双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题VIP

曹大师高考数学专题总结（理科） 双曲线专题 1：焦点渐近线三角形问题 一、 题型特点 已知条件中的三角形构成了焦点渐近线三角形， 直接利用焦点渐近线三角形 的特征来解题。 焦点渐近线三角形 OAF 的三个顶点中，O 为原点，F 为焦点，A 在渐进线 上。点 A 具有如下特点： （1） OA 的长度为 a； （2） FA 的长度为 b； （3） FA 垂直于 OA； （4） 过焦点 F 做双曲线渐近线的垂线，则垂足为 A； （5） 双曲线的渐进线与准线交于点 A； （6） 圆心为焦点的圆与双曲线的渐近线相切，则切点为 A。 二、 真题回顾 1、（2016北京卷）双曲线=1（a0，b0）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边 长为 2，求 a 的值。 2、 （2016海淀一模）已知双曲线 C：22 22 1 xy ab -= 的一条渐近线 l 的倾斜角为 3 p ， 且 C 的一个焦点到 l 的距离为 3 ，求双曲线的方程。 3、 （2014朝阳一模） 双曲线 2 2 2 1(0) y xb b -=的一个焦点到其渐近线的距离是2， 求此双曲线的离心率 4、 （2018丰台零模）过双曲线() 22 22 10,0 xy ab ab -=的一个焦点F作一条与其 渐近线垂直的直线，垂足为,A O为坐标原点，若 1 2 OAOF=，求此双曲线的离 心率。 5、 （2013丰台零模） 圆 22 ()1xay-+=与双曲线 22 1xy-=的渐近线相切， 求a的 值. 6、 （2016西城一模）若圆( ) 2 2 21xy-+=与双曲线() 2 2 2 :10 x Cya a -=的渐近线 相切，求双曲线C渐近线方程. 7、 （2014东城一模） 若双曲线的渐近线与圆 相切，求双曲线的离心率。 8、 （2014朝阳二模）双曲线 2 2 2 1(0) y xb b -= 的一条渐近线与圆 22 (2)1xy+-= 至多 有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。 三、 解题方法 解题思路： （1） 先判断题设中的三角形是否为焦点渐近线三角形； （2） 再利用焦点渐近线三角形的特性进行解题。 注意要点： （1） 焦点渐近线三角形的点 A 具有很多特点，要熟记； （2） 双曲线题型中最核心的步骤是求出 a，b，c，而这三个值分别是焦 点渐近线三角形的三边， 因此， 如果能判断三角形为焦点渐近线三 角形，则很多问题（如求离心率、渐近线方程等）就迎刃而解了。 （3） 圆心为焦点 F 的圆如果和双曲线的渐进线相切， 则切点为焦点三角 形的顶点 A ， 且圆的半径等于 b， 知道这个特性后， 此类问题可以 直接写出答案而不用繁琐求解了。 四、 真题练习 () 22 22 100 xy ab ab -=，() 2 2 21xy-+= 1、（2016北京卷北京卷）双曲线）双曲线=1（a0，b0）的渐近线为正方形）的渐近线为正方形 OABC的边的边OA，OC所在的直线，点所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形为该双曲线的焦点若正方形 OABC的边长为的边长为2，求求a的值的值。 解：解： 易知三角形 OAB 和 OCB 均为焦点渐近线三角形， 故 a=2， b=2， c=2. 2、 （2016海淀一模）已知双曲线 C：22 22 1 xy ab -= 的一条渐近线 l 的倾斜角为 3 p ， 且 C 的一个焦点到 l 的距离为 3 ，求双曲线的方程。 解：解： 过焦点 F 做渐进线垂线，垂足为 A，易知三角形 OAF 为焦点渐近线三角形。 故 b=AF=3 ，tan 3 p =b/a, 则 a=1， 故双曲线的方程为 2 2 1 3 y x -= 3、（2014朝阳一模） 双曲线 2 2 2 1(0) y xb b -=的一个焦点到其渐近线的距离是2， 求此双曲线的离心率 解：解： 由焦点渐近线三角形的特征知，b=2，又 a=1，则 c= 离心率 e=5 c a = 4、 （2018丰台零模）过双曲线() 22 22 10,0 xy ab ab -=的一个焦点F作一条与其 渐近线垂直的直线，垂足为,A O为坐标原点，若 1 2 OAOF=，求此双曲线的离 心率。 解：解： 易知三角形 OAF 为焦点渐近线三角形。 由焦点渐近线三角形的特征知，OA=a，OF=c，即有 c=2a，故 e=2. 5、 （2013丰台零模）圆 22 ()1xay-+=与双曲线 22 1xy-=的渐近线相切，求a 的值. 解：解： 由焦点渐近线三角形的特征知，圆心和双曲线的焦点重合，故 a=2 6、 （2016西城一模） 若圆( ) 2 2 21xy-+=与双曲线() 2 2 2 :10 x Cya a -=的渐近线 相切，求双曲线C渐近线方程. 解：解： 设切点为 A，焦点为 F，易知焦点即为圆的圆心。 则有 c=OF=2 ，b=AF=1，故 a=OA=3 双曲线C渐近线方程为x a b y= 渐近线方程为 3 3 yx= ， 7、 （2014东城一模） 若双曲线的渐近线与圆 相切，求双曲线的离心率。 解：解： 设切点为 A，焦点为 F，三角形 OAF 为焦点渐近线三角形，易知渐近线方程为 3 3 yx= ，可设 c=OF=2 ，b=AF=1，故 a=OA=3， 故离心率 e=c/a = 8、 （2014朝阳二模） 双曲线 2 2 2 1(0) y xb b -= 的一条渐近线与圆 22 (2)1xy+-= 至多 () 22 22 100 xy ab ab -=，() 2 2 21xy-+= 2 3 3 有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。 解：解： a=1，双曲线的一条渐近方程是 y=bx；当直线与圆相切时，3b =，所以