高数板书线面积分.ppt

,8曲线、曲面积分,1第一型曲线积分的引入2第二型曲线积分的引入,主目录（115）,L:从点A(1,0)到B(0,2)的下列曲线：,3,4第一型曲面积分的引入5第一型曲面积分的计算（例）,6双侧曲面的例子,有向曲面双侧曲面,7,8单侧曲面麦比乌斯()带,9第二型曲面积分的引入,10,11,12,13,14,15,.,A,1.第一型曲线积分的引入,B,Mi-1,Mi,Ni,元素法,1化整为零,2以常代变,3积零为整,分法越细，越接近精确值.,4取极限,令分法无限变细,m=,.,.,.,.,L,设空间曲线L上的密度为=(x,y,z),求L的质量m.,问题：,在数学上，称为第一型（对弧长）的曲线积分,A,2.第二型曲线积分的引入,B,Mi-1,Mi,Ni,1化整为零,2以常代变,3积零为整,4取极限,令分法无限变细,.,.,.,L,问题,求变力作的功.,.,.,这是求两矢量点积的和式极限问题.,(xi,yi,zi),(xi-1,yi-1,zi-1),称第二型（对坐标）的曲线积分.,A(1,0),B(0,2),3.计算,L:从点A(1,0)到B(0,2)的下列曲线：,.,.,.,.,.,.,.,.,A(1,0),B(0,2),3.计算,L:从点A(1,0)到B(0,2)的下列曲线：,.,.,t的范围:,.,.,4.第一型曲面积分的引入,元素法,1化整为零,2以常代变,3积零为整,分法越细，越接近精确值.,4取极限,令分法无限变细,m=,.,.,.,.,设曲面S上的面密度为=(x,y,z),求S的质量m.,问题：,在数学上，称为第一型（对面积）的曲面积分,S,Ni,5.,第一型曲面积分的计算,例,h,a,Dxy,解：,引入极坐标,=,.,.,6.双侧曲面的例子,S,S,上侧,下侧,外侧,S:z=z(x,y),能够区分不同侧面的曲面。,双侧曲面指,内侧,沿S内任一条闭曲线（不越过S的边界）移动一周，点M处的法方向方向不变。,7.有向曲面双侧曲面,S,M,曲面的侧,用曲面上法向量的指向来确定。,7.有向曲面双侧曲面,S,M,沿S内任一条闭曲线（不越过S的边界）移动一周，点M处的法方向方向不变。,曲面的侧,用曲面上法向量的指向来确定。,6.双侧曲面的例子,S,S,上侧,下侧,外侧,S:z=z(x,y),内侧,B,8.单侧曲面麦比乌斯()带,A,B,D,C,A,D,C,A,B,B,D,C,A,D,C,A,B,C,D,8.单侧曲面麦比乌斯()带,.,A,B,B,D,C,A,D,C,这是个单侧曲面,两端粘合,8.单侧曲面麦比乌斯()带,放大一下,.,这是个单侧曲面,8.单侧曲面麦比乌斯()带,沿红色闭曲线移动一周，,单侧曲面就是无法区分不同侧面的曲面。,本课只研究双侧曲面。,.,M,点M处的法方向就变成初始位置的反方向。,9.第二型曲面积分的引入,问题,计算流向曲面一侧的流量.,1.简单情形：,A,A,解：,所求流量是一个数量，,其值等于,底面积为A、,斜高为,.,1化整为零,2以常代变,3积零为整,4取极限,令分法无限变细,.,.,问题,计算流向曲面一侧的流量.,.,也是求两矢量点积的和式极限问题.,称第二型（对坐标）的曲面积分.,9.第二型曲面积分的引入,2.一般情形：,.,a,b,c,10.,解：,由本题变量字母的轮序对称性知：,.,11.,1,1,.,1,解：,12.,解：,下侧为负侧。,R,I=,.,用极坐标.,这是定积分，,.,.,I=,.,13.,2,1,2,1,解：,I=,.,14.,解：,h,(a),解法一,于是，单位法向量,.,14.,h,.,.,同样可得,.,.,.,h,解：,(a),解法二,14.,h