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文档简介
向量组的线性相关性（杨威 郭乔） 教学目的与要求 通过学习，使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念，掌握判定向量组线性相关性的方法。教学重点与难点教学重点：线性相关，线性无关的概念教学难点：线性相关性的判定教学方法与建议 先从简单的例子出发，使学生看到在解线性方程组的时候，有的方程是多余的，从向量的角度来看，就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。从而引出线性相关、线性无关的概念，并给出判别方法。 教学过程设计1. 问题的提出 方程组用向量的形式表示出来，不难看出，其中第3个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。此方程组对应着三个向量，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是或，即可由和线性运算得到，此时称是的线性组合。2. 线性相关和线性无关定义4.1 对于向量如果有数使，则称向量是向量的线性组合，或可由向量线性表示。定义4.2 设有维向量，如果存在不全为零的数使 则称此向量线性相关的，否则称为线性无关。注意：1.若向量组中含有零向量，则向量组一定是线性相关的。 2.若向量组中一个向量可由其他向量线性表示，则这组向量一定是线性相关的。定理 4.1 n维向量组线性相关的充分必要条件是，其中是由组成的（或）维矩阵。证明：设，为维列向量，下面证明有个不全为零的数使的充分必要条件是。 即有非零解的充分必要条件是。推论 对个维向量，若，则该向量组线性相关。证明：由这些向量组成的矩阵记为，则是(或)维的，由于，所以 ，则该向量组线性相关。 定理4.4 若线性相关，则也线性相关。证：因线性相关，所以存在不全为零的数使，从而存在不全为零的个数使，因此线性相关。由于一个零向量是线性相关的，所以任何含有零向量的向量组都线性相关。推论 若线性无关，则由其中的部分向量构成的向量组线性无关。定理4.3 设，若维向量组线性无关，则维向量组线性无关。证： 显然，设有个数，使，即。因此有。由于线性无关，所以当且仅当时才成立。这就表明线性无关。推论：维向量组的每个向量加上个分量成为维向量。若维向量组线性无关，则维向量组线性无关。3. 举例例4.1 讨论向量组，的线性相关性。 解： 以所给向量为列组成矩阵 因，所以所给向量组线性相关。例4.2 讨论维单位坐标向量的线性相关性。解： 因为，所以向量组线性无关。例4.3 设线性无关，试证，线性无关。 证： 不妨设均为列向量，则 因为矩阵可逆，所以可表示为有限个初等矩阵的乘积，即矩阵可认为由矩阵经有限次初等列变换得到，从而矩阵的秩等于矩阵的秩，而的秩为3，所以的秩为3，因此线性无关。例4.4 设线性无关，若线性相关，则可由线性表示。证： 因线性相关，故有不全为零的数使得。要证可由线性表示，只需证。用反证法，设，则不全为零且能使，这与线性无关矛盾，矛盾表明，即可由
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