对坐标的曲线积分

1,curvilinearintegral,10.2第二类(对坐标)的,问题的提出,对坐标的曲线积分的概念与性质,对坐标的曲线积分的计算,两类曲线积分之间的关系,小结思考题作业,第10章曲线积分与曲面积分,coordinates,曲线积分,2,变力沿曲线所作的功,常力沿直线所作的功,分割,实例,？,一、问题的提出,元素法,3,求和,取极限,取近似,取,即,4,二、对坐标的曲线积分的概念与性质,设L为xOy面内从点A到点B的一条,用L上的点:,把L分成n个有向小弧段,有向光滑曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.,上任意取定的点.,定义10.2,5,如果当各小段长度的最大值,的极限总存在,记作,则称此极限为函数,P(x,y)在有向曲线弧L上,或称,第二类曲线积分.,对坐标x的曲线积分,即,类似地定义,称Q(x,y)在有向曲线弧L上,对坐标y的曲线积分.,6,当P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上,则第二类,连续,(或在L上只有有限个间断点,并且有界),曲线积分存在.,以后总假定P(x,y),Q(x,y)在L上连续.,7,点积形式,其中,有向曲线元,向量形式,为向量值函数,8,有向曲线元,所作的功W,9,空间有向曲线弧,10,性质1,假设向量值函数,在曲线L上连续.,向量形式,11,L1,L2,若把有向曲线弧L分成两段光滑的有向,性质2,曲线弧L1和L2,则,相反的有向曲线弧,则,设L是有向光滑曲线弧,性质3,对坐标的曲线积分与,曲线的方向有关.,-L是与L方向,12,补充,在分析问题和算题时常用对称性质.,L在上半平面部分与下半平面部分,P(x,y)为,P(x,y)为,其中L1是曲线L的上半平面的部分.,类似地,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于,的走向相反时,则,x轴对称,y的偶函数,y的奇函数,的讨论也有相应的结论.,对,13,将原式分成两部分,即,曲线关于,的走向与L在下半部分的走向相反,被积函数为,利用对称性质.,L在上半部分,x轴对称,y的偶函数.,原式,例,取逆时针方向.,其中ABCDA为,解,14,曲线关于,L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为,所以,y轴对称,x的偶函数.,15,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,因此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.,化为参变量的定积分计算,16,定理10.3,且连续,且,设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,为端点的闭区间上具有一阶连续,当参数t单调地由,导数,则曲线积分,证,先证,17,设分点xi对应参数ti,由定义,由于,因为L为光滑弧,所以,同理可证,拉格朗日中值定理,18,特殊情形,(1),(2),则,则,x起点为a,终点为b,y起点为c,终点为d,19,(3),推广,20,例,解,(1),化为对x的积分,21,(2),化为对y的积分,22,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线AB的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例,A点对应,B点对应,23,例,(1)L是上半圆周反时针方向;,解,A点对应,(2)L是x轴上由点到点的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,24,(2)L的方程为,原式=,(2)L是x轴上由点到点的线段.,其中,25,练习,则曲线积分,设L为圆周,在第一象限中的部分,的值为().,解,设L的参数方程为,(逆时针方向),26,设A对应,例,设点M(x,y,z)的向径,一单位正电荷沿光滑曲线:,解,即,根据库伦定律,位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中,所作的功W.,从点A移到点B,B对应,的电场力,位于点M处的单位正电荷受到,求电场,27,因此所求的功为,其中,分别是点A和B到原点的距离.,28,?,四、两类曲线积分之间的关系,设有向平面曲线弧为,则,L上点(x,y)处的切线向量的方向角为,29,可用向量表示,有向曲线元,则,推广,空间曲线,上点(x,y,z)处的切线向量的方向角为,30,例,解,所以,把对坐标的曲线积分,化为对弧长的曲线积分.,其中L为沿抛物线,点(0,0)到(1,1).,从,31,对坐标曲线积分的概念,对坐标曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系,五、小结,四步:分割、取近似、求