高等代数、线性代数61集合映射线性空间的定义及简单性质.ppt

第1页共32页,2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,第六章线性空间,第2页共32页,一、集合,二、映射,6.1集合映射,第3页共32页,一、集合,把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；,常用大写字母A、B、C等表示集合；,当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：,当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：,1、定义,组成集合的这些事物称为集合的元素,用小写字母a、b、c等表示集合的元素,第4页共32页,集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法,描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.,列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.,例1,例3,Mx|x具有性质P,Ma1，a2，an,第5页共32页,2、集合间的关系,如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作，（读作B包含于A）,当且仅当,空集：不含任何元素的集合，记为,注意：,如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作AB.,AB当且仅当且,约定：空集是任意集合的子集合.,第6页共32页,3、集合间的运算,交：；,并：,显然有，,第7页共32页,二、映射,设M、M是给定的两个非空集合，如果有一个对,应法则，通过这个法则对于M中的每一个元素a，,都有M中一个唯一确定的元素a与它对应,则称为,称a为a在映射下的象，而a称为a在映射下的,M到M的一个映射，记作:,原象，记作(a)a,1、定义,第8页共32页,设映射,集合,称之为M在映射下的象，通常记作Im,集合M到M自身的映射称为M的一个变换,显然，,注,第9页共32页,例1判断下列M到M对应法则是否为映射,1）Ma，b，c、M1,2，3,4,：(a)1，(b)1，(c)2,：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4,：(b)2，(c)4,2）MZ，MZ，,：(n)|n|,：(n)|n|1,第10页共32页,：(a)a0，,4）MP，M，（P为数域）,：(a)aE，（E为n级单位矩阵）,5）M、M为任意两个非空集合，a0是M中的一个固定元素.,（是）,（是）,6）MMPx（P为数域）,：(f(x)f(x)，,（是）,3）M，MP，（P为数域）,：(A)|A|，,（是）,第11页共32页,例2M是一个集合，定义I：,I(a)a，,即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，,都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是,称I为M上的恒等映射或单位映射,映射的一个特殊情形,第12页共32页,2、映射的乘积,即相继施行和的结果，是M到M的一个,映射,对于任意映射，有,有,注：,第13页共32页,3、映射的性质:,设映射,（或称为映上的）；,2）若M中不同元素的象也不同，即,则称是M到M的一个单射（或称为11的）；,3）若既是单射，又是满射，则称为双射,，使，则称是M到M的一个满射,（或称为11对应）,第14页共32页,例4判断下列映射的性质,1）Ma，b，c、M1,2，3,：(a)1，(b)1，(c)2,（既不单射，也不是满射）,：(a)3，(b)2，(c)1,2）M=Z，MZ，,：(n)|n|1,（是满射，但不是单射）,：(A)|A|，,（是满射，但不是单射）,（双射）,第15页共32页,：(a)aE，,（是单射，但不是满射）,：(a)a0，,（既不单射，也不是满射）,6）MMPx，P为数域,：(f(x)f(x)，,（是满射，但不是单射）,7）M是一个集合，定义I：,I(a)a，,8）M=Z，M2Z，,：(n)2n,（双射）,（双射）,5）M、M为任意非空集合，为固定元素,第16页共32页,对于有限集来说，两集合之间存在11对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；,对于有限集A及其子集B，若BA（即B为A的真子集），则A、B之间不可能存在11对应；但是对于无限集未必如此.,注：,第17页共32页,4、可逆映射,使得,则称为可逆映射，为的逆映射，,若为可逆映射，则1也为可逆映射，且（1）1,注：,的逆映射是由唯一确定的,记作1,第18页共32页,为可逆映射的充要条件是为11对应,即,为可逆映射,则是一个M到M的映射,且对,第19页共32页,即,所以为满射.,即为单射.,所以为11对应,反之，设为可逆映射，则,第20页共32页,补充双射（或者11对应）的传递性,第21页共32页,小结：,集合的概念我们并不陌生。这里重要的集合的表达和运算。另外一个重要的是映射。我们要了解映射其实就是一种法则，这种法则使得集合之间的元素产生联系，我们可以说这种联系使得某个集合中的每一个元素有了自己的老师（当然也可以是其他关系）。请你们再去思考：单射、满射和双射吧。,作业：复习集合映射，P268:1,2(选一个),第22页共32页,一、线性空间的定义,二、线性空间的简单性质,6.2线性空间的定义与简单性质,第23页共32页,而且这两种运算满足一些重要的规律,如对,引例1,空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：,在第三章2中，我们讨论了数域P上的n维向量,第24页共32页,同样满足上述这些重要的规律，即对,数域P上的一元多项式环Px中，定义了两个多,项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算,引例2,第25页共32页,一、线性空间的定义,设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中,定义了一种代数运算，叫做加法：即对，,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的和，记为；在P与V的元素之间还,定义了一种运算，叫做数量乘法：即,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的数量乘积，记为如果加法和数量乘,法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：,第26页共32页,加法满足下列四条规则：,数量乘法与加法满足下列两条规则：,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）,数量乘法满足下列两条规则:,;（称为的负元素）,在V中有一个元素0，对,第27页共32页,3线性空间的判定：,注：,1凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也,2线性空间的元素也称为向量，线性空间也称,向量空间但这里的向量不一定是有序数组,称为线性运算,就不能构成线性空间,运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合,若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者,第28页共32页,例1引例1,2中的Pn,Px均为数域P上的线性空间,的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，,例2数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵,用表示,例3任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个,数域P上的线性空间,第29页共32页,1、零元素是唯一的.,2、，的负元素是唯一的，记为-,利用负元素，我们定义减法：,二、线性空间的性质,3、,第30页共32页,练习：,证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零,向量，则V一定含有无穷多个向量.,第31页共32页