离散信源熵ppt课件

信源与信息熵,第二章,1,2,2.1信源的描述和分类2.2离散信源熵和互信息2.3离散序列信源的熵2.4连续信源的熵和互信2.5冗余度,内容,3,2.2离散信源熵和互信息,4,离散信源熵和互信息,问题：什么叫不确定度？什么叫自信息量？什么叫平均不确定度？什么叫信源熵？什么叫平均自信息量？什么叫条件熵？什么叫联合熵？联合熵、条件熵和熵的关系是什么？,5,离散信源熵和互信息,问题：什么叫后验概率？什么叫互信息量？什么叫平均互信息量？什么叫疑义度？什么叫噪声熵（或散布度）？数据处理定理是如何描述的？熵的性质有哪些？,6,自信息量,设离散信源X，其概率空间为,I(xi)含义:当事件xi发生以前,表示事件xi发生的不确定性当事件xi发生以后,表示事件xi所含有的信息量,7,自信息量,自信息量,条件自信息量,联合自信息量,8,离散信源熵,离散信源熵H(X),信源熵具有以下三种物理含意：信息熵H(X)表示信源输出后,每个离散消息所提供的平均信息量。信息熵H(X)表示信源输出前,信源的平均不确定性。信息熵H(X)反映了变量X的随机性。,9,信源熵,无条件熵,条件熵,联合熵,10,2.2.3互信息,设有两个随机事件X和Y,X取值于信源发出的离散消息集合,Y取值于信宿收到的离散符号集合,有扰信道,干扰源,信源X,信宿Y,11,互信息,如果信道是无噪的,当信源发出消息xi后,信宿必能准确无误地收到该消息,彻底消除对xi的不确定度,所获得的信息量就是xi的不确定度I(xi),即xi本身含有的全部信息。一般而言,信道中总是存在着噪声和干扰,信源发出消息xi,通过信道后信宿只可能收到由于干扰作用引起的某种变型yj。信宿收到yj后推测信源发出xi的概率p(xi|yj)称为后验概率。信源发出消息xi的概率p(xi)称为先验概率。,12,互信息,互信息定义为xi的后验概率与先验概率比值的对数,互信息I(xi;yj)表示接收到某消息yj后获得的关于事件xi的信息量。,13,例某地二月份天气构成的信源为：,若得知“今天不是晴天”,把这句话作为收到的消息y1当收到y1后,各种天气发生的概率变成后验概率了p(x1|y1)=0,p(x2|y1)=1/2,p(x3|y1)=1/4,p(x4|y1)=1/4,求得自信息量分别为,14,表明从y1分别得到了x2x3x4各1比特的信息量。消息y1使x2x3x4的不确定度各减少1bit。,15,例2-8:一个二进信源X发出符号集0,1,经过离散无记忆信道传输,信道输出用Y表示,由于信道中存在噪声,接收端除收到0和1的符号外,还有不确定符号“2”已知X的先验概率:p(x0)=2/3,p(x1)=1/3,符号转移概率：p(y0|x0)=3/4,p(y2|x0)=1/4p(y1|x1)=1/2,p(y2|x1)=1/2，,X,Y,0,1,0,1,2,3/4,1/2,1/2,1/4,信源熵,16,得联合概率：p(x0y0)=p(x0)p(y0|x0)=2/33/4=1/2p(x0y1)=p(x0)p(y1|x0)=0p(x0y2)=p(x0)p(y2|x0)=2/31/4=1/6p(x1y0)=p(x1)p(y0|x1)=0p(x1y1)=p(x1)p(y1|x1)=1/31/2=1/6p(x1y2)=p(x1)p(y2|x1)=1/31/2=1/6条件熵,由,17,联合熵H(X,Y)H(X)H(Y|X)=1.8bit/符号,得p(y0)=p(xiy0)=p(x0y0)+p(x1y0)=1/2+0=1/2p(y1)=p(xiy1)=p(x0y1)+p(x1y1)=0+1/6=1/6p(y2)=p(xiy2)=p(x0y2)+p(x1y2)=1/6+1/6=1/3,由,18,由,得,同理p(x0|y1)=0；p(x1|y1)=1p(x0|y2)=1/2；p(x1|y2)=1/2,19,H(X)：表示接收到输出符号Y前关于输入变量X的平均不确定度。H(X|Y)：表示接收到输出符号Y后关于输入变量X的平均不确定度。,这个对X尚存在的平均不确定度是由于干扰(噪声)引起的,20,平均互信息,平均互信息定义,信息=先验不确定性后验不确定性=不确定性减少的量,Y未知,X的不确定度为H(X)Y已知,X的不确定度变为H(X|Y),21,平均互信息,有扰信道,干扰源,信源X,信宿Y,通信系统中,若发端的符号为X,收端的符号为Y如果是一一对应信道,接收到Y后,对X的不确定性将完全消除：H(X|Y)=0一般情况：H(X|Y)H(X),即了解Y后对X的不确定度的将减少通过信道传输消除了一些不确定性,获得了一定的信息。,22,平均互信息,平均互信息的另一种定义方法：,23,例假设一条电线上串联了8个灯泡x1,x2，x8如图，这8个灯泡损坏的概率相等p(xi)=1/8，现假设只有一个灯泡已损坏，致使串联灯泡都不能点亮。,未测量前,8个灯泡都有可能损坏,它们损坏的先验概率:p(xi)=1/8,这时存在的不确定性：,24,第1次测量后,可知4个灯泡是好的,另4个灯泡中有一个是坏的,这时后验概率p(xi|y)=1/4尚存在的不确定性,所获得的信息量就是测量前后不确定性减少的量,第1次测量获得的信息量：,25,第2次测量后变成猜测哪2个灯泡中一个是损坏的,这时后验概率为：p(xi|yz)=1/2尚存在的不确定性：,第2次测量获得的信息量：,第3次测量完全消除了不确定性，能获知哪个灯泡是坏了的。尚存在的不确定性等于零。第3次测量获得的信息量：,26,要从8个等可能损坏的串联灯泡中确定哪个灯泡是坏的,至少要获得3个bit的信息量,27,方法2：逐个检查第1次:x1坏,获得信息量=3bit,可能性较小1/8；x1通,其余7只中1只坏,坏灯泡的不确定性：log27=2.8073bit获得信息量=3-2.8073=0.1927bit,可能性较大7/8第1次所获得的平均信息量:,“对半开”第1次所获得的平均信息量:,28,互信息量,在有3个变量的情况下,符号xi与符号yj,zk之间的互信息量定义为,同理,29,条件互信息,我们定义在已知事件zk的条件下,接收到yj后获得关于某事件xi的条件互信息,30,平均互信息与各类熵的关系,熵只是平均不确定性的描述;不确定性的消除(两熵之差)才等于接收端所获得的信息量。获得的信息量不应该和不确定性混为一谈,31,维拉图,H(X|Y),H(X),H(Y),H(XY),H(Y|X),I(X;Y),32,条件熵,H(X|Y)：信道疑义度，损失熵信源符号通过有噪信道传输后所引起的信息量的损失。信源X的熵等于接收到的信息量加上损失掉的信息量。H(Y|X)：噪声熵，散布熵它反映了信道中噪声源的不确定性。输出端信源Y的熵H(Y)等于接收到关于X的信息量I(X;Y)加上H(Y|X),这完全是由于信道中噪声引起的。,33,收发两端的熵关系,34,若信道是无噪一一对应信道,信道传递概率：,计算得:,35,若信道输入端X与输出端Y完全统计独立,则:,36,2.2.4数据处理中信息的变化,数据处理定理:当消息通过多级处理器时,随着处理器数目增多,输入消息与输出消息间的平均互信息量趋于变小假设Y条件下X和Z相互独立,37,数据处理定理,数据处理定理说明：当对信号、数据或消息进行多级处理时,每处理一次,就有可能损失一部分信息,也就是说数据处理会把信号、数据或消息变成更有用的形式，但是绝不会创造出新的信息,这就是所谓的信息不增原理。,38,三维联合集XYZ上的平均互信息量,39,2.2.5熵的性质,1.非负性H(X)H(p1，p2，pn)0式中等号只有在pi=1时成立。2.对称性H(p1，p2，pn)=H(p2，p1，pn)例如下列信源的熵都是相等的：,40,