普通高中数学参赛课件《基本不等式》(14)

为了赛制的公平公正，参赛学校请：统一使用此模版作为PPT展示封面上请不要标注“xxx学校”开始说课只需报抽签后的出场代码,课题：基本不等式(第一课时）科目：数学序号：,学习目标,1.掌握基本不等式并知道从数与形上的证明.2.会用基本不等式解决有关的最大(小)值问题.3.理解应用基本不等式求最值的条件.,重点：应用基本不等式求最值,一、问题导学,探究一：完全平方数与0的大小关系。,即：可以得到不等式,且当且仅当a=b时等号成立,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立,二、知识要点：,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,(ab),(ab),动画1,从而，可以得到,且当且仅当a=b时等号成立,赵爽弦图,替换后得到：,即：,即：,探究二:,如果a,bR+，那么,证明：(作差法）,当且仅当a=b时等号成立,基本不等式：,基本不等式还可解释为：,1.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数,即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,2.可以理解为两个正数a，b的等差中项，可以理解为两个正数的等比中项。,即：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。,如图，在半径为R的圆中，点C是直径AB上一点，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，设AC=a，BC=b，则,半径R=,几何解释：半径不小于半弦!,基本不等式的几何解释：,（当点C与点O重合时等号成立）,动画2,A,B,C,D,E,a,b,O,半弦,RtACDRtDCB，,3.都在a=b取等号,a0,b0,1.重要不等式,2.基本不等式,a,bR,5.基本不等式变形：,4.不等式的特点：左右两侧都是和与积,(a0,b0),三、题型探究,三相等,一正,二定,例1.若x0,求函数的最小值，并求此时x的值。,解：因为x0,那么,当且仅当时，即x=1时等号成立,所以，函数（x0）的最小值为2，此时x=1.,变式1.若x1，求函数的最小值，并求此时x的值。,变式3.若，求函数的最小值，并求此时x的值。,负时化正,加减凑定值,等号不成立时考虑用函数单调性,在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件.,口诀：一正、二定、三相等,探究三：应用基本不等式求最值的条件,例2：若0x1,求函数y=x(1-x)的最大值，并求此时x的值。,解：因为0x1,则,当且仅当x=1-x时，即x=时等号成立,所以函数y=x(1-x)的最大值为，此时x=.,求积的最值找和为定值,变式.若0x0,且a+b=1,求的最小值,四、素养提升,解析：,由a+b2ab,所以,令t=ab,那么,由函数在上为减函数,当时，函数有最小值,方法小结：等号不成立时，可以结合单调性求最值。,例4.若.a0,b0,且ab=a+b+3,求ab的范围。,解析：由基本不等式,（舍）,所以ab9,马甲变换：,已知x0,y0,且，求xy的最小值。,分析：可变形为x+2y+2=2xy,马甲变换：,1.已知且求最小值。2.已知且求最小值。3.已知求最小。4.已知求的最小值。,2,9,9,在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.,方法小结：,马甲变换：,1.已知求的最小值。2.已知求的最小值。,分离凑积定,整体代换，令t=,那么,8,题型二：“对号”型函数求最值,加减凑积定,（2）若x0,y0,且x+4y=1,求xy的最大值。,法二：,当x=4y时等号成立,1下列函数中，最小值是2的是(),预习测评,解析：A中x可能为负值，B中等号不成立，D中最小值不是2.答案：C,与基本不等式有关的常用结论剖析(1)已知x,yR,若xy=P(积为定值),则x2+y22P,当且仅当x=y时,平方和x2+y2取得最小值2P.(2)已知x0,y0,C,如图，在半径为R的圆中，点C是直径AB上一点，过