波动率于garch模型

1.1 .变动率波动率是记述证券价格、市场指数、利率等平均值附近的波动幅度的用语，测定作为目标的资产投资收益率的变化程度。 股票波动率是衡量股票提供收益的不确定性。 股票通常有15%-50%的波动率。 股票价格变动率可以定义为连续复利时股票在一年内提供的收益率的标准偏差。 当t小时，近似于t时间内股价变化率的方差。 这表明t近似于t时间内股价变化率的标准偏差。 标准偏差中股价变化表示不定性增长速度的是时间展望期长度的平方根(至少近似意义)。1.2 .根据历史数据估计变动率为了实证地估计价格的变动率，股价的观测通常以一定的时间间隔(每日、每周、每月等)进行。定义n 1观测次数Si 第I个时间区间结束时的变量的价格是： I=0，1，n；小时区间的长度。 年度单位。令1.2.1ui的标准偏差s通常为1.2.2或者1.2.3其中u是平均值。的标准差是。 因此，变量s是的估计值。 本身是可以推断的证明了以上估计公式的标准偏差几乎是。在计算中选择合适的n值并不容易。 一般来说，数据越多，估计的精度越高，但确实随时间变化，因此旧的历史数据可能不太参与预测将来的波动性。 一种折中的方法是采用最近90180天的每天的收盘价数据。 另一种约定俗成的方法是将n设定为变动率所使用的天数。 因此，只要变动率是计算年度的选项，在计算中就可以采用最近两年的日收益数据。 GARCH模型与EWMA模型有关，以下将详细介绍如何估计波动率表的复杂性。1.3 .抑制变动率首先，没有股息的股票有涨价期权和下跌期权，时间0点的价格暴涨式如下1.3.11.3.2式中函数N(x )是标准正态分布变量的累积概率分布函数。 式中，c和p分别是欧元的增购期权和增购期权的价格，S0是股票零时价格，k是执行价格，r是连续复利的无风险利率，是股价变动率，t是期权的期限。在黑科尔斯定价公式中，不能直接观察的参数只有股价的变动率。 前文探讨了根据股票历史价格估算波动率的方法。 事实上，交易员通常使用所谓的“隐式波动率”(implied volatility )。 这个波动率是由期权的市场价格暗示的波动率。为了说明计算抑制变动率的想法，不支付股息的股票的欧元买入期权价格为1.875，假设S0=21，K=20，r=0.1和T=0.25。 默认变动率是由式1.3.1给出的期权价格c=1.875时对应的值。 遗憾的是，可以通过直接对方程式1.3.1进行反求，不能表示为期权价格和其他变量S0、k、r、t和c的函数，但隐式值可以按照重复的方式求解。 例如，当季的=0.20，与该变动率对应，期权价格c为1.76美元，该价格过低。 期权价格是的递增函数，需要较大的值。 当=0.30时，对应的期权价格c为2.10美元，这意味着该值超过市价，必定在0.2和0.3之间。 接下来，若设为=0.25，则与该值对应的选择价格过高，因此应处于0.20-0.25之间。 若这样继续下去，则每重复使所在的区间减半，因此可以计算满足任意精度的近似值。 在本例中，抑制变动率=0.235，即每年243.5%。抑制波动率可被用来测量市场对某一股票的波动率观点。 历史波动率是向后的，隐性波动率是向前的。 通常，交易员报告的不是期权的价格，而是隐含的变动率。 这带来了很多便利。 因为波动率的变化比期权价格的变化更稳定。1.4 .估计变动率第n-1天推定的市场变量的第n天的变动率，第n天的变动率的平方被定义为方差率(variance rate )，说明了根据过去的数据推定的标准方法。 假设市场变量的期末价格，则变量被定义为次日连续复利收益率(次日到次日的收益)利用最近一天的观测数据计算的每日分散率的无偏差的推测1.4.1中选择照明设备为了监测每日方差率的变化，表达式1.4.1通常具有若干变化l定义为日期末和日期末市场变量的价格变化率1.4.2假设l为零l是替代品以上3个变化对计算结果影响不大，但这些变化简化了方差式1.4.3式中由式1.4.2给出。2 .模型2.1.Arch模型这些模型包括：(2-1)在此，与到第I天为止的观测值相对应的权重取正值。 选择这些变量时，如果有，给予老数据更少的权重。 权和必须是一个关于式(2-1)可以推进。 假定存在某个长期平均方差，并且该方差应该具有一定的权重，则该方差具有以下形式(2-2)其中，长期分散率是对应的权重，权重之和还是1，所以我们有该模型是Engle首先提出的ARCH模型。 在该模型中，方差估计是基于长期水平的观测数据越老，平均方差和m个观测值的权重越小。 我们可以用式(2-2)写(2-3)2.2 .指数加权移动平均(EWMA )模型指数加权移动平均模型是式(2-1)的特殊形式，权重随时间指数速读减少，特别是0和1之间的一定常数。在以上特殊假设下，更新变动率公式(2-4)某个变量第n天的变动率推定值(在第n-1天推定)是第n-1天的变动率推定值(以下第n-2天的估计)和变量由最近一天的变化率决定。为了说明式(2-4)权重在指数速读中下降，采用由式(2-4)计算出的代入式进去即，即如果代入项目，则进一步反复计算m大时，项目数小到可以忽略的程度，因此当时为式(2-4)和(2-1 )等价，对应的权重随着时间的经过速度减少，各项目的权重是前一项目的权重和的积。EWMA法的魅力在于只需要比较少的数据。 无论何时，只要存储当前变动率的推定和市场变量的最新观测值即可。 获得市场变量的最新观测值后，可以计算当天价格变化的比例，并用公式(2-4)更新方差估计。 旧的方差估计和旧的市场变量被抛弃。2.3.GARCH (1，1，1 )模型我们现在讨论Bollerslev于1986年提出的GARCH (1，1 )模型，GARCH (1，1 )模型和EWMA模型的差异与公式(2-1)和(2-2)的差异相似。 在GARCH (1，1 )中，根据长期平均方差和和计算，GARCH (1，1 )的公式为在公式中是对应的权重，是对应的权重，是对应的权重。 权和尚有一，我们有EWMA模型是GARCH (1，1，1 )模型兼容性及其特性。GARCH (1，1，1 )模型的(1，1 )表示是根据最近的观测值和最新的分散率来推测的。 更广义的GARCH(p，q )模型估计了最近p个观测值和q个最新方差率，GARCH(p，1 )是最流行的GARCH模型。中，您可以编写GARCH (1，1，1 )模型在估计模型的参数时，通常采用此形式。一旦估计了总和，我们可以推导出自由计算，长期方差。 为了确保GARCH (1，1，1 )模型的稳定，对应于长期方差的权重必须是负值。2.4.GARCH(p，q )模型从GARCH(p，1 )模型到一般GARCH(p，q )模型GARCH(p，q )模型广泛应用于金融资产收益和风险预测，GARCH模型比ARCH模型更能反映实际数据长期存储的性质。 由于GARCH(p，q )模型是ARCH模型的扩展，因此GARCH(p，q )也具有ARCH(q )模型的特征。 GARCH模型具有更大的适用性，因为在计算量较少的情况下，适合简单记述上位的ARCH程序。3 .实证部分3.1 .上海股票流通指数收益率与上证综合指数收益率的统计分析(一)上海股票流通指数收益率与上证综合指数收益率的比较图1从图1可以看出，收益率波动的“集群”现象在某个波动期间很小(例如，从第70观测值到第80观测值)，而在另一个波动期间非常大(例如，从第10观测值到第40观测值)。 本文仅收集102个数据，数据多则现象明显。 从下图可以看出，上证综合指数收益率曲线有类似的变化趋势。图2为了更清楚地比较两者的变化情况，现将两者绘制在同一图表中的结果如下图3由图3可知，上海股票流通指数收益率变化趋势整体上与证明综合指数收益率的变化趋势没有显着差异，但在变动幅度大的情况下(例如从第10个观测值到第45个观测值)，上海股票流通指数收益率的振幅明显比证明综合指数收益率小，变动幅度小的情况下(例如第50个观测值)(2)“峰厚尾”现象上海股票通收益率时间序列柱形统计图图4图5根据图4，上海港通指数收益率时间平均(Mean )为0 .且标准偏差(Std.Dev.)为0 .并且偏差度(Skewness )为-0.接近-1说明了该收益率时间分布具有非常长的左拖尾性。 峰度(Kurtosis )为6 .比正态分布的峰度值高的3 .显示了收益率时序具有峰度和厚尾的特征。 由于Jarque-Bera统计量为64.18696，p值为0 .因此，该收益率时间序列拒绝遵循正态分布假设。与上证综合指数收益率相比(图5 )，由图5可知，上证上海港通指数收益率时间序列的偏差度(Skewness )为-1.峰度(Kurtosis )为6 .其“尖峰厚尾”的现象更为严重。 另外，因为其Jarque-Bera统计量为75.40078，p值为0 .所以该收益率时间序列拒绝遵从正态分布的假设。3.2 .基于GARCH (p，q )模型估算上海股票流通收益率的波动性以上证据上海股票流通指数以2014年11月17日至2015年4月17日期间的日收益率为研究对象，根据GARCH(p，q )模型预测了上海股票流通收益率的变动性。 多次拟合样本发现GARCH (1，4，4 )模型估算上海股票收益率波动性最有效。(1)考察收益率时间序列的稳定性；通过Eviews对上海股票公开指数的收益率时间序列进行ADF检查，结果如下图6从ADF的结果(图6 )可以看出，t统计值为-10.39138，其中，相应的p值与0之间没有显着差异，并且时间序列是平稳的(r )。(2)系列自相关性和偏相关性检验通过Eviews对上海股票公开指数收益率时间序列r进行序列自相关性和偏相关性检查的结果如下图7从图7可以看出，收益率时间序列的自相关性和偏振相关性系数均处于估计标准偏差的两倍之内。因为对应于q统计量的p值全部大于可靠度0.05，所以该序列在5%显着性水平上无显着性相关。(验证ARCH效果由于序列r没有明显的相关性，将平均方程式设定为白噪声，回归模型设定如下进而将r平均化后残差w、即利用残差的均方关联图验证ARCH效应通过Eviews对时间序列rt进行序列自相关性和偏相关性的检查结果如下图8从图8可以看出，由于对应于q统计量的p值小于置信度0.05，因此该序列在5%的有效水平上存在有效自相关性，因此存在ARCH效应。(4) GARCH(p，q )模型比较表1 :与1:GARCH(p，q )模型估计参数对应的p值GARCH (1，1 )GARCH (1，2 )GARCH (1，3 )GARCH (1，4 )GARCH (1，5 )GARCH (1，6 )c.c0.51110.08620.291600.34720.1969年RESID(-1)20.45340.29110.05970.05090.00430.1672GARCH(-1 )0.39950.0592000.00020.23799GARCH(-2 )0.2212000.00020.4706GARCH(-3 )0.0006000.7771GARCH(-4 )00.00010.8925GARCH(-5 )0.09070.8175GARCH(-6 )0.6364AIC值-5-5-5.10792-5.14277-5-5SC值-5-5-4-4-4-4表1表2 :与2:GARCH(p，q )