教学组织实施理论与高一年级案例分析 (2).ppt

教学组织实施理论与高一年级案例分析,石志群,一、课题界定组织：生物学术语机体中构成器官的单位，是由形态和功能相同的细胞按一定方式结合而成的。如：神经组织；肌肉组织。,织成的织物现代汉语辞典：纺织品经纬纱线的结构。平纹组织、斜纹组织、缎纹组织等。南朝梁刘勰文心雕龙诠赋：“丽词雅义，符采相胜，如组织之品朱紫，画绘之著玄黄。”隋书何稠传：“波斯尝献金緜锦袍，组织殊丽，上命稠为之。”,管理学术语名词：组织是以目的为导向的社会实体，它具有特定结构化的活动系统。从广义上说，组织是指由诸多要素按照一定方式相互联系起来的系统。从狭义上说，组织就是指人们为实现一定的目标，互相协作结合而成的集体或团体，如党团组织、工会组织、企业、军事组织等等。狭义的组织专门指人群而言，运用于社会管理之中。,动词：1.指诗文的造句构辞。南朝梁刘勰文心雕龙原道：“雕琢情性，组织辞令。”唐孟郊出东门诗：“一生自组织，千首大雅言。”宋陆游答邢司户书：“退而组织古语，剽裂奇字，大书深刻，以眩世俗。”,2.安排；整顿。元姜个翁霓裳中序第一春晚旅寓词：“园林罢组织，树树东风翠云滴。”清龚自珍怀我生之先箴：“今大夫天干琅琅，地支气昌，帝组织我阴阳，庸讵知我非符。”清丘逢甲梦中诗：“奔驰日月无停轨，组织河山未就功。”现代汉语辞典：安排分散的人或事物使具有一定的系统性或集体性。,实施指实际的行为；实践。语出明李贽序：“有德行而后有政事、文学，非德行则政事、文学亦不成矣。是德行者，虚位也；言语、政事、文学者，实施也。”,组织实施安排分散的人或事物，使其具有一定的系统性或整体性的实际行为。教学组织实施将教学的相关要素（内容、学生、媒介（技术工具）等）进行合理的安排，使之具有系统性或整体性的实际行为。实践者：教师。,教学组织实施的分类1.课程整体的教学组织实施课程专家：课程标准学校、教师：重组与自我建构，在课程与教学之间。2.章、节的教学组织实施章节内容的整体规划，包括内容的分段（分节）、课时安排、重点的确定、教学策略的制定、形成性评价等。3.课时的教学组织实施备课、上课、作业、评价等。,二、（数学）教学组织实施理论1.学习理论大的分类：行为主义理论；社会认知理论；信息加工理论。,不能因为强调数学建构而全盘否定行为主义学习理论，其在数学学习的部分领域着应用价值。如：记忆性内容诱导公式的教学设计,皮亚杰关于智力发展的理论四阶段：感觉运动阶段；前运演阶段；具体运演阶段；形式运演阶段。智力结构图式发展过程：同化与顺应。,案例1：三角函数的图像变换平移变换：同化认知不平衡认知结构中搜索对数、指数函数部分内容认知平衡振幅变换：同化；认知不平衡认知结构中搜索函数图象的概念认知平衡周期变换：顺应认知不平衡认知结构中搜索没有相应知识与策略探索（图象、推理）图式更新（顺应）建构新认知结构,基尔福德的智力结构模型由5种智力的运演（记忆、认知、评价、聚合性思维、发散性思维）、4种学习内容（图形的、符号的、语言的、行为的）、6种学习成果（心智中信息的识别和组织方式）（单位、门类、关系、体系、转化、蕴涵）结合成120种不同的智能。,一个单位就是单个符号、图、词、物体或概念；单位的集合叫做门类，对单位的分类就是一种智能；关系是单位与类之间的联系；体系是单位、类和关系的组合；转化是把现存的信息进行修改，重新解释和组织成新信息的过程；蕴涵是对单位、门类、关系、体系和转化之间相互作用的后果的预言或推测。,基尔福德的智力结构模型尽管存在不足，但其对教学实施还是有指导意义的。我们应当去辨认学生学习上的不足，帮助学生解决一些学习上的实际问题。第一，要清楚地认识到每个学生的智力是由不同因素构成的，并存在于学习之中；第二，要去观察在数学的具体领域中作业的情况，并尝试识别他的优势和弱点；第三，为学生提供个性化的学习，使其既能运用其较强的智力，也能增强其较弱的智力。,加涅的学习理论（信息加工）学习顺序的四个阶段理解阶段；习得阶段；存储阶段；提取阶段。观点：人的学类似于计算机的操作，把学习过程看成是有机体对外在刺激进行加工改造的过程，是主体把新输入的信息和已有知识经验联系起来，经过加工、调整、联结，从而构成一个新的认知结构。,8种学习类型信号学习；刺激反应学习；连锁学习；词语联想；辨别学习；概念学习；法则学习；解决问题。,数学解题认知模式（信息加工的过程）,案例2平面直角坐标系中，设定点A（a,a)，P是函数y=1/x(x0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值。,代数表征：（x-a)2+(1/x-a)2=(x+1/x)2-2a(x+1/x)+2a2-2几何表征思维监控,奥苏贝尔认知同化学习理论（认知-有意义的接受学习）：观点：学习是在原有认知结构的基础上形成新的认知结构的过程。前提：学生具备有意义学习的倾向；教师要给学生以有意义学习的空间，不能对学生的学习作过于严格的要求，如解题的步骤要求的限制、对学习内容的叙述必须按教材中的字句；将学习任务与学习者现时的智力结构联系起来。,有意义接受学习的两个条件：给学生讲授时，必须使得这门学科的结构在每个学生的认知结构中稳定下来，使它不被当作一个独特的结构吸收，也不让它消失；使材料对学习者来说是有意义的。教师必须帮助学生在他们自己的认知结构和所讲授的这门学科的结构之间建立起联系。这门学科内的每个新概念或者原理，必须和存在于学习者认知结构中有关的、先前学过的概念和原理联系起来。,先行组织者一种预备的陈述、讨论和一种活动，其内容被编排得比实际要学习的任务更概括、更一般、形式更加抽象，使之适合于随后对新内容的进一步讲解和综合。它的作用是为学习者提供一个概念结构，使之和随后的新内容结合起来。它既能使学习者能有意义地学习新内容，又提供学习新概念和法则的控制方法。先行组织者的内容被编排得使其能将高度概括的新内容归成类。它不是一般内容的轮廓、总的看法或者概括，而是一般地介绍新内容，它是范围较广的归类者，它帮助学生在脑子里组织抽象的认知结构，为他们在意义学习做好准备。,先行组织者一般从三个方面培养学生对有意义的学习材料的综合能力：明确依靠和利用已在学习者智力结构中建立起来的任何有关的固定概念，而者使它们成为已归类的统一体的一部分。因而，不仅新材料可以有意义地、随意地被提取，而且在智力结构中，先前形成的最有关的概念也以综合的方式得到选择和利用；,在一定范围内的先行组织者，所可能的有关具体命题归成类，使它最理想地固定下来。这样既可以促进开始的学习，又可防止归类以后的消失；先行组织者的运用，使死记硬背变得不必要，因为联系的内容较之孤立的内容更易于记忆、掌握。,布鲁纳认知-发现学习理论学习就是主动地形成认知结构的过程；认知学习过程包含着同时发生的三个过程。学生不是被动的知识接受者，而是积极的信息加工者。学生的学习包括三个几乎同时发生的过程：（1）获得新信息；（2）转换信息，使其适合于新的任务；（3）评价、检查加工处理信息的方式是否适合于该任务。观点：学习是通过认知获得意义和表象，从而形成认知结构的过程。,强调对各门学科基本结构的学习。布鲁纳认为，任何知识都可以用一种简单明了的形式呈现出来，使每个学生都能理解。任何一门学科也都有它的基本的知识结构。学生学习的主要任务是掌握该门学科基本的知识结构，在头脑中形成相应的知识体系或编码系统。他指出，教学不能逐个地教给学生每个事物，最重要的是使学生获得一套概括了的基本原理或思想。这些原理或思想构成了理解事物的最佳的认知结构。,案例3：任意角的三角函数两种方案方案1：锐角三角函数推广（推广方案）方案2：建构刻画周期性现象的数学模型（建构方案）两个初始问题1。任意角三角函数是什么？2。怎样构建周期性变化的数学模型？,教学的任务就在于让学生形成这种认知结构。为此，在教学活动中必须把各门学科的基本结构的学习放在中心地位上。无论是教材的编写和教学活动的进行，都应侧重于让学生掌握一门学科的基本结构。重要概念：上位学习、下位学习。如：三角变换,斯金纳程序教学法（操作性条件反射学习理论）桑代克的联结主义试误说维果茨基：最近发展区建构主义学习理论顿悟说。,2.教学模型（式）理论（1）一般教学模式（2）数学学科性教学模式数学概念教学数学原理、公式教学习题（问题解决）教学,如：“活动单导学”活动一：课前预习活动二：课上汇报活动三：变式、深化（独立探究小组合作全班交流系统建构）活动四：巩固、拓展以“幂函数”为例,3.教学论、教学原理,教学原则：面向全体的原则暴露思维过程的原则结构性原则（学科基本结构、基本思想）,4.课程理论5.系统论、控制论、信息论教学系统：教师、学生、教材、环境、教学思想、教学方法6.学习环境理论7.组织行为学8.课堂管理理论,9.数学本质、数学解题理论、数学文化规范、数学发展史等课堂上学生提出了教师“意外”的观点，怎么办？案例4线面平行的判定定理的证明教材中：反证法学生：直接证很简单，只要证明过平面内任意一点都可作直线l的平行线，就说明直线l与平面没有公共点,三、数学教学的组织实施1.课前准备：教学内容的组织与教学活动的设计教学分析内容分析（从数学角度、认知角度、历史角度）教学定位学程安排（模块、章、节、课时）教学设计（课时）,分析的重要性：是教学组织与实施的基础，教学行为的决定因素，直接影响教学效果。,案例5：集合教学分析：内容：集合的数学理论是在19世纪，由格奥尔格康托（GeorgCantor）建立的。他试图解决一个关于无限量的数学难题（一类三角级数的收敛性）时遇到“整数究竟有多少？”、“在一个圆周上包含有多少个点？”、“1小时里有多少刹那的时光度过？”、“在1到2之间的数比一根线上的点还多吗？”等问题，他解决了上述问题，他的工作标记着“集合”这个概念在数学中诞生了。,中学数学中研究的集合是什么？斯托利亚尔在数学教育学中这样表述：“集合论概念”这个术语在这里指的是初等（朴素）集合论的最简单的概念，它是在“类的逻辑”的名称下首先发展起来的，不涉及集合论发展的所谓“康托尔”路线。,事实上，将“类”作为集合概念的重要特征的不止斯托利亚尔，著名数学家R柯朗在其名著数学是什么中直截了当地指出：“由对象组成的类或集的概念是数学中最基本的概念之一”。综上，集合概念的教学应该定位于“怎样将各种类的对象进行数学表示或刻画”。,初等集合论至少有以下四个方面的重要价值：首先，从上文已经清楚地看到，集合是关于“类”的概念，因此，中学数学中教集合就应该让学生认识到用集合来进行分类的功能，通过集合对常见的集合进行简捷的、明确的表示。为此，就必须弄清楚如何表示（刻画）集合、如何运用已有的集合表示复杂的、生成的集合。,其次，集合符号是一种语言，借用这种语言可以表示对象、表示不同对象之间的关系、表示生成对象的过程等，比如，用集合的观点认识曲线，把曲线看成点的集合，再将点与实数对建立对应关系，从而可以借助方程刻画曲线。所以，集合教学应该让学生学会运用集合的知识进行“数学的表述”和“数学地建构”。,第三，集合又是一种思想方法，运用集合的观点可以广泛地认识数学各个分支中研究的问题，如交集的思想与曲线交点和方程组解的关系。当然，这需要在后续的学习中逐步渗透。第四，集合代数与逻辑演绎关系密切，比如蕴涵关系就可以用子集语言加以表示（事实上，集合运算符与数理逻辑中的对应的逻辑关系符有着很多的相似之处），因此，集合之于逻辑（比如高中数学中的“充要条件”等）也可以相互影响，甚至可以在集合观点下，将容斥原理、逻辑、概率中事件的关系等进行统一的认识。,H.维林金在中小学数学的现代基础一书中所说：“集合论使我们有可能看出中小学数学中一些问题的共同性，这些问题初看起来彼此离得很远。例如，从集合论的观点看，函数、几何变换、长度、面积和体积的测量等等，都是集合的映射这一个概念的不同方面，”这正说明了集合概念的基础性和工具性。,正由于此，集合教学应该突出的就是其作为分类的工具作用和作为语言的符号功能，并在数学学习的过程中不断深化对上述功能的认识。当然，作为学习过程的“副产品“，将“集合”一章作为高中数学（甚至整个数学）学习过程中进行数学研究、数学理论建构的范例进行整体认识，可能也是本章的重要教学价值之一。,从集合教学价值看集合的概念的教学，有些可以在本章的后续课上达成，有些则需要长期的渗透，有些则可在本节课中实现。如分类及其刻画、集合语言的认识、集合思想的渗透等。,尽管小学、初中阶段学生已经接触甚至运用了“集合”这个概念，并且有了整数集、有理数集、实数集的名词，要实现对集合内涵的认识仍然不是件容易的事情。比如：是不是任意的对象放在一起都可以构成集合？因为通常接触的都是数学中的集合，而且确实都是具有某种共同特征的对象构成的集合，这对集合中元素的任意性的认识产生了认知上的阻碍。,既然集合是“群”、“所有”、“全体”，那么，单元素集，特别是空集就与其直观意义及生活中的意义产生了冲突（有研究表明，年龄较小的学生大多不承认它们是集合）。,有些教师对空集都有误解，据弗赖登塔尔在作为教育任务的数学一书中介绍：一位十岁的女孩请父亲辅导作业，父亲告诉女孩：所有空集都是一样的。作业被老师批改后，这个父亲发现他的看法被老师判为错的。小女孩向父亲解释说，基数相同的两个集合作为集合来说并不一定相同：两个空集的基数都是0，它们也不一定相同，例如，一只空冰箱与一只空纸篓就不相同。父亲弄不懂，去问一位数学家，数学家就去问了这位老师，这位老师解释说：“，如果我们讨论的是人的集合，空集就是无人的集合；如果我们讨论的是点，空集就是无点的集合。空集是什么，要依赖于全集的内容。”。,再比如，当列举法表示的集合中有字母时，学生很可能引起混淆：a,b,c表示的集合中的a是字母a还是一个数？它与1,a,2有何区别？上述事实说明，现实的感性经验、心理的潜在假设都可能成为对集合概念理解的障碍，值得重视。在集合概念的教学中要循序渐进，不要追求一次到位，更不能将高一学生当高三教，一下子就将与集合有关的问题都抛给学生。,因为集合概念的基础性（元概念），有些教材就直接加以说明（描述性），有些教材直接说“小学和初中已经接触过一些集合，如自然数的集合、有理数的集合”，再让学生考察一些对象，让学生分析“这些对象也能组成集合吗？”。笔者认为，前者太过数学化，也显得突然（怎么突然想起干这个事的呢？），没有发现问题、提出问题的过程，后者则存在逻辑上的逆反：还没有集合的概念（定义），学生怎样来判定这些对象是否可以构成集合呢？标准何在？特别是一些教师不明所以，上来就是这几个例子，让学生指出它们分别包括哪些对象，并强调“确定性”、“互异性”，搞得学生莫明其妙、如坠雾里。,另一种教学设计是通过应用问题引入，如原来的人教版教材，用一个实际问题说明：学过本章内容后就可以解决这个问题了。这样的情境只能起到引起学生的兴趣的作用，不能激发学生的问题意识，也难以引起对集合概念本质的感知，更不能促使学生由此背景出发进行主动的建构。,教学的难点与偏差现行教材对空集的处理课堂上空集表示的书写：教师的处理：法一：x|x2+1=0,xR法二：规定。教师对集合特性的过度强调互异性无序性,集合的教学定位1、理解概念：用以分类。2、集合的表示（一般集合的表示，自然的想法：罗列出来-列举法；太多，无法列举？描述！）。3、子集的概念。4、集合的运算。,教学的难点与偏差现行教材对空集的处理课堂上空集表示的书写：教师的处理：法一：x|x2+1=0,xR法二：规定。,教师对集合特性的过度强调，且是无任何理由或思维基础的。确定性互异性无序性某教师：请注意，集合中的元素是无序的。这话对吗？如何说明书写无序要求北京，上海，天津，重庆,学程设计：第1课时：集合的概念第2课时：集合的表示第3课时：集合的运算（并集与交集）（空集在此讲）第4课时：子集、全集、补集。,第1课时：集合的概念创设情境，提出问题：视频：蓝蓝的天空，一群鸟欢快飞翔；茫茫的草原，一群羊悠闲地啃食嫩草；清清的湖水，一群鱼游来游去；老师：同学们，你们在画面中看到了什么？（由鸟群、羊群、鱼群形成“类”的印象。）,老师：这里的鸟群、羊群、鱼群都是同一类对象的汇集。其实，在小学、初中学习数学的过程中我们也经常遇到这种现象：自然数们也是一类对象、有理数们也是一类对象，当时我们是怎样称呼它们的呢？学生：自然数集、有理数集。老师：这里用“集合”来描述研究的对象，既简洁又方便。那么，我们不禁要问：集合是什么呢？,学生活动：请依照下列叙述，向全班同学介绍你的家庭、原来读书的学校、现在班级等情况：我家有爸爸、妈妈和我；我来自第三十八中学；我现在的班级是高一（1）班，全班共有学生45人，其中男生23人，女生22人。老师：“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征？,建构数学：让学生在对这些概念的共同特征的分析中感受到这些概念表示的都是按照“类”的标准构成一个“群体”、“全体”或“集合”，并且这些“群体”、“全体”或“集合”中的对象是明确的，可以互相区别的，从而感知到集合的本质，进而由其构成的对象的特点建构集合的概念。,案例6：两个平面平行的性质定理师：上节课我们学习了两个平面的位置关系及两个平面平行的判定定理。请大家回忆一下，空间中两个平面有哪些位置关系？如何判定？生1：空间两个平面有两种位置关系：相交和平行。当两个平面有公共点时，它们就相交，并且所有的公共点都在同一条直线上，这条直线就称为这两个相交平面的交线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面平行。判定两个平面相交只要证明它们有公共点就可以了；判定两个平面平行通常用两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。,生2：可以用教材上的例1的结论证明面面平行：垂直于同一直线的两个平面互相平行。师：很好！你们能将上面的平面与平面的位置关系、判定两个平面平行的判定定理用适当的图形表示出来吗？能根据图形用符号语言加以表述吗？（学生纷纷思考、动手作图。最后我请了2个学生分别作出表示面面相交、面面平行的图形，另请2个学生分别作出两个平面平行的判定定理和例1示意图，并请他们用符号语言表述相应的内容。）,师：以上是我们上节课学习的内容。根据我们的经验，接下来我们应该研究怎样的问题呢？生3：两个平面平行的性质定理。师：我们为什么要研究这个问题？生3：我们以前学习几何时，在学习过判定定理后都是接着学习性质定理的。师：经验倒挺丰富呢！其实，我们构造任何数学模型，都是为了解决相应的实际或数学问题，为此，就必需了解数学模型所具有的性质、特征。几何如此，代数、三角也是如此。,现在请大家思考一下：平行平面有哪些性质呢？（学生们开始思考，大约五、六分钟后有些学生开始相互讨论，大约经过了八分钟的时间，我请学生们回报研究“成果”）,生4：当两个平面平行时，其中一个平面内的直线都平行于另一个平面。（接着请他画出了相应的示意图）师：你是怎么想到的呢？生4：我是由两个平面平行的定义得到的：如果平面平面，直线a平面，那么由平面与没有公共点可知直线a与平面也没有公共点。师：非常好！这就是这个命题的证明。我们不妨将其记作“性质1”。（让这个学生写出相应的证明过程）。,（学生边叙述，我边板书，并从生5的发现起分别记为“性质3”、“性质4”、“性质5”、）师：好的，我们发现了这么多的“性质”，现在的问题是：你准备选择哪个或哪些作为两个平面平行的性质定理呢？部分学生：最重要的！另有学生：最基本的！,师：究竟哪个是最“重要”的呢？“重要”的标准是什么？哪个最“基本”？“基本”的标准又是什么呢？不妨请大家将这些“性质”证明一下，首先看一看它们是否是真命题，其次再审视一下，究竟哪个最“重要”、最“基本”。其中学生8提出的事实上是两个命题，这两个命题的证明相对复杂一些，暂不作要求。（分组证明，并请各组派代表到黑板上写出本组负责的命题的证明过程。在独立思考、小组合作及老师的适当点拨下，各组基本上完成了本组命题的证明）,师：请大家认真分析每个组的证明过程，首先，证明是否正确？其次，你能从这些证明过程中看出这些“性质”哪个最重要、最基本？（学生们经过观察发现：从“性质3”到“性质7”，每个证明过程都需要用到性质2，于是大家会心地笑了起来：用性质2作为两个平面平行的性质定理最合理！）,2.教学实施教师的作用：“导”策略的、思想的、规律的。从整体看，组织的最佳载体是“问题链”，即初始问题引导下的问题串。（略）,案例7：向量的加法,问题1：游船先从景点O到景点A，然后再从景点A到景点B，这里的位移OA、AB、OB之间有什么关系呢？（具体问题）问题2：两根拉索对塔柱的拉力分别为F1、F2，它们的合力是F，那么F1、F2和F之间有什么关系呢？（具体问题）,(1)先行组织,先行组织者：上节课中，我们曾以有向线段、位移、力等几何、物理对象为原型，抽象出向量这个数学模型。研究一个数学对象，就要研究它的运算（提出中心问题）你能以位移合成、力的合成等物理运算为原型抽象出新的数学运算吗？（课题性问题）问题1（导向性问题）问题2（导向性问题）,“+”是什么意思？（反思性问题）“和”是什么意思？（反思性问题）“合位移”是什么意思（反思性问题）OB的长度等于OA与AB长度的和吗？这说明了什么？,问题3：上述两个问题（包括解决问题的过程）有何共同点？（导向性问题）问题4；你们是怎样求和（即合位移与合力）的？两种方法有何关系？（导向性问题）问题5：对于给定的两个向量，如何确定它们的和呢？（导向性问题）问题6：你们能概括出向量和的定义吗？,数学模型的研究给出先行组织者：研究一种运算总要研究它的性质，因为只有掌握了运算性质，才能合理、简捷地进行运算问题10向量的加法具有哪些运算性质？为了解决这个问题，我们可以把向量的加法和数的加法进行类比：数的加法具有哪些性质？向量加法具有相应性质吗？若有，具体形式是什么？从而提供了研究框架：,先行组织者（大背景）课题性问题（总问题）导向性问题具体问题（操作性问题）或者通过反思性问题上溯,（2）预设与生成案例8：“直线的斜率”及例2：画出过点（2，1）且斜率为2的直线。两类教师不同讲法出现的不同解法：教师1：在引入斜率的概念后先研究了其几何意义（对x、y、y/x的几何意义作了解释），其学生就用了教材中的方法。教师2：处理例2前没有讲几何意义，学生都用的待定坐标法。,教学实施必须以学生已有知识与经验为起点奥苏贝尔：假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素是学生知道了什么，要探明这一点，并应就此进行教学。”,（3）基于学生，进行启发,基于学生的思维：从学生思维的开始案例9已知a,b是不垂直的异面直线，是一个平面，则a,b在内的射影可能是A两条平行直线B两互相垂直的直线C同一条直线D一条直线及其外一点,板演的学生画了个图：,学生画的图,教师擦去学生的图后画的图,教师的图与学生的图的关系？,基于学生的认知基础案例10：映射,情境1：剧场门票座位号与座位，对号入座。问：为什么一张门票只能有一个座位与之对应？为什么所有卖出的门票中的每一张都必须有座位与之对应？从集合的角度看，这是哪两个集合之间的对应关系？情境2：数轴上的点与实数之间存在着对应关系。问：为什么每一个点只能对应一个实数？是否存在某个点没有实数与之对应？,情境3：某种产品规定，当其有效成份x的含量不低于95%时为一级品；当有效成份x的含量低于95%但不低于90%时为二级品；当有效成份x的含量低于90%但不低于85%时为三级品；当有效成份x的含量低于85%时为不合格品。问：对于某批这种产品中的任一件确定的该种产品，能否没有等级？其等级能否唯一确定？,问题：1.剧场中座位的集合与某场演出的售出的票的集合之间的对应关系是否是函数关系？2.数轴上点的集合与实数集合之间的对应关系是否是函数关系？3.等级y是否是有效成份x的函数？,现行教材：先讲函数，后讲映射，对映射要求“了解”，如何实施？教师要站在学生的角度思考：问题是怎样想到的？,注意：避免误用。案例11：直线的斜率：从一次函数的图象开始。数学的内在逻辑关系。,（4）从上位进行启发引导案例12：已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+）上是增函数，试判断f(x)在（-，0）上的单调性并证明你的结论。教师：我们先来分析题意，探索结论。为了考察函数在（-，0）上的单调性，我们需要对满足-x1x20的f(x1),f(x2)比较大小，但题目条件中没有（-，0）上的性质，只能在（0，+）上进行讨论。怎么办？,学生：转化到（0，+）上；（等片刻）另生：从（0，+）化到（-，0）上。教师：非常好。怎么化呢？学生：等一下，我正在化呢。（让学生板演：因为f(x)在（0，+）上是增函数，所以对任意的0x1x2+,都有f(x1)f(x2),）这是学生的典型错误，且反复纠正都效果不大。,教师：你的过程能否作为对结论的证明？学生：可以。这就是我的证明过程。教师：大家有什么看法？（学生都认可）教师：请大家再看一下函数单调性的定义。（较长时间）有学生：证明（-，0）上的单调性，要对（-，0）上任意的x1,x2.教师：他们的观点正确吗？教师：请给出正确的证明。,教师：请大家再想想，能不能不用代数推导的方法直接看出单调性？（学生思考）学生：从函数y=x，y=x3的性质可以猜；另生：画个草图也行。教师：很好。下面怎么办呢？学生：用定义证明。教师：这样做比代数推导有何优点？学生：证明时的推导更有目标了！教师：对！对于这类探索性问题，我们可以通过从特例或其它方法的研究中先探索结论，再加以证明。,两次上位的引导；一次向上位提升。,（5）教学实施要体现学科基本结构数学确定的基本范式：函数、三角函数、数列、不等式等几何研究的基本范式：概念判定性质案例：直线与平面垂直解析几何研究的基本范式曲线的定义曲线方程曲线性质（上面所提的从一次函数图象到直线斜率的案例）,依据数学的内在体系、关系进行组织学科的基本结构。前面的“从一次函数到直线的斜率”又一严重问题就是违背了“解析几何”的学科结构！案例13平面的基本性质知识体系：是否等同于一般的“性质”型内容，如平行四边形的性质？,本质上，是对“平面”这个概念的界定（依据）。原始概念，无法准确定义。对学生：描述性定义。数学中：通过“关系”进行界定（线与面、面与面、点与面的关系），则这些关系体现“平”与“无限”。,如何建构立体几何的知识体系：教科书：描述性定义，再性质（为了学生的理解）数学书（纯数学）：我们把一个对象叫做“平面”，它具有以下特性：点面公理化线面面面,因此，教学组织时两句话不能少：研究平面的基本性质就是研究点、线、面之间的关系；更有文化一些：要定义，又难做到：公理化。,（6）基于教材的整体结构进行组织案例14同角三角函数关系教师在引导学生复习了任意角的三角函数的相关概念后提出问题：,计算下列各式的值，你发现了什么？（1）sin290o+cos290o，sin230o+cos230o；（2），tan30o；（3），tan45o。再让学生“发现”sin2+cos2=1，并用定义加以证明.,（7）“有目的的学习活动是教学的主导活动”所有的教学活动都必须为了实现教学目的。如果学生的学习活动离开了教学目标，可以说“这个学生不在学习！”（弗里德曼）案例15“数列中的最值问题”的选题（围绕重点、突出重点，提高效率）,（8）教学实施要重视合理处置学生的“生成”一是保护学生积极性，合理的更要肯定案例16：乘法对加法的分配律,二是要“逼”出学生的思维过程，绝对不能置之不理。案例17：直线与平面垂直例1：证明：两平行线中的一条垂直与一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。学生证明：设m是平面内任意的一条直线，教师充分肯定。怎么想到设m是平面内的任意一条直线的？逼出思维过程（隐藏在学生的潜意识中）。,案例18直线的斜率师：如何刻画倾斜程度？生：坡度。师：在直角坐标系内，如何刻画直线的倾斜程度？y2-y1|生：|x2-x1|怎么办？,要善于“追问”学生思维过程，特别是学生直接答出结论（有时是看书获得，有时是直觉的结果).“意料之外”的处置策略：学生集体无语？对学生的回答一时难以断定？,案例19已知函数f(x)的定义域为（0，1），求f(x-1)的定义域。一种：集体无语（比较差的班级）一种：（-1,0）怎么办？,案例20判断是否正确：0学生：不对，应该是0.教师：0是什么？学生：数。教师的处理是否恰当？,案例21判别函数f(x)=（x-1）的奇偶性。教学过程教师：在判定函数奇偶性时首先必须考虑什么问题？学生：函数的定义域。教师：请大家研究一下这个函数的奇偶性。学生们都研究起函数的定义域，发现其为-1,1