高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题 四种命题基础知识精讲素材 北师大版选修2-1（通用）

四种命题基础知识精讲1.四种命题关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.如，同位角相等，两条直线平行，它的逆命题就是两条直线平行，同位角相等.同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题，如上例的否命题就是同位角不相等，两条直线不平行.交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.如例的逆否命题是两条直线不平行，同位角不相等.2.四种命题之间的关系互逆命题，互否命题与互为逆命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题，否命题与逆否命题.四种命题之间的关系如图所示.3.一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系原命题为真，它的逆命题不一定为真例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.原命题为真，它的否命题不一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”是真命题，它的否命题“若a0，则ab0”是假命题.原命题为真，它的逆否命题一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”为真命题，它的逆否命题是“若ab0，则a0”是真命题.4.反正法反证法推证问题模式框图反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立.用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.一般地来说，在什么条件下(或问题中)想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考.第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的n-1种情况都排除，从而确定这种情况成立.如，要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；第二，命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明，假设2是方程2x+1=0的根，则22+1应等于0，而22+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程2x+1=0的根成立；第三，命题用“至少”的字样叙述时，可用反证法证明，如证明ab，bc至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设ab，bc都不成立，即a=b且b=c，从这一条件出发推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，ab，bc至少有一个成立；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白，而它的逆命题易证，如第一中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线有很多性质，易于推理，因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质.5.否命题与命题的否定是两个不同的概念若p表示命题，“非p”叫做命题的否定.如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否定是“p则非q”，即只否定结论.原命题的否定命题是“若非p，则非q”，即否定条件又否定结论，例如“菱形的四条边都