对应关系。这是解决较为复杂分数，百分数应用题的基础。典型题解例1 读一本书，第一天读了这本书的还多10页，第二天读了这本书的少3页，还剩下43页没读，这本书一共多少页？例2 用两天读完一本130页的书，第一天读的页数比第二天的多10页，第一天读了多少页？例3阳光水果店运来荔枝，香蕉，苹果共1600千克。当卖出荔枝总数的和150千克香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。原来运来这三种水果各多少千克？例4：小华读一本故事书，第一天读了这本书的，第二天读了余下的，两天一共读了220页，这本书一共多少页？例5：甲，乙两人分别有人民币若干元，甲比乙多，当甲给乙9元时，乙反而比甲多，问甲乙两人原来分别有人民币多少元？课后自测1 小华看一本故事书，每天看60页，3天后还剩下这本书的，这本故事书共有多少页？2 小芳读一本故事书，第一天读了这本书还多6页，第二天读了这本书的少8页，最后还剩下172页没读，这本故事书一共多少页？3 参加六年级数学竞赛的学生共有577人，其中未获奖的女同学占女同学人数的，未获奖的男同学有33人，获奖的男女同学人数相等，问参赛的女同学共有多少人？4 有红黄两种颜色的球共130个，拿出红球的，再拿出4个黄球，剩下的红球和黄球个数正好相等，原来红球和黄球各有多少个？5 某发电厂去年计划发电140万千瓦时，结果上半年完成全年计划的，下半年完成全年计划的，去年超额发电多少千瓦时？6 菜农的西红柿大丰收，收下全部的时，装满了4筐还多50千克，收完其余部分时，又刚还装满8筐，求共收西红柿多少千克？7 某校共有五，六年级学生210人，五年级有21人参加了七一文艺演出，六年级有的学生参加了文艺演出，这是两年级剩下的人数相等。五，六年级各有学生多少人？第六讲 分数百分数应用题（二）学习提示 在解答分数，百分数应用题时，确定单位“1” 是关键，但题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。转化时应注意认真审题，首先明辨题目中有哪几个单位“1”，以其中一个量为单位“1”，以这个单位“1”为标准，看一看其他几个量相当于单位“1”的几分之几（或几倍）。基本训练：甲乙两数是不相等的两个自然数，甲数的与乙数的相等，甲乙两数哪个大？ 为什么？典型题解例1哥哥和弟弟共有人民币19.8元，哥哥用去自己钱数的75%，弟弟用去自己钱数的80%，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？例2甲、乙两个班共有120人，甲班人数的比乙班人数的少10人，两个班各有多少人？ 例3柳荫街小学的校园里，原来柳树的棵树是全校树木总棵树的。今年又种了50棵柳树。这样，柳树的棵树就占全校树木总棵树的。柳荫街小学原来一共有多少棵树？例4水果店运进一批桔子，第一天卖出全部的，第二天卖了24千克，第三天卖的是前两天总数的150%，这时还剩下全部的，水果店运进的这批桔子共有多少千克？例5有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10%，甲店按20%的利润率来定价，乙店按15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜11.2元。问甲店的进货价是多少元？例6某商店原来将一批苹果按100%的利润价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样售出了40%。此时因害怕果腐烂变质，又再次降价，售出了剩下的全部水果。结果，实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来的百分之几？课后自测：1 修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修的长度与第一天的比是4：3，这时还剩下800米没修，这条公路全长多少米？2 某服装厂有三个车间，其中二车间人数占全厂人数的25%，三车间比二车间少，一车间人数比三车间多，一车间有130人，这个服装厂共有多少人？3 姐妹共养兔子180只。已知姐姐养的只数的与妹妹的相等，姐妹各养多少只兔子？4 在学校阅览室里，女生占全部人数的，后来又进来两名女生，这是女生占全部总人数的，阅览室原来有多少人？5 某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人？6 甲乙两人共做了84个零件，其中甲做的与乙做的共58个，甲乙两人各做了多少个零件？7 兄弟四人合买一台电视机，老大出的钱数是另外三人总数的一半，老二出了另外三人总数的，老三出了另外三人总数的，老四出了910元，这台电视机共多少元？第七讲 生活中的经济问题学习提示：经济与数学有着千丝万缕的联系，在我们的日常生活中，数学已不再是单纯的用作计数或统计，还常用于对经济活动中的一些复杂现象进行分析，例如：物价与工资、银行储蓄、购房与买车、股票与债券、保险等等，利用数学的知识与方法进行分析，将有助于我们理解这些经济活动，找出其中的规律，做出决策。典型题解例1 问题：有关商场打折 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？探索解决问题的方法设每件服装的成本价为x元，按照题意，有：每件服装的标价为： ；每件服装的实际售价为： ；每件服装的利润为： ；由此，列出方程为： ；解方程，得x= 。因此每件服装的成本价是 元。巩固练习（1）某种以八折的优惠价买一套服装省了25元，那么买这套服装实际用了（ ）。（A）31.25元 （B）60元 （C）125元 （D）100元（2）某家具的标价为132元，若降价以九折出售，仍可获利10%，则该家具的进价是（ ）。（A）105 （B）106 （C）108 （D）118（3）某种商品按原价的8折出售仍可获利20%，若按原价出售，则可获（ ）。（A）30% （B）40% （C）50% (D )60%例2 问题探究 若将某商品先涨价10%后再降价10%,所得的价格与原先的价格相比有无变化?不少同学会不假思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变。果真如此吗？某种奶粉原价10元/kg，先后两次降价，降价方案有三种：方案甲：第一次降价2%，第二次降价4%；方案乙：第一次降价4%，第二次降价2%；方案丙：每次降价3%；按哪种方案降价后，现价最便宜？例3 有一种商品，甲店进货价（成本价）比乙店进货价便宜10%，甲店按20%的利润率来定价，乙店按15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜11.2元，问：甲店的进货价是多少元？例4 某商店原来将一批苹果按100%的利润价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按照38%的利润重新定价，这样售出了40%。此时因害怕水果腐烂变质，又再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原价格的百分之几？ 课后作业：1， 一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这种商品的成本价是多少？2， 某商场的电视机原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少？3， 某商品的进价是3000元，标价为4500元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折售此商品？4， 按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本金和利息各是多少？（设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22%、6.21%、6.66%）（1） 定期1年，每年满一年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；（2） 先连续存三个3年期，9年后将本和利转存一年期，合计共存10年；（3） 连续存两个5年期。利息=本金利率第八讲 工程问题学习提示：在本讲中，我们要讨论的工程问题的主要特点是：工作总量不给出具体数量，通常把工作总量看作单位“1”，工作效率表示单位时间内完成工作总量的几分之一或者几分之几，然后依据工作效率，工作时间和工作总量之间的相互关系解答应用题。 工程问题的基本数量关系是： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间工作总量工作时间=工作效率甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙效率和。典型题解：例1 打印一份稿件，小丁一人打印需要14分钟，若和小丽合作打印需要10分钟完成，如果小丽单独打印这份稿件需要多少分钟？例2 一项工程，甲单独做12天可以完成，如果甲单独做3天，余下的由乙去做，乙再用6天可以做完。问若甲单独做6天，余下的工作乙要做几天？例3 客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米。已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？例4. 一件工程，甲，乙合作需6天完成，乙，丙合作需9天完成，甲，丙合作需15天完成，现在甲，乙，丙三人合作需要多少天完成？例5 甲乙二人同时从两地出发，相向而行，走完全程甲需分钟，乙需分钟。出发分钟后，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？课后自测：1 做一批儿童玩具，甲组单独所10天完成，乙组单独作12天完成，丙组每天可生产64件，如果让甲乙两组合作4天，则还有256件每完成。现在决定三个组合作这批玩具，需要多少天完成？2 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着作20天可以完成；如果甲先做20天，乙接着做8天可完成。如果甲乙合作多少天可以完成？3 一条公路，甲乙两队合修30天完成，甲队单独修了24天，乙队才加入，两队又合修了12天，这时甲队调走，乙队又继续修了15天才完成，甲队单独修这条路要多少天？4 一项工程，8人作要15天完成，现有18人作了3天，余下的由另一部分人作了3天，共完成这项工程的，问后3天有多少人参加？（每个人的工作效率相同）5 一件工程，甲5小时完成，乙6小时完成剩下的一半，余下的部分由甲乙合作，还需要多少小时才能完成？第九讲 圆的周长与面积学习提示：圆是一种由封闭的曲线围成的平面图形，在日常生活中随处可见。它的魅力、它的独特的性质使得它在人们生活和生产中的位置是其他形状所无法取代的。我们每人都经常遇见这样的问题：为一个圆形桌布绣上花边要买多长的花边；修一个圆形花圃要购买多少草皮；如何用现有的栅栏围成一个尽可能大的菜地等。这些都涉及到圆的周长和面积。圆的周长公式是求圆的周长和面积的必备条件是圆的半径或直径，但有时并不能求出半径，可以把做为一个条件来求解。圆是轴对称图形，在计算周长和面积时，还可以运用割补、旋转、平移等方法进行转化。典型题解 例1 如图，求阴影部分的周长（单位：米）。例2、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？例3、根据图中给出的数据，求阴影部分的面积。例4、下图是由两个正方形组合成的，其中正方形ABCD的边长4厘米，正方形EFGD的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。 例5 如图（单位：厘米），OA=OB=OC，AB=10。求图形的面积例6、如下图，ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）课后自测1、 一个半圆形的花圃直径10米，在花圃的周围要围上装饰性护栏，护栏长多少米？2、 把半径分别是6厘米、4厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长？3、 有四根直径是1米的圆柱形管子，用一根铁丝紧紧地捆在一起，铁丝的长度最短是多少米？（打结处铁丝长度不计）4、 把半径都是10分米的两个圆如下图放置，求图形外围的周长是多少分米？5、 求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）6、 求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）7、 如图，A、B、C是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。第十讲 不定方程学习提示：有这样一个方程：，x、y都是自然数，你知道x和y分别等于多少吗？通过计算，我们就会只扫，当x=0时，y=20；当x=1时，y=18；当x=2时，y=16；当x=10时，y=0，共有11组解。如果x、y可以是小数，就会出现无数组解。在2x+y=20这一个方程中，有x和y两个未知数，像这样，方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。它的解是不定的，如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解。本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内