数理方法习题解答（方程部分）

作业参考答案3、在（）这个周期上，试将它展开为傅立叶级数，又在本题所得展开式中置，由此验证解：因为在（）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数又 所以 所以 令代入上式得:所以有得证5（1）作奇延拓，展为奇函数（sin函数） 6（1）作偶延拓，展为偶函数（cos函数）所以要讨论k1的情况（2）作偶延拓，展为偶函数（cos函数） 8矩形波在这个周期上可以表示为试将它展为复数形式的傅立叶级数 解：因为在上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数又 当k0时，*3把下列脉冲展开为傅立叶积分解：在，满足狄氏条件，且绝对可积，所以可以展开为付氏积分。 同样，也可以展开为正弦付氏积分（奇函数） 对式进行展开就可以得到。*1 长为l的均匀弦，两端固定，弦中张力为，在点，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。解：由稳定后放手知，初速度为0，即如图，设稳定后弦两端张角分别为和，弦受力平衡因为弦张角很小，所以，设高为H，有在段，在段，2 长为l的均匀杆，两端受拉力作用而纵振动，写出边界条件。解：如图，对杆两端任意小的端点进行微元受力分析由虎克定律 E为弹性模量令可得：同理，可得： 即为边界条件3 长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件。解：两端有热流流入为第二类边界条件。利用热传导定律，小块分析法左端 取小块，流入流出能量守恒同除以 S Dt 令e0， Dt0 在右端，和均为流入小块，则由上面过程可知 即为边界条件。P1889.1.3 长为l的均匀杆，在端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b后静止，突然放手，任其振动，写出方程及定解条件。解： 杆的内部除自身弹性力外，无其他外力，故为齐次振动方程：边条件：左端固定，为第一类齐次边条件， 右端放手后为自由振动，第二类齐次边条件：初条件：均匀杆被拉伸长度b，故每一x处离开其平衡位置的位移为 初速度：静止后释放，为0，9.1.5 长为l的细弦，两端固定，初位移为零，初始时刻在点受到一横向冲量I，试写出定解问题。解：两端固定均匀细弦的自由振动，故为齐次振动方程：边条件：两端固定，均为第一类齐次边条件， 初条件：初始时刻受到一冲量后会获得一速度，但还来不及运动，故初位移为零 初速度：只在点有冲量，故只有点会有速度改变，由冲量定理： ，即P1939.2.2 一半径为、密度为、比热为c，热传导系数为k的均匀圆杆，如果同一横截面上的温度相同，其侧面与温度为的介质发生热交换，且交换系数为H，导出杆上温度u满足的方程。解：因为同一横截面上的温度相同，故除两端点外，侧面符合冷却定律，内部符合傅立叶传热定律：设杆内任意一点的温度为u，小块分析法，取杆上任意一小段左端热流密度 流入 右端热流密度 流出 侧面冷却放出的热流密度：所以由能量守恒： 即： 得：*P22011.1.3 一根均匀两端分别处固定，设初速度为零，初始时刻弦的形状为抛物线，抛物线的顶点为处，求弦的振动。解：先写定解问题，齐次方程，第一类齐次边条件，初始速度为零初始位移为抛物线：带入三个点可得：即：分离变量法令代入中的方程及边条件得 和 解本征值问题将ln 代入解T n (t)得迭加特解得通解：带入初始条件求通解，推出 11.1.6 长为的杆，上端固定在太空宇宙飞船的天花板上，杆身竖直向下，下端自由，当飞船以速度为下降时突然静止，求杆的振动。引力场忽略。解：杆上端固定，下端自由，所以上端为第一类边界条件，下端为第二类边界条件。又因为静止前杆随飞船一起下降，所以各点的初始位移（离开平衡位置的距离）为0，而初始速度为，可以写出定解问题 分离变量法令代入中的方程及边条件得 和 解本征值问题将ln 代入解T n (t)迭加特解得通解：带入初始条件求通解得： 11.1.7 长为，杆身与外界绝热的均匀细杆，杆两端温度保持为零度，已知其初始温度为解：定解问题 分离变量法令代入中的方程及边条件得 和 解本征值问题将ln 代入解T n (t)得迭加特解得通解：带入初始条件求通解 11.1.8 长为的杆，两端绝热，初始温度为，求其温度变化的规律。解：定解问题 分离变量法令代入中的方程及边条件，得 和 解本征值问题将ln 代入解T n (t)得迭加特解得通解：带入初始条件求通解 *非齐次方程，齐次边界条件问题1 定解问题解：齐次化函数法设u=v+w代入，且令w满足： 得v：解，因为w无初始条件，可有无穷多解，猜w值，取较简单形式，设其值为代入得所以得：所以 代入下面解的通解。设v (x ,t)=X (x) T (t)代入中的方程及边条件得： 和 解得代入得特解叠加特解得通解代入的初始条件：所以2 定解问题解：齐次化函数法设u=v+w代入，且令w满足： 得v：解，因为w无初始条件，可有无穷多解，猜w值，取较简单形式，设其值与x无关，则w对x的偏导数为0，故设代入得所以得：所以 代入下面解的通解。设v (x ,t)=X (x) T (t)代入中的方程及边条件得： 和 解得代入得特解 叠加特解得通解 代入的初始条件： 所以11.1.14 求解下列定解问题解：同时齐次化边和函数法设u=v+w代入，且令w满足： 得v：解，因为w无初始条件，可有无穷多解，猜w值，取较简单形式，设其值为代入得所以得：所以 代入下面解的通解。分离变量法令代入中的方程及边条件，得 和 解本征值问题解时间问题：得迭加特解得通解：带入初始条件求通解，推出 11.1.15 定解问题 解：齐次化边设u=v+w代入，且令w满足： 得 所以 v满足：方程的通解为代入的初始条件：所以补充：二维稳定问题：散热片的横截面为矩形，如图所示，两对边温度分别为u0和u1 ，求横截面稳定的温度分布。解：定解问题 设 u (x ,y)=v (x ,y)+u0 代入 设v (x ,y)=X (x) Y (y)代入中方程x的边条件： 解得： 解得： 迭加特解得通解：代入y的边条件：即 所以 *圆内狄氏问题1、求解定解问题 解：由题意，设代入方程及有关边条件得 和 解得：解得：通解：代入边界条件得定解：两边比较系数得，其余；所以 2、求解定解问题 解：由题意，设代入方程及有关边条件得 和 解得：解得：通解：代入边界条件得定解：两边比较系数得，其余；，其余 所以 球内定解问题11.3.4 若单位球面上电势分布为，求球面内外空间的电势分布。解：因为球面内外空间均没有电荷，所以为齐次方程且解与无关球内： 解：由题意，设代入方程及有关边条件得 和 解得： 解得： 通解： 代入边界条件得定解： 因为 直接比较系数： 球外方程为： 设代入方程及有关边条件得 和 解得： 解得： 通解： 代入边界条件得定解： 因为 直接比较系数： 11.3.5 一半球面保持温度为，半球的地面保持温度为零，试求该半球的稳定温度分布。（参考例题5）11.3.7 在半径为的球面上电势分布为，求球内电势分布。解：定解问题 设u (r,q,f)=R (r) Y( q,f)代入中方程及有关边条件，得 和 解得：解得：通解：定解：*补充：1. 用一层不导电的物质把半径为r0的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为和，试计算电场中的电势分布。（球外部分）解：取垂直于球分隔面的轴为Z轴，取球坐标系，知电势分布为环向对称分布，所以定解问题写为： 设代入中方程及有关边条件得 和 解得： 解得： 通解： 代入边界条件得定解： 解得：2 一空心圆球区域，内半径为r1，外半径为r2，内球面上有恒定电势，外球面上电势保持为，均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域中得电势分布。解：由外球面电势分布为，知电势分