单调有界定理求极限

一类用单调有界定理求解的数列的极限刘丽 （徐州师范大学 数学系 徐州）摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在.关键词 数列;极限;单调有界定理.1 引言求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题.2 主要内容本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明.例 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设,.证明:数列的极限存在并求出此极限.例1可以作如下推广:命题 1 若,则数列的极限存在且为.证明 由知.由算术几何平均不等式知,假设,再次用算术几何平均不等式知,由数学归纳法知,对任意正整数均有,因而数列有界.又当时,故,即数列单调递增.由数列的单调有界定理知存在,设为,对两边同时取极限得:,可解得或（舍去）.故.注 由命题1立得例1的极限存在且为.例 证明数列收敛,其中,并求极限.通过观察、猜想、分析可将例2推广为以下更一般的形式:命题 2 若,定义,则数列存在极限且为.证明 由可知,当且仅当时取等号.设,则=,当且仅当时取等号.由数学归纳法知,对任意自然数都有:.故数列有界.又当时,因为,所以.又因为,所以,即.所以数列是单调递增的. 由数列的单调有界定理知: 存在,设为,对两边同时取极限得:,可解得.所以说数列极限存在且为. 注 由以上命题2易得例2中的数列极限存在且为. 推论 当,时,数列极限存在且为1. 利用这个推论很容易便可知对于数列: 的极限存在且为1. 例 （广西师范大学研究生入学试题） 若,试证明数列收敛于方程的一个正根. 首先可以通过观察,将参量一般化便可推广得到如下结论: 命题 3 若,则数列为单调有界数列,必存在极限. 证明 分两种情况: （i）当, 因为, ,即, ,所以,即,故有.假设当时,均有 ,则当 时,有, 即,所以,由.由数学归纳法可知,对任意自然数均有.所以数列是单调递增的数列. 下证数列有界. 令,因为, ,由根的存在原理知内必有一正根,而在上无根,设最大的正根.由,即,所以.又,所以,但是, ,即 ; 假设当时均有,则当时,有,即.由及数学归纳法可知,对一切自然数均有成立.所以数列是单调递增且有上界的数列. （ii） 当时,同理可证数列是单调递减且有下界的数列.由（i）（ii）可知数列是单调有界数列,从而命题3得证.注 由以上的命题3可知例3中的数列是单调有界数列,则必收敛,设,对两边同时取极限的得: 即 .所以是方程的一个正根,从而例3得证.例 （中国科技大学、北京邮电学院考研试题） 已知,.证明存在并求其值.例4可以作如下推广:命题 4 若,则数列极限存在且为的正根.证明 由得.又,则.由递推关系知.因函数是递增函数,则由知 与 的符号相同.而 的符号又与 的符号相同,故依次下去便知最终与 的符号相同.而,即,所以 ,从而 ,于是便有,故数列是单调递增数列.又,假设当时都有 成立,则当 时,由数学归纳法知,对一切自然树都有 ,即数列有界.由数列的单调有界定理知数列必存在极限,设,对两边同时取极限的得 即 .所以数列收敛于方程的正根.推论 若, ,则数列的极限存在且收敛于方程的一个正根,即 .注 利用该推论易知例4中的数列的极限存在且为3.文4、5中的一些题也可由此推论直接得出.例 设,数列、分别定义为, ,证明.例5可以作如下推广:命题 5 设,数列、分别定义为, ,则仍有 成立.证明 由已知 可得 ,.假设当 时均有,则当时有, ,由数学归纳法知,对任意自然数都有,成立.由算术几何平均不等式知,当且仅当时取等号.而当时, 即,即.故有.而当时,由于,所以就有, ,因此对任意自然数都有下式成立,所以数列、均为单调有界数列.故由数列的单调有界定理知、存在,分别设为、,对两边同时取极