高等数学-第11章-微分方程习题详解

第十一章微分方程练习的详细说明第十一章微分方程Xi钛11-11.判断哪阶微分方程是下列方程？(1) (2)(3) (4)。解微分方程时出现的未知函数的导数(或微分)的最高阶数称为微分方程的阶。所以有：(1)一阶微分方程；(2)一阶微分方程；(3)三阶微分方程；(4)三阶微分方程。2.指出下列问题中的函数是否是给定微分方程的解：、(2)，(3)、(4)。解(1)将被代入给定微分方程的左侧，得到左侧和右侧，因此它是微分方程的解。(2)在给定的微分方程的左边代入，得到在左边和右边，因此，它是微分方程的解。(3)将，代入左边的微分方程得到在左边(右边)，因此，它不是给定微分方程的解。(4)方程两边关于求导，得到，即。再次推导，得到,也就是说，它是给定微分方程的解。3.确定包含在下列函数关系中的参数，以便函数满足给定的初始条件。、(2)。解(1)代入微分方程，得到因此，所需的功能是。(2)分别替换而且，所以，函数是。4.是否可以适当地选择常数，使函数成为方程的解。解是因为，所以为了使函数成为方程的解，它只需要被满足，也就是说。因此，必须有，即，或，所以当，或，函数是方程的解。5.消除下列公式中的任何常数，写出相应的微分方程。(1) (2)(3) (4)。该解指出，包含任意常数和两个变量的关系式对应于一阶微分方程。具有两个独立常数的方程对应于二阶微分方程。(1)从两边的求导中，我们可以把求导代入原来的关系，并且我们可以得到微分方程。(2)从两边推导，得到,换句话说，微分方程是,它可以被简化。(3)从两边派生，得到，两边再派生，得到,得到的微分方程为。(4)从两边推导，得到,微分方程是通过简化生成和并，然后微分上述方程的两边得到的。Xi钛11-21.求下列微分方程的通解或特解：(1) (2)(3) (4)(5)、(6)。解决方案(1)分离变量，获取，两端积分，获取,也就是说，原始方程的一般解是。注意：这个等式中的“与”的等式应该写成“与”的等式，当去掉绝对值符号时会出现符号；然而，这些数字可以被认为包含在最终答案的任何常数中，因此书写起来更简单，避免了对绝对值和符号的冗长讨论，并专注于解决方案。这本书是这样处理的。(2)原始方程分离变量并获得两端的积分,也就是说，原始方程的一般解是。(3)原始方程可以简化为，分离变量，获得，两端积分，获得,这是原始方程的一般解。(4)分离变量，得到，两边积分，得到,这是原始方程的一般解。(5)分离变量，获得，两端积分，获得,也就是说，从确定的解的条件，我们知道也就是说，因此，特殊的解决方案是。(6)将方程的两边都除以1，得到两端的积分，得到,整合后(其中)，因此有,代入初始条件，我们得到。因此，满足初始条件的方程的特解是,那是。2.两条坐标轴之间任意一点的曲线交点的切线被切点平分，得到曲线方程。求解曲线的方程式是，如果交点与x轴和y轴的切线的交点分别为和，则该点为切线的中点。然后是也就是说，分离变量后，有积分,也就是说，从确定的解的条件来看，有，所以它是所希望的也就是说，获得了两端的积分(其中20g=0.02kg)，解决问题的条件是固定的，所以有。如果子弹穿过棋盘的时间是秒，那么,当再次被知道时，m/s，所以,因此，有，因此(秒)，所以子弹穿过木板达(秒)。4.求下列齐次方程的通解或特解：(1) (2)(3) (4)(5)、(6)。解(1)原始方程变形得到,如果，也就是说，有，原始方程可以进一步简化为,分离变量，获得，两端积分,也就是说，原始方程的通解是通过代入上述方程并对其进行排序而获得的。(2)原始方程变形，得到那是。如果，也就是说，有，原始方程可以进一步简化为,也就是说，获得两端的积分，该积分将被替换和排序以获得原始方程的通解。(其中)。(3)原始方程变形，得到也就是说，如果是，原始方程可以进一步简化为,也就是说，获得了两端的积分,也就是说，原始方程的通解是通过代入上述方程并对其进行排序而获得的。(4)显然，原始方程是一个齐次方程，并且注意到方程的左端可以看作变量的函数，因此原始方程可以简化为,对变量进行排序和分离，得到,两端积分，获取,也就是说，原始方程的通解是通过替换和排序得到的。(5)原始方程可以简化为。如果是，原始方程可以进一步简化为,也就是说，两端的积分，将被替换，所以,代入初始条件，我们得到。因此，满足初始条件的方程的特解是。(6)原始方程可以写成。如果，也就是说，有，原始方程变成,分离变量，得到，两端积分，得到,也就是说，通过替换和排序来获得通用的解决方案。根据初始条件，特殊解决方案如下。5.有一条向上的凸曲线连接着原点和。对于任意一点，曲线弧和直线段围成的图形面积为，得到曲线弧方程。根据问题的含义，求解曲线弧的方程如下yxO11A(1，1)P(x，y)xyy,上述公式的两端分别为x、,得到微分方程,如果是，微分方程可以简化为也就是说，积分,正因为如此，有。由于曲线通过该点，得到了曲线弧方程。6.将下列方程转化为齐次方程，并找到一般解：(1)；(2)。解(1)原始方程可以写成,让，解的交点是，作坐标平移变换，并有,所以原始方程可以进一步简化为这是一个齐次方程。公式可以改为,也就是说，,可变分离,两端积分，获取,也就是说，通过代入，原始方程的通解如下获得。(2)原始方程可以写成,这个等式是类型的，一般可以使用。如果是，原始方程可以简化为,即，获得积分,代入上述公式，得到原方程的通解如下。Xi钛11-31.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。解决方案(1)。(2)原始方程可以简化为,所以一般的解决方法是。(3)原始方程可以简化为,所以一般的解决方法是。(4)给定方程的通解是。(5)方程可以简化为，即一般解是。(6)。2.找出下列微分方程的特殊解：、(2)，(3)。解决方案(1),代入初始条件，我们得到。因此，我们得到如下特殊解。(2),代入初始条件，我们得到以下特殊解,那是。(3),代入初始条件，我们得到以下特殊解。3.求一条曲线的方程，这条曲线穿过原点，它在该点的切线斜率等于。解曲线方程是根据问题的含义，即有。从，曲线方程为。4.让曲线积分独立于右半平面()中的路径，在那里它是可导的，并找到。解决方案取决于主题和条件，即曲线积分与(1) (2)(3) (4)。解(1)方程可以简化为。如果你订购，那么，就是说，如果你替换。你会得到，也就是,总体解决方案是,因此，原方程的通解是。(2)原始方程简化为。如果你订购，那么，就是说，如果你替换。你会得到，也就是,总体解决方案是。因此，原方程的通解是。(3)原始方程简化为。那么，要使原来的方程变成这样，它的一般解是,因此，原方程的通解是。(4)将原始方程转换成那是。如果，那么，原始方程简化为，它的一般解是,原始方程的一般解是，或写成。Xi钛11-41.找到以下全微分方程的通解：(1) (2)(3) (4)。解(1)很容易知道，因为，原来给定的方程是一个全微分方程。和,因此，方程的通解是。(2)容易知道，因为,原来给定的方程是一个全微分方程。和,因此，方程的通解是。(3)很容易知道，因为原始方程是一个全微分方程。原始方程的左端被重新组合以获得,因此，方程的通解是。(4)原始方程可以简化为,很容易知道，因为原来的方程是一个完整的微分方程。等式的左端被重新组合以获得,因此，方程的通解是。2.用观察法求下列方程的积分因子及其通解：(1) (2)。解(1)使用乘法方程来获得完整的微分方程,等式的左端被重新组合以获得。因此，一般的解决方法是。(2)原始方程可以简化为,也就是说，通过使用乘法方程获得完整的微分方程。,因此，原方程的通解是。3.下列一阶线性方程用积分因子法求解：(1)；(2)。解(1)原始方程写为,将这个方程的两端相乘后，它变成,也就是说，获得了两端的积分,因此，原方程的通解是。(2)将等式的两端相乘，等式变为,也就是说，获得了两端的积分,因此，原方程的通解是。Xi钛11-51.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)。解决方案(1)。(2)，,作为最终结果，它也可以直接写在这里。(3)秩序，然后有，已知，因此有,经过连续积分，得到原方程的通解。2.求下列微分方程的通解：(1) (2)(3) (4)。解(1)的顺序，然后，和原来的方程成。利用一阶线性方程的求解公式，我们得到。也就是说，再次集成以获得通用解决方案。(2)顺序，然后，和原始方程成,分离变量,也就是说，再次集成以获得通用解决方案。(3)顺序，然后，和原始方程成,分离变量，获得，积分，因此,再次分离变量，获得。正因为如此，上述公式两端的积分，也就是说，两边都是正方形。(4)顺序，那么，和原来的方程成，即。如果是，那么。是原始方程的解，但不是一般解。如果，由于的连续性，一定有一定的间隔。因此,分离变量,也就是说，得到了积分。也就是说，它也可以写成。当时，以前的解决方案也包含在这个通用解决方案中。3.解决以下初始值问题：(1)，(2)，(3)，(4)，解决方案(1)很容易理解，从初始值条件，知道，得到；从，知道，得到。因此，特殊的解决方案是。(2)顺序，然后，和原始方程成,变量分离，得到，两端积分，得到，然后两端积分，得到。从初始条件来看，有解，从初始条件来看，有,给定初值条件下微分方程的特解是。(3)顺序，然后，和原始方程成也就是说，两端积分。代入初始条件，获得，因此也就是说，即分离变量后的积分。,那就是，得到,代入初始条件，我们得到。因此，满足给定初始条件的特殊解是,那是。(4)顺序，然后，和原始方程成,分离变量，得到，两端积分，得到,代入初始条件，得到。因此，也就是说，再次分离变量，获得那是。两端积分，获得，代入初始条件，获得，因此具有满足给定初始条件的特殊解如下也就是说，或者是书面的。4.穿过该点并在该点与直线相切的积分曲线。因为直线的切线斜率是，积分曲线是初始值问题，由，积分，