导数在研究函数问题中的应用

导数在研究函数问题中的应用一、函数的单调性与导数例1.已知函数，求函数的单调区间.评注：（1）函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。在引入导数这一工具之前，我们判断函数的单调性的一般方法是定义法，但是对于上述题目这种方法就无法得到答案，而有了导数之后，问题就迎刃而解了.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减.此方法简单快捷而且适用面广。（2）在定义域为（1，+）的条件下，为了判定符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.二、函数的极值与导数例2.已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）.A.（-,0） B.（0,） C.（0,1） D.（0，+）评注：函数有两个极值点，即有两个不等的实数解，可转化为两个曲线有两个交点.数形结合思想是数学中的一种重要的解题方法，可以使问题直观明了。三、函数的最值与导数例3. 设若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是 .例4. 若函数，其中，设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间0，1上的最小值.评注：本题首先得到g（x）的解析式，然后进行分类讨论，研究不同情况下函数的变化趋势，得出最值.合理分类是解题的关键.四、导数在求曲线的切线方程中的应用例5.求曲线在原点处的切线方程.评注：此类题型为已知点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程.五、利用导数解决实际问题3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（x为圆周率）.（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.评注：利用导数求解生活中的优化问题时，既要注意将题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意函数表达式中自变量的取值范围，如果目标函数在定义域中只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点就是最值点.集合易错警示集合是学习数学的基础，是高考的必考内容，同学们在学习中不但要掌握其中的知识和方法，还要扫清解题中的误区。下面归纳了几种高频误区，给同学们提个醒，以免发生错误。一、忽视元素的互异性致误集合中的元素必须具有确定性、互异性、无序性三个特性，其中元素的互异性最容易被忽视。例1.已知集合A=1，3，a），集合B=1，如果，求a的值。【错解】 若，即，则；若，即，则a=1.综上，所求a的值为-1，1，2.在解决集合问题时，要注意集合元素的特征相同，但是集合的含义未必相同。例2. 设集合.【错解】由题意可得.所以.三、忽视空集的讨论致误集合间的关系比较抽象，常常与方程、函数、不等式等知识联系，在解此类问题时不要忽视了空集的存在。例3.已知集合，则实数m的取值集合是 . 四、忽视端点值的取舍致误在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误. 例4.已知集合，若，则实数a的取值范围.【错解】因为，则 解得a-1.五、忽视补集的含义致误对于给定集合求补集的问题，要先求出元素的具体范围，再在对应全集下求其补集.不可随便猜测，否则易错.例5.已知全集I=R，集合，集合，则下列关系正确的是（ ）.函数易错警示函数是高中数学的核心内容.它包括函数的定义域和值域，图像和解析式，函数的性质等问题，又涉及高中数学的很多数学思想.对于函数方面易错点的研究，有助于大家跳出误区，优化思维，使逻辑思维更加严密，也有助于数学其他模块的学习。一、忽视隐含条件致误例1.已知的范围.【错解】 由题意可得范围是-2，+）.二、忽视判别式约束致误例2.若a，是实系数一元二次方程的两根，求的最小值.【错解】 由韦达定理，有，则，所以的最小值是.三、忽视分界点致误例3.函数在（-，+）上单调，则a的取值范围是 .【错解】 由题意可得，若函数在（-，+）上单调递减，则有，得a1.故a1.四、函数零点存在性定理理解不清致误例4.已知方程有且只有一根在区间（0，1）内，求m的取值范围。【错解】 设有且只有一根在区间（0，1）内，得m-2.导数易错警示导数是研究函数的重要工具，有着广泛的应用，但是同学们在学习中存在一些误区，经常出现一些错误，本讲对有关易错点进行归纳剖析，供大家参考。一、对导数的定义理解不透致误例1.设，若=0，则=（ ）.A.任意正实数 B.1 C.e D.【错解】因为为一常数C，而（C）=0，所以x0为任意正实数，故答案为A.二、将“过某点的切线”作为“在某点的切线”致误例2.已知曲线，求过点P（2，-2）的切线方程.【错解】 由题意可知点P（2，-2）在曲线S上，且，则过点P的切线斜率，由点斜式方程得过点P的切线方程为，即.三、误解导函数与原函数图像的关系致误例3.已知函数的图像如图所示（其中是函数f（x）的导函数），下面四个图像中y=f（x）的图像大致是（）.【错解】选A或B或D.四、对函数取极值的充要条件理解不清致误例4.已知函数.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的极值点.【错解】 .因为a0得x-2a，由f（x）0得x-2a.故函数f（x）在（-，-2a）上单调递减，在（-2a，+）上单调递增.（2）函数f（x）的最小值为f（-2a），故g（a）=f（-2a）=.则由得，所以g（a）在（-，0）上的极值点是.剖析上述解法有两点错误，一是忽视了函数的定义域是（0，+），所以单调区间求解错误；二是将的点直接说成极值点，即没有对它们是否为极值点进行判断.可导函数的极值点必须是导数为0，但是导数为0的点不一定就是极值点，必须要判断其左右的单调性才能得出是否为极值点.例如函数的导数为0的点是x=0，但其不是极值点.5、 “函数在区间D上是增（减）函数”与“函数的增（减）区间是区间D”混淆致误例5.若函数的减区间是（0，2），则实数m的取值范围是 .【错解】 因为函数的减区间是（0，2），所以函数对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故m3.六、对函数单调的充要条件理解不清致误例6.函数在区间（-，+）上是增函数，求实数a的取值范围。【错解】函数f（x）的导数，由题意可知在（-，+）上恒成立，所以，解得，所以a的取值范围是七、忽视函数的变化趋势致误例7.已知方程有两个实数解，求实数a的取值范围.【错解】原题可转化为两个函数与y=a的交点问题，因为当时得，又因为的定义域是（0，+），所以当时，在（0，e）上单调递增；当时，在（e，+）上单调递减，综上所述，f（x）在x=e处取得极大值也是最大值，所以当时函数与y=a有两个交点，即方程有两个实数解。能力提升篇二次函数在闭区间上的最值问题二次函数是函数中最基本最简单的函数之一，同时也是其他数学知识的载体.二次函数在某一闭区间上的最值问题是初中二次函数内容的继续，随着区间的确定或变化，以及系数中参变数的变化，使其成为高中数学的热点.一、定对称轴定区间例1.已知，函数的最大值和最小值分别是 和 。评注：该题二次函数的系数是常数，给出的区间也是固定的，对于这类最值问题只要结合函数的图像就能迅速求解。二、动对称轴定区间例2.已知，若时，f（x）0恒成立，求a的取值范围.评注：本题是恒成立问题，但是命题的意图就是要求当时f（x）的最小值非负.先利用配方法确定抛物线的顶点坐标，然后对对称轴与区间的位置进行讨论，借助于二次函数的单调性解题.这是常用的基本方法之一三、定对称轴动区间例3.已知函数时，求函数f（x）的最小值.评注：所求二次函数解析式固定，对称轴是确定的，区间变动，可考虑区间在变动过程中，二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.讨论二次函数在闭区间上的最值，主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上。四、动对称轴动区间例4.已知，且当xa时，的最小值为4，求参数a的值.评注：本题经过化简后我们可以发现，抛物线的对称轴和区间都是动的，但是函数的开口是确定的，只要讨论对称轴与区间的相对位置就能得出最小值，从而解出a的值。函数单调性在解题中的应用函数的单调性是函数的一个重要性质，本讲通过一些实例挖掘函数单调性在解题中的功能，增强同学们分析问题和解决问题的能力.