福建省泉州市泉港区泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

福建省泉州市泉港区泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上）1.已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（ ）a. b. c. d. 复数在复平面内表示的点在第四象限【答案】b【解析】【分析】由复数的乘法除法运算求出，进而得出答案【详解】由题可得，在复平面内表示的点为，位于第二象限，故a,c,d错误；，故b正确；【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题。2.函数在上的平均变化率是( )a. 2b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据平均变化率的计算公式列式，计算出所求的结果.【详解】依题意，所求平均变化率为，故选c.【点睛】本小题主要考查平均变化率计算，考查运算求解能力，属于基础题.3.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。”请问下列说法正确的是（ ）a. 甲说对了b. 甲做对了c. 乙说对了d. 乙做对了【答案】a【解析】【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论【详解】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意；假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意；假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意所以做对的是丙，说对的是甲故选：a【点睛】本题主要考查推理和证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）a. 是函数的极小值点b. 是函数的极大值点c. 是函数的极大值点d. 函数有两个极值点【答案】c【解析】【分析】通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，这样就可以判断有关极值点的情况.【详解】由导函数的图象可知：当在时，函数单调递增；当在时，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选c.【点睛】本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.5.形状如图所示的2个游戏盘中（图是半径为2和4的两个同心圆，o为圆心；图是正六边形，点p为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率.【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件，由题意知，相互独立，且，所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为.故选a.【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.6.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论【详解】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，故选：d【点睛】本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题7.某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ）a. 280b. 455c. 355d. 350【答案】b【解析】【分析】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可【详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有种；当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有种；当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有种.故不同的分配方案有455种.选b.【点睛】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题8.设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）a. b. -1c. d. 【答案】d【解析】【分析】先对函数求导，根据是奇函数，求出，进而可得出曲线在点处切线的斜率.【详解】由题意得，.是奇函数，即，解得，则，即曲线在点处切线的斜率为.故选.【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.9.某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线 ：和相关系数现给出以下3个结论：；直线恰过点；其中正确结论的序号是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，正确；由题中数据可得: ，所以回归直线过点，正确；又，错误.故选a【点睛】本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.10.已知随机变量的分布列为（ ）01 若，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先由题计算出期望，进而由计算得答案。【详解】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选a【点睛】本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。11.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点是右支上一点，若，且，则的离心率为（ ）a. b. 4c. 5d. 【答案】c【解析】【分析】在中，求出，然后利用双曲线的定义列式求解。【详解】在中，因为，所以，则由双曲线的定义可得所以离心率，故选c.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出，属于一般题。12.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【详解】由题意，设，设，在单调递减，且，,所以在递减，故选c.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令 求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围， 可得减区间.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置)13.若二项式展开式的常数项为，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项，结合常数项为列方程求解即可.【详解】二项式展开式的通项为，令，得， 常数项为，得，故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.抛物线c:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线c的方程为_.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，求出p，即可求c的方程；【详解】抛物线c：y22px（p0）的准线方程为x，由抛物线的定义可知13，解得p4，c的方程为y28x；故答案为【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题15.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则_【答案】【解析】【分析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.如图，在中，和分别是边和上一点，将沿折起到点位置，则该四棱锥体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据题中条件，设，表示出四边形的面积，由题意得到平面时，四棱锥体积最大,此时，根据四棱锥的体积公式，表示出，用导数的方法求其最值即可.【详解】在中，由已知，所以设，四边形的面积为,当平面时，四棱锥体积最大,此时，且,故四棱锥体积为 ， 时， ；时，,所以，当时，.故答案为【点睛】本题主要考查求几何体的体积，熟记体积公式，以及导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.2018年11月21日，意大利奢侈品牌“”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表（1）根据如图所示的频率分布直方图，求网友留言条数的中位数；（2）在答题卡上补全列联表中数据；（3）判断能否有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？一般关注强烈关注合计男45女1055合计100参考公式及数据：0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879【答案】(1)32 (2)见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和中位数定义计算可得答案；(2) 根据频率分布直方图得，可得列表联中缺失的数据，可得答案；(3)由（2）中的列联表中数据，及，可得的值，对比题中数据可得答案.【详解】解：（1）依题意，所以网友留言条数的中位数为（2）根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为，所以强烈关注的人数为，因为强烈关注的女行有10人，所以强烈关注的男性有15人，所以一般关注的男性有人，一般关注的女性有人，所以列联表如下：一般关注强烈关注合计男301545女451055合计7525100（3）由（2）中的列联表中数据可得：所以没有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关【点睛】本题主要考察古典概型、数据统计及独立性检测，相对简单，注意运算准确.18.已知椭圆经过两点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于两个不同的点是坐标原点，求的面积【答案】(i) (ii) 【解析】【分析】(i)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，而后求出椭圆的方程；(ii)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用s|op|y1y2| 进行求解。【详解】解：(1)由题意得: , 解得: 即轨迹e的方程为y21. (2)记a(x1，y1)，b(x2，y2)，故可设ab的方程为xy1.由消去x得5y22y30， 所以 设直线与轴交于点s|op|y1y2| s.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系。19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）先由平面得到面pdc平面，可得平面，则有，再利用勾股数及等腰三角形可得，可证得平面，即证得结论.（2）以d为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系dxyz，利用向量法能求出二面角paed的余弦值【详解】（1）取的中点，连接，则.由题知平面，面pdc，所以面pdc平面，又底面为矩形，故平面，所以， 在中，则.因为，所以，即cdp为等腰三角形，又f为的中点，所以.因为，所以平面，即平面.（2）以为原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.由题知，设平面的法向量为，则，令，则，得.因平面，所以为平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直证明，考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是； 【解析】【分析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论详解】，当时，在区间上单调递增，当时，令，解得；令，解得，综上所述，当时，函数的增区间是，当时，函数的增区间是，减区间是；依题意，函数没有零点，即无解，由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，只需，解得实数a的取值范围为【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题21.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入,近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式，若，则；.【答案】(1)17.40万元 (2) (i) 14.77千元 （ii）978【解析】【分析】（1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；（2）由题意，xn（17.40，6.92），（i）由已知数据求得p（x），进一步求得得答案；（）求出p（x12.14），得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，设1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为，则b（103，p），求出恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率，由1，得k1001p，结合1001p978.233，对k分类分析得答案【详解】解：（1）千元.（2）有题意，.（i）时，满足题意即最低年收入大约为14.77千元（ii）由，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，其中，于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是从而由，得而，所以，当时，当时，由