第08讲-整式的除法

让我们为全力打造甘肃名校甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！第8讲 整式的除法 在大多数科学中，后一代人往往撕毁了前一代人所建立的成就，但在数学中，每一代人都是在老的结构上建立新的成果。 赫尔曼汉克而知识方法扫描整式的除法，包括单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式除以多项式.像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除或g(x)整除f(x)当除式是一次式时，有如下的结论：余数定理：多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a),因式定理：若多项式f(x)除以x-a所得的余数f(a)=0， 则f(x)含有因式x-a.经典例题解析例1已知求的值解 =4462+4333=。例2已知求除以的商式和余式解 用竖式除法，有：所以有：例3已知求的值解法1 先做多项式除法：原式=解法2 因 所以 =又 ，于是原式=-1。例4(1983北京市初中竞赛试题)多项式能被整除，则的值是( )解法1 列竖式演算，根据整除的意义解，能被整除。 ， 即 ， 。故应选(A) 解法2 利用待定系数法解因为能被整除，可设化简整理，得：比较对应项系数，得 ， 即, 故应选(A)例5试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，设f(x)=x4+ax2-bx+2，假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式。因此，当x=-1时，f(-1)=0，即1+a+b+2=0， 当x=-2时，f(-2)=0，即16+4a+2b+2=0， 由，联立，则有例6当x=2或x=3时，多项式f(x)=x4+ax3+32x2+ bx+66的值都为0，试求多项式f(x)除以x2 -5x +6的商式和余式解 因当x=2或x=3时，多项式f(x)=x4+ax3+32x2+ bx+66的值都为0，可设x4+ax3+32x2+ bx+66=(x-2)(x-3)(x2+px+q)令x=2, 得16+ 8a+128+2b+66=0, 令x=3, 得 81+27a+288+3b+66=0 解由组成的方程组，得a=-8,b=-73故f(x)=x4-8x3+32x2-73x+66 =(x2-5x+6)(x2-3x+11)，所以商式q(x) = x2-3x+11，余式r(x)=0例7求 x24被x2+x+1除所得的余式。解 x24 = (x24-1) +1 = (x12+1)( x12-1)+1= (x12+1) (x6+1)( x6-1)+1= (x12+1) (x6+1) (x3+1) (x3-1)+1= (x12+1) (x6+1) (x3+1) (x-1)( x2+x+1)+1故 x24被x2+x+1除所得的余式为1评注 本题也可采用竖式除法，但逆用乘法公式解答更为简洁。例8（第13届“希望杯”数学邀请赛试题）已知多项式除以时，所得的余数是1，除以x-2时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是( )解法1 由竖式除法，得 即由竖式除法，得由竖式除法，得由-，得由2-，得 所以，余式为故应选A解法2 设f(x)=q(x)+ r(x),显然r(x)是一次式，令r(x)=kx+m, 则f(1)=k+m=1，f(2)=2k+m=3。于是有 k=2, m=-1,r(x) =2x-1故应选A同步训练一 选择题1计算，所得商式、余式用表示，则下列叙述正确的是( ) （D） 以上答案都不对2（第33届美国中学生数学竞赛试题）当多项式x3-2除以多项式x2-2时，其余式为( )(A)2 (B)-2 (C) -2x-2 (D) 2x+2 (E) 2x-23（2005年武汉市“CASIO杯”选拔赛试题）若被除后余3，则k的值为( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 4（江苏省第17届初中数学竞赛试题）如果x2-x-1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为（ ）(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 2 5已知关于x的三次四项式x3-ax2-l003x+b能被x2-999x+1994整除,则b-6a的值等于( 。)：(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 二 填空题6已知则除以的余数是 7若多项式能被整除，则k= 8一个长方形的面积为x2 - 5xy+6y2，它的一条边长为x-2y，则它的周长为 9（江苏省第17届初中数学竞赛试题）设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2-1所得的余式为x+3，则a= 10对任意有理数x，若x3+ax2+bx+c都能被x2-bx+c整除，则a-b+c的值是 . 三 解答题11若4x-12x+y=8，9x+y35y=243, 求xy的值。12. (1993年天津市初中数学竞赛试题)如果a是方程的一个根，试求的值。13已知关于x的多项式被x+2除的余数为2，而被3x-2整除，求这个多项式被（3x-2）(x+2）除的余式。14（1997年荆州市初中数学竞赛试题）已知a2+4a+1=0，且求m的值。15（第12届“希望杯”数学邀请赛试题）已知a，