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文档简介

第二节,偏导数与高阶偏导数,一、偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是,中的x固定于x0处,求,一阶导数与二阶导数.,关于t的,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对y的偏导数,若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,对y轴的,例1.求,解法1,解法2,在点(1,2)处的偏导数.,例2.设,证:,例3.求,的偏导数.,解:,求证,二、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,偏导数为,例5.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,例6.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,则,定理.,例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,
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