高数A(2)习题课(11)曲面积分

.,曲面积分,习题课(11),课件制作：肖萍赵庆华李丹衡,.,二、作业选讲,三、典型例题,四、课堂练习,一、内容总结,.,z=z(x,y),一、内容总结,1、曲面的侧与有向曲面,曲面有双侧和单侧之分,通常总假设所讨论的曲面是光滑的双侧曲面.,下侧,y=y(x,z),右侧,左侧,上侧,x=x(y,z),后侧,前侧,外侧,内侧,相对与坐标轴的正方向而言,由方程z=z(x,y)表示的曲面有上侧与下侧之分;,由方程y=y(x,z)表示的曲面有右侧与左侧之分;,由方程x=x(y,z)表示的曲面有前侧与后侧之分;,一张闭曲面有外侧与内侧之分.,.,z=z(x,y),一、内容总结,1、曲面的侧与有向曲面,曲面有双侧和单侧之分,通常总假设所讨论的曲面是光滑的双侧曲面.,下侧,y=y(x,z),右侧,左侧,上侧,x=x(y,z),后侧,前侧,外侧,内侧,曲面的侧用曲面上法向量n的指向来规定,如果规定一侧为正向,则另一侧为负向.,指定了侧的曲面叫有向曲面,通常用(-)表示与曲面的正向相反的同一曲面.,.,一、内容总结,2、对面积的曲面积分,在光滑曲面上有界的函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分定义为,对面积的曲面积分与曲面方向无关.,如果曲面的方程为z=z(x,y),在xOy面上的投影区域为Dxy,则对面积的曲面积分可化为二重积分:,一代:将f(x,y,z)中的z代以曲面的方程z=z(x,y);,二换:将曲面面积元素dS代换为,三投影:将投影到xOy面上,得投影区域Dxy,.,一、内容总结,2、对面积的曲面积分,注意:上述一代二换三投影化曲面积分为二重积分的步骤,曲面必须是单值函数,若不满足单值条件,可将其分成几块,使得在每一块上为单值函数,然后用可加性化作在每一块上的曲面积分来进行计算.,如果曲面方程为x=x(y,z),(y,z)Dyz,则,如果曲面方程为y=y(x,z),(x,z)Dxz,则,.,一、内容总结,2、对坐标的曲面积分,在有向光滑曲面上定义的一个向量场A=(P(x,y,z),(Q(x,y,z),(R(x,y,z)在此有向曲面上对坐标的曲面积分或第二类曲面积分定义为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,.,一、内容总结,3、对坐标的曲面积分,如果为z=z(x,y),(x,y)Dxy,取上侧,R(x,y,z)C(),则,如果取下侧,则,如果为x=x(y,z),(y,z)Dyz,P(x,y,z)C(),则,(前正后负),如果为y=y(x,z),(x,z)Dxz,Q(x,y,z)C(),则,(右正左负),一代二投三定号,.,一、内容总结,4、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,.,二、作业选讲,计算,其中为锥面,被柱面x2+y2=2ax所截的部分.,解:,曲面关于xOz面对称,其第一卦限部分如图.,因为:,曲面在xOy的投影区域为,.,二、作业选讲,计算,其中为锥面,被柱面x2+y2=2ax所截的部分.,.,二、作业选讲,计算,其中为球面,的上半部分上侧.,解:,类似地,有,所以,.,三、典型例题,计算曲面积分,其中为上半球面,而,解:,分记作2,1在xoy面上投影为,于是,.,三、典型例题,计算曲面积分,其中为圆锥面的一部分,为常数,且,解:,的直角坐标方程为：,在xoy面上投影为,于是,.,三、典型例题,计算曲面积分,其中为介于平面,z=0及z=H之间的圆柱面x2+y2=R2.,解:,在yoz面上投影为,又在Dyz上的显式方程为,故积分要分前后两个部分的曲面积分.,.,三、典型例题,计算,其中为旋转抛物面z=x2+y2上,解1:,的部分取下侧.,类似地,所以,.,三、典型例题,计算,其中为旋转抛物面z=x2+y2上,解:由对称性，,的部分取下侧.,于是,所以,.,三、典型例题,计算曲面积分,其中为,解:,的外表面.,由对称性可得,注:由于x=0,y=0,z=0是间断面,本题不能用Gauss公式.,.,三、典型例题,计算,其中为平面x-y+z=1在第IV卦限部分的上侧.,解:,为一平面,因而容易将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分,平面的法向量,其方向余弦为,于是,.,三、典型例题,计算曲面积分,抛物面,取下侧.,其中为旋转,解:利用两类曲面积分的联系,有,.,四、课堂练习,练习1