椭圆曲线知识点与讲义

圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，椭圆越扁）通 径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= （2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是 二、例题讲解。例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为例2、 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为（2）设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）例3、 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或例4、已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦定理知： 由椭圆定义知： ，则得 故 三、习题讲解。一、选择题。1.圆6x2+ y2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)(1,0) B.(-6,0)(6,0) C.(-,0)(,0) D.(0,-)(0,)2.椭圆x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是A.(0,-)、(0,) B.(-1,0)、(1,0) C.(2,0)、(-,0) D.(0,2)、(0,2)3.椭圆3x2+2y2=1的焦点坐标是A.(0,)、(0,) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-,0)、(,0)4.椭圆(ab0)的准线方程是A. B. C. D.5.椭圆的焦点到准线的距离是A. B. C. D.6.已知F1、F2为椭圆(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率,则椭圆的方程是A. B. C. D.7.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A. B.或 C. D.或8.椭圆和(k0)具有A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长短轴9.点A(a,1)在椭圆的内部,则a的取值范围是A.-a B.a C.-2a2 D.-1a110.设F是椭圆的右焦点，P(x,y)是椭圆上一点，则|FP|等于A.exa B.exa C.axe D.aex二、填空题1.椭圆的焦点F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是_.2.椭圆上的点到直线距离的最大的值是 . 3.已知F1F2是椭圆的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若AB=8,则F2A+F2B的值是A.16 B.12 C.14 D.84.若A点坐标为（1，1），F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|+|PF1|的最小值是_.5.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M，N两点，弦MN的中点为P，若KOP=_.6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是_.7.已知椭圆的准线方程是y=9,离心率为，则此椭圆的标准方程是_.8.到定点（1，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点P的轨迹方程是 .9.已知椭圆x2+2 y2=2的两个焦点为F1和F2，B为短轴的一个端点，则BF1F2的外接圆方程是_.10.已知点A(0，1)是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_.三、简答题。1、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程2、已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程3 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程4 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长1：D 2：A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.A 9.A 10.D 1. 2. 3.B 4. 5. 6. 7.8.9.10.()1、 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法2、解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程3分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）此时最小所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为为4分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点