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.,第五节柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,.,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.,.,.,二、柯西积分公式,定理,证,.,.,上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,.,关于柯西积分公式的说明:,(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,.,三、典型例题,例1,解,.,由柯西积分公式,.,例2,解,由柯西积分公式,.,例3,解,由柯西积分公式,.,例,解,根据柯西积分公式知,.,例5,解,.,例5,解,.,由闭路复合定理,得,例5,解,.,例6,解,根据柯西积分公式知,.,比较两式得,.,课堂练习,答案,.,四、小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.,柯西积分公式:,.,思考题,柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?,.,思考题答案,可以.,其中积分方向应是顺时针方向.,放映结束，按Esc退出.,.,Augustin-LouisCauchy,Born:21Aug1789inParis,FranceDied:23Ma
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