24.1.1圆第一课时_文档1

24.1.1 圆 教学内容 1、圆的有关概念。 2、垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用。 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题。 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念。利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴。通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解。 重难点、关键 1、重点：垂径定理及其运用。 2、难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1、举出生活中的圆三、四个。 2、你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针、呼拉圈、摩天轮等。（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆。 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。 学生四人一组讨论下面的两个问题： 问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结。 （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。 同时，我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； 经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB； 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧AC”或“弧AC”。大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （学生活动）请同学们回答下面两个问题。 1、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2、你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流。 （老师点评）1、圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径。 2、我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的。 因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 （学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M。 （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由。 （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD。 （2）AM=BM，即直径CD平分弦AB，并且平分及。 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M求证：AM=BM，。分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等。因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可。证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合。， 第二课时 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （本题的证明作为课后练习） 例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。 解：如图，连接OC 设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m OECD CF=CD=600=300（m） 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 这段弯路的半径为545m。 三、巩固练习 教材P80 练习 P82 练习。 四、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1、圆的有关概念； 2、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 3、垂径定理及其推论以及它们的应用。 五、布置作业 1、教材P87 复习巩固1、2。 2、车轮为什么是圆的呢？3、垂径定理推论的证明。教学后记：1、垂径定理的证明无需证全等，用“三线合一”即可进行证明，证明如下:连结OA、OB，则OA=OBOMAB,AM=BM(等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合）。2、本堂课的内容宜分为两课时进行讲授。24.13弧、弦、圆心角 教学内容 1、圆心角的概念。 2、有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3、定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用。 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题。 重难点、关键 1、重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用。 2、难点与关键：探索定理和推导及其应用。 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题。已知OAB，如图所示，作出绕O点旋转30、45、60的图形。 老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30，就是旋转角BOB=30。 二、探索新知如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。 （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB,将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ ，AB=AB 理由：半径OA与OA重合，且AOB=AOB 半径OB与OB重合 点A与点A重合，点B与点B重合 与重合，弦AB与弦AB重合 ，AB=AB 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作。（学生活动）老师点评：如图1，在O和O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2，滚动一个圆，使O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合。 (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：，AB=A/B/。 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 （学生活动）请同学们现在给予说明一下。 请三位同学到黑板板书，老师点评。 例1、如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF。 （1）如果AOB=COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？ 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可。（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半径，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到 解：（1）如果AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD ,AOB=COD 三、巩固练习 教材P83 练习1 、2。 四、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1、圆心角概念。 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，及其它们的应用。 五、布置作业 教材P87-88 复习巩固3、6、7、8。圆周角（第一课时 ）教学目标：（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想教学活动设计：（在教师指导下完成）（一）圆周角的概念1、复习提问：（1）什么是圆心角？答：顶点在圆心的角叫圆心角.（2）圆心角的度数定理是什么？答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如右图）2、引题圆周角：如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角ACB，它就是圆周角.（如右图）（提出圆周角的定义）定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角3、概念辨析：1判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由学生归纳：一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；两边都和圆相交.（二）圆周角的定理1、提出圆周角的度数问题问题：圆周角的度数与什么有关系？经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与圆心角，猜想它们有无关系引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部（在教师引导下完成）（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.提出必须用严格的数学方法去证明.证明:(圆心在圆周角上) （2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论。证明：作出过C的直径（略）可以发现同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对圆心角的一半。 说明：这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想。（对A层学生渗透完全归纳法）2、巩固练习:（1）如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ACB、ADB的度数？（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个。 (3)第86页第1题。（四）总结知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容。思想方法：一种方法和一种思想：在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题。（五）作业:P87第4题圆周角 （ 第二课时） 教学目标：（1）掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性教学重点：圆周角定理的推论的应用教学难点：推论的灵活应用以及辅助线的添加教学活动设计：（一）创设学习情境问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？问题2：在O中，若 = ，能否得到C=G呢？根据什么？反过来，若C=G ，是否得到 = 呢？（二）分析、研究、交流、归纳让学生分析、研究，并充分交流注意：问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；若 = ，则C=G；但反之不成立老师组织学生归纳：1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）问题3：（1）一个特殊的圆弧半圆，它所对的圆周角是什么样的角？（2）如果一条弧所对的圆周角是90，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦直径指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握（三）应用、反思、交流：分析解题思路；作辅助线的方法；解题推理过程（要规范）例2：如图，已知在O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，ACB的平分线交O于D；求BC、AD和BD的长说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形 （四）小结（指导学生共同小结）知识：本节课主要学习了圆周角定理的几及其及推论推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握（五）作业教材P87习题2、3。P88习题10、11。24.2与圆有关的位置关系（第一课时）教学目标: 1理解并掌握设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上dr；点P在圆内dr 点P在圆上dr 点P在圆内dr；则点P在圆上则dr；若点P在圆内，则有dr2不在同一直线上的三个点确定一个圆3三角形外接圆和三角形外心的概念4反证法的证明思想 5以上内容的应用 五、布置作业：教材P101 复习巩固 1、224.2与圆有关的位置关系(2)教学目标：1了解直线和圆的位置关系的有关概念2理解设O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线与O的位置关系跟d、r的密切关系3理解切线的判定定理；理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题 通过复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的dr得出直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理重点、难点、关键：1重点：切线的判定定理；切线的性质定理及运用它们解决一些具体的问题2难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价教学过程： 一、复习引入点和圆的位置关系，如何用数量关系描述？ 二、探索新知前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢?它是否和圆还有这三种的关系呢? (学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，那这条直线和圆有几种位置关系? (提问，学生口答并板书)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离 直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 我们知道，点到直线L的距离是过这点向直线L作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到直线L的距离的三种情况? (学生分组活动)：设d=r关系，总结出什么结论? 因为dr；直线L和O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直距离，并由d=r就可得到国L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (学生分组讨论)：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是O的切线，你应该如何证明? (点评)：应分为两步：(1)说明这个点是圆上的点，(2)过这点的半径垂直于直线 例1如图，已知 RtABC的斜边AB=8cm， AC=4cm (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与C相切?为什么? (2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系? 分析：(1)根据切线的判定定理可知，要使直线 AB与C相切，那这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可 (2)用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定反之，如果知道这条直线是切线呢?有什性质定理呢? 实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO交O于B，那AB是对称轴，所以沿 AB对折图形时，AC与AD重合，因此，BACBAD90 因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。三、巩固练习教材P94 练习，P96 练习 四、归纳小结(学生归纳，总结发言点评) 本节课应掌握： 1直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念2直线和圆的三种位置关系如何判断？有何数量关系？ 3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径 5应用上面的知识解决实际问题 五、布置作业：教材P101 复习巩固2、3、4、5直线和圆的位置关系（第三课时） 教学目标1理解切线长的概念，掌握切线长定理；2通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想 3通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度教学重点:切线长定理是教学重点教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计:（一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念如图，P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到O的切线长引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB PAPB4、证明猜想，形成定理猜想是否正确。需要证明组织学生分析证明方法关键是作出辅助线OA，OB，要证明PAPB想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？OPAOPB(如图)，连接AB，有AD=BD等切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角5、归纳：把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点直线OP交O于点D，E，交AB于C要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础（二）应用、归纳、反思例1、已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，PA=10，P=500，F是优弧AB上一点。求：（1）AFB的度数；（2）如图，若CD是O的切线，切于点E，求PCD的周长和COD的度数。分析：（1）中可以看出AFB是O的圆周角，因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度数就可以了，于是连接OA，OB，运用切线的性质，有OAPA，OBPB。由四边形的内角和解决问题。（2）添加的切线要与今天我们学习的切线长定理的基本图形结合起来，找出基本图形，运用定理，就可以解决周长，同时知道OC，OD是相应的角平分线，那么COD的度数出来了。学生组织解题过程，在草稿纸上完成。例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等(学生运用所学的知识，对图形进行分析易得)（分析和解题略） 提高练习： 如图，在ABC中，C=900, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若O的圆心在线段BP上，且O与AB 、AC都相切，求O的半径。方法（一）分析：从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。要求：同学们在图中标出相等关系的线段，注意构成等量关系的因素是什么。设O与AB相切于F，与AC相切于E，O的半径为r。连接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2 有CP=BC，从而BPC=450，OP=r，由勾股定理知道：BP=，所以OB=由切线长定理知道：AF=AE=2+r，所以BF=10(2+r)=8r在直角三角形OBF中有（）2=r2+（8r）2 解得r=1方法（二）分析：从另外一个角度看问题：用三角形的面积可以重新构建数量关系，建立等式。要求：注意本方法中的辅助线的添加。设O与AB相切于F，与AC相切于E，O的半径为r。连接OE，OF，OA。ABP的面积=AOP的面积+ABO的面积有 即有，所以r=12课堂训练：如图：O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求SADF（三）小结1、提出问题学生归纳（1）这节课学习的具体内容；（2）学习用的数学思想方法；（3）应注意哪些概念之间的区别?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法（四）布置作业第98页 练习1.2题，第102页5题，第103页15题。24.2与圆有关的位置关系(4)（第四课时）教学目标： 1、了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交,圆心距等概念 2、理解两圆的位置关系与d、r1、r2等数量关系的等价条件并灵活应用它们解题 3、通过复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目重点、难点、关键： 1重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用. 2难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题教学过程：一、复习引入请同学们独立完成下题在你的随堂练习本上，画出直线l和圆的三种位置关系，并写出等价关系 点评：直线l和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图(a)(c)所示(其中d表示圆心到直线L的距离，r是O的半径)二、探索新知 1、请每位同学