第7章 离散系统状态空间设计.ppt

第7章离散系统状态空间设计,7.1线性离散系统输出反馈设计7.1.1在单位阶跃信号作用下单变量最少拍系统设计,对于如图7.2所示的系统，确定数字控制器D(z)，使闭环系统在单位阶跃信号作用下的调整时间的拍数N为最少，且无稳态误差和无波纹。,连续控制对象的状态空间方程为若采用零阶保持器，则连续部分离散化状态空间方程为设采样周期T=1秒，则上式为,若要求在单位阶跃输入下，系统的调整时间为最少拍，就必须确定适当的数字序列u(k)，以便是被控对象在u(k)的作用下，能从初态x1(0)=x2(0)=0（假定初态为零，且离散化后是状态完全可控的）经N拍后转移到对应于输出y(t)恒等于输入r(t)=1时的终态。用数学关系表示为其中tf是对应于N拍的终态时间。y(t)的导数为0，意味着输出跟踪上输入之后，输出就不再变化了。因此，上式就是无稳态误差且无波纹的条件，因为tf对应于某个离散时刻NT，所以上式又可变为式中正整数N是最少拍的拍数。,1有波纹设计（N=1）令k=0，得到第一个采样周期的状态转移方程为由于x1(0)=x2(0)=0，故得到显然，对于同一个u(0)，要同时满足以上两式是不可能的。因此，只经过一拍输出就跟踪输入，就可能出现波纹。事实上，若只考虑条件x1(1)=0.368u(0)时，就是经过一拍后，输出能跟踪输入，但存在波纹。因此，只考虑满足条件x1(1)=0.368u(0)且x1(1)=1即可，则有u(0)=1/0.368=2.72，可求得x2(1)=0.6322.72=1.720，这表明无波纹条件不能得到满足，所以是有波纹的。,为了能得到这种有波纹情况下的数字控制器D(z)，为此取k=1，即可得到第二个采样周期的状态转移方程为将x1(1)=1，x2(1)=1.72得到如果只考虑满足x1(2)=y(2)=1的条件，而不考虑x2(2)=0的条件，则由上式得到,同理，取k=2，并用x1(3)=y(3)=1，可求得u(2)=2.12，类似地，可取k=3,4,，并用x1(k)=y(k)=1条件，就可求得u(3)=-1.52，u(4)=1.08，则可得到u(k)的Z变换为由于U(z)=D(z)E(z)，因此，若要求得D(z)还应求得E(z)。根据关系e(k)=r(k)-y(k)=1-y(k)，k=0,1,2,，因此，当k=0时，有e(0)=1-y(0)=1-x1(0)=1，又根据最少拍（N=1）消除误差，即y(1)=r(1)=1或e(1)=0，这就表明，当k0时，应有e(k)=0。于是，就得到e(k)的Z变换为,根据所求得的U(z)和E(z)，便可得到数字控制器D(z)为上式就是在单位阶跃输入下，系统输出经过一拍就能跟踪输入的数字控制器D(z)。但由于输出y(t)的导数不为0，所以是有波纹的，如图7.3所示。,2无波纹设计（N=2）如果系统在单位阶跃输入下能在两拍内使系统从零初始状态转移到所规定的终态，那么就可以保证系统的输出y(t)能在两拍后达到无波纹、无稳态误差跟踪输入。经过两拍的状态转移方程为根据N=2拍完全跟踪，即两拍后无波纹、无稳态误差，在零初始条件下，应有,解得所求得的u(0)=1.58和u(1)=-0.58就是用来驱动系统从零初始x(0)=0，转移到终态x1(2)=1，x2(2)=0所需要的控制器输出序列u(k)前两拍的值。由于系统从初态转移的终态只需要两拍，因此，当k2时，u(k)=0，说明系统输出经过两拍后完全跟踪输入，则有根据e(k)=r(k)-y(k)=r(k)-x1(k)，得到e(0)=r(0)-x1(0)=1-0=1e(1)=1-x1(1)=1-0.368u(0)=1-0.3681.58=0.419同理，当k2时，e(k)=0，于是得到,因此，在N=2时的数字控制器D(z)为图7.4表示了系统的单位阶跃控制过程，调整时间为两拍，且无波纹、无稳态误差。,上述N=1和N=2两种情况表明，系统的调整时间为一拍时，只能满足x1(N)=1，而不能满足x2(N)=0条件，所以系统输出就出现了波纹；当调整时间增加一拍时，满足了x1(N)=1且x2(N)=0条件，所以系统能实现两拍跟踪且无稳态误差、无波纹。从这里可以看到调整时间每增加一拍，就可以对系统性能增加一项要求，且得到满足。可以想见，当N3时，对系统的要求可以增加，例如，可以满足由于控制对象执行元件的饱和特性对输入幅值限制的要求，或最大速度和最大加速度限制的要求等等，以便使得它们的数值大小限制在整个控制过程中所允许的范围内。,7.1.2在单位速度信号作用下单变量最少拍系统设计,对于如图7.2所示的单变量系统，在单位速度信号作用下的设计要求是：确定数字控制器D(z)，使系统调整时间的拍数N为最少，无稳态误差无波纹。可表示为其中tf是对应于N拍的终态时间。设计方法同前面单位阶跃输入下的设计方法相似，为简便起见，仍设系统初态x(0)=0，采样周期T=1秒，则上式无稳态误差无波纹跟踪条件为,显然，N=1是没有意义的，因为e(0)=r(0)-y(0)=0，也就是说，在第一个采样周期内，没有任何信息输入到数字控制器，因而就没有输出即u(0)=0，故无控制作用。当N=2时，根据，并考虑到X(0)=0，u(0)=0，便可求得上式的两个条件中只能满足两拍跟踪的条件x1(2)=2=0.368u(1)，而不能满足无波纹条件x2(2)=1=0.632u(1)，因此，在N=2时，可实现两拍跟踪，但有波纹存在。由前面讨论可知，必须增加一拍。,当N=3时，根据，并考虑到x(0)=0，u(0)=0，则有x(1)=0，便可求得这说明系统在此输入的作用下，其输出在N=3时实现完全跟踪输入r(t)=t且无波纹。下面进一步求出u(k)（k2），为此，继续使用条件和状态方程解的迭代公式，得到,解得u(3)=1，同理，可求得u(4)=u(5)=1，于是得到控制序列为u(k)=0,0.383,0.173,1,1,k=0,1,2,3,4,从控制序列的值可以看出，系统的过渡过程结束后，u(k)的值保持恒定不变，所以不存在波纹，这与第四章的结论是一致的。相应的Z变换为，相应的误差关系式为：，并且当k2时，可以求得,则相应的Z变换为于是求得数字控制器D(z)为图7.7是所设计的系统在单位速度输入下的控制过程，调整时间为三拍，且无波纹无稳态误差。,7.2线性离散系统状态反馈设计,状态反馈设计法的主要思想就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数送到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。通过对状态反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点设置在所希望的位置上。,7.2.1设计单输入二阶系统的坐标变换法,设二阶系统控制对象的状态转移方程为其中X(k)为二维状态向量，u(k)是标量，系数矩阵A(T)和B(T)为设计的目的是：要求用两个状态变量x1(k)与x2(k)作为状态反馈信号，通过选择适当的反馈系数或反馈矩阵的元素构成最少拍闭环系统。,设二阶系统的状态向量可表示为式中x1(k)与x2(k)是二维状态向量的两个分量，e1与e2是状态平面的一组自然基底，如图7.9所示。,不失一般性，设终端状态点为状态平面的坐标原点即平衡位置，也就是说x(0)在u(0)的控制作用下转移到x(T)=0，即则式中z1，s1定义为那么，从初始状态点x(0)，能在两步控制信号u(0)和u(T)的作用下，转移到原点。,其中z2，s2定义为由于(T)是非奇异的，那么对于二阶系统，n=2有,上式表明，如果二阶系统是状态完全可控的，那么，向量s1与s2是线性无关的。因此，可以用向量s1与s2组成状态平面中的一组新的基底，如图7.10所示，称这组新基底所构成的坐标系为正则坐标系。,如果位于状态平面过正则坐标系中任意位置的初态点x(0)能在两步控制信号作用下转移到原点，那么，当系统状态完全可控时，它必须在第一步控制信号u(0)作用下转移到向量s1所确定的直线上x(T)点，然后在第二步控制信号u(T)作用下，才能从x(T)点沿着z1轴转移到原点。如图7.11所示。,因此，如果单输入二阶系统是状态完全可控的，则它在状态平面上的任意初始点x(0)都可以在两步控制信号作用下转移到原点。第一步控制信号u(0)必须能够将初始点x(0)转移到z1轴上，即应满足如下关系则,可见，要想使初态x(0)在第一步控制信号u(0)作用下，转移到坐标轴z1上，且x(T)的坐标值为z1(T)，则第一步控制信号值u(0)应为且x(T)的坐标值z1(T)应为第二步控制信号u(T)应该使状态x(T)沿坐标轴z1转移到原点，即将x(T)=z1(T)s1代入上式，则有,因此，第二步控制信号为可以看到。控制信号u(0)和u(T)的确定方法有两种，一种是任一步控制信号都等于初始状态点在正则坐标系相应坐标轴上坐标值的反号，即这种确定每步控制信号的方法称为开环型法，即每步控制信号只取决于初始点的位置。,另一种是任一步控制信号都等于当时状态点在正则坐标系第一个坐标轴上坐标值的反号，即这种确定每步控制信号的方法称为闭环型法，即每步控制信号只取决于当时状态点的位置。因此，闭环型法确定控制信号很便于构成闭环控制系统。被控对象的任意初态点x(0)可以位于状态平面中的任何位置，它是状态平面中两个自然基向量的线性组合。即有,将上面讨论的二阶单输入系统归纳成一般形式，可根据作如下坐标变换由于s1与s2的定义中(T)和B(T)已知，故上两式中的系数也是已知的，表示为,在状态平面中，状态向量x(0)和x(T)可以表示成而在正则坐标系中，x(0)和x(T)又可以表示成用矩阵向量形式表示，则有,则其中所以,由此得到闭环控制信号式中将闭环控制信号写成统一的形式为,7.2.2n阶单输入系统的坐标变换法,对于n阶对象的n个状态变量x1(kT),x2(kT),xn(kT)组成的n维状态向量x(kT)，可以用状态空间的n个自然基向量e1,e2,en表示为因为对于n阶的最少拍系统的最少拍数是n，即x(nT)=0。用矩阵形式表示为,在n维状态空间中任意初态点x(0)也可以用n维正则坐标系的基向量s1和s2表示为对于n阶的单输入最少拍系统，需要最少拍数是n，才能使系统从任意给定的初态x(0)转移到终态x(nT)=0。(1)对于一步过程，x(T)=0式中z1(0)=-u(0)，z矩阵为,(2)对于二步过程，x(2T)=0第一步为第二步为式中z1(0)=-u(0)，z2(0)=z1(T)=-u(T)，得到z矩阵为,(3)对于三步过程，x(3T)=0式中z1(0)=-u(0)，z2(0)=z1(T)=-u(T)，z3(0)=z2(T)=z1(2T)=-u(2T)，得到z矩阵为,(4)对于第n步过程，x(nT)=0，意味着u(n-1)T=-z1(n-1)T。可得式中si=(-iT)B(T)，得到的矩阵z为三角阵，它的主、次对角线上的元素相等，即,基向量s与基向量e的关系是s=Pe，其中矩阵P表示为所以将上式展开后，取Z矩阵的第一列，可得到n个方程式为,这里i是P矩阵的元素的函数，因此，可得到状态反馈的闭环控制信号序列为其中为反馈矩阵，为行矩阵：x(kT)是列向量,例7.1设控制对象的传递函数为试用坐标变换法设计最少拍状态反馈闭环系统，设采样周期T=1秒并采用零阶保持器。解：控制对象的连续状态方程为,控制对象相应的方框图如图7.12所示。得,P矩阵为根据Z=XP-1,由于是二阶系统，故最少拍n=2，于是根据u(0)=-z1(0)，u(T)=-z1(T)，则由上式z矩阵第一列可得控制信号序列。式中即,对于T=1秒，可以得到状态反馈闭环系统方块图如图7.13所示。,7.5最小能量控制系统设计,损耗“控制能量”最小的系统的性能指标一般可表示为式中u(k)为m1控制向量，N是控制步数（拍数），由以前的知识可知，一般有Nn，n是系统的维数，这里假定采样周期T=1秒。对于单输入系统可表示为,为了简单起见，考虑单输入被控对象即原系统，设其状态方程为式中x(k)为n1状态向量，u(k)为标量，A是nn非奇异系数矩阵，B是n1系数矩阵。要求设计损耗“控制能量”最小的数字控制器，以产生控制序列u(0)，u(1)，u(n-1)，使系统能在有限步N内（一般Nn），使系统从任意给定初态x(0)转移到终态x(N)=0，并使性能指标取最小值。,可以得到根据要求x(N)=0，上式变为或,简记为式中Q为是nN矩阵，u为N1向量分别为对于状态完全可控系数，矩阵Q的秩为n。因一般Nn，因此，Q有最小右逆，即于是，可得到最小能量控制序列,例7.11设控制对象的传递函数为设采样周期T=1秒，使用零阶保持器，求出N=2，3，4时的最小能量控制系统的控制序列。解：可以求得系数矩阵为,并可以求出,由于矩阵Q的秩为2，因此有最小右逆，计算如下,于是，可求得最小能量控制序列为如果给定初态为可求得N=4，3，2时的最小能量控制序列分别为,N=4N=3N=2,对应的最小控制能量分别为N=4时，N=3时，N=2时，由以上可以看出，对于n=2的系统，不论取N=2，3或4，只要分别取上述控制序列，就都能把系统从给定初态x(0)转移到终态x(N)=0，且所用的控制能量最小。但是，随着控制步数N的增多，所用控制能量则急剧减小。,7.6离散最优控制7.1.1离散极小值原理,设离散系统状态方程为x(k+1)=f(k)，k=0,1,N-1设初始时刻k=0，终端时刻k=N固定，始端状态固定，即x(0)=x0，终端状态x(N)自由，u(k)无约束，采样周期T=1秒，取性能指标为,最优控制问题的提法是确定幅值不受约束的最优控制序列u(k)，k=0,1,N-1，使性能J最小。其中x(k)为n维状态向量序列，u(k)是m维控制向量序列，f是连续可微的n维向量函数，和L都是连续可微的数量函数。为了求得最优控制序列u(k)，和连续极小值原理相似，引进称为协态向量的n维拉格朗日(Lagrange)算子向量序列(k)，k=1,2,N，则将性能指标改写为,定义一个标量哈米尔顿(HamiLton)序列为则将性能指标改写为则性能指标J的一阶变分为,取极值的必要条件是性能指标J的一阶变分为零，则有(1)x(k)，(k)满足下面两个方程：x(k+1)=f(k)k=0,1,N-1(2)x(k)，(k)满足下面的终端条件：x(0)=x0,(3)极值条件k=0,1,N-1例7.12设标量离散系统的状态方程为x(k+1)=x(k)+3u(k)k=0,1,2。试求无约束的控制序列u(k)，k=0,1,2。使系统从给定的初态x(0)=2转移到终态x(N)=0，并使性能指标取最小值。,解：由已知条件得N=3，相应的哈米尔顿函数为（常数）由，得由于，故u(k)=-3r一定使函数H(k)取极小值。,由已知条件得x(1)=x(0)-9r=2-9rx(2)=x(1)-9r=2-18rx(3)=x(2)-9r=2-27r=0得到最优控制序列为性能指标的极小值为,例7.14设标量离散系统的状态方程为x(k+1)=2x(k)+2u(k)k=0,1,2。试求无约束的控制序列u(k)，k=0,1,2。使系统从给定的初态x(0)=0转移到终态x(N)，并使性能指标取最小值。解：由已知条件得N=3，相应的哈米尔顿函数为,由，得由，得由于故一定使函数H(k)取极小值。则最优控制序列为u(0)=-2(1)=-8u(1)=-2(2)=-4u(2)=-2(3)=-2,由系统的状态方程x(k+1)=2x(k)+2u(k)，得x(1)=2x(0)+2u(0)=-16x(2)=2x(1)+2u(1)=-40 x(3)=2x(2)+2u(2)=-84性能指标的极小值,7.6.2离散动态规划法,一个N步的最优决策（控制）序列具有这样的性质，决策序列对于由初始决策所形成的状态来说都必须构成一个最优决策序列。若有一个初态为x(0)的N步决策过程，其最优序列为u(0),u(1),u(N-1)，那么，对于以状态x(1)为初态的N-1步决策过程来说，决策u(1),u(2),u(N-1)必定是最优的。这就是最优性原理。,系统由初始状态x(0)转移到终端状态x(N)的过程如图7.23所示，每一步的输出x(k+1)同输入x(k)有关，也同决策阶段的决策有关。,多阶段决策过程优化问题是：对于一个N步决策过程x(k+1)=f(k)，k=0,1,N-1选择决策向量序列u(0),u(1),u(N-1)，使系统从任意给定的初态x(0)=x0转移终态x(N)，并使N步代价函数(或称性能指标)为最小。式中x(k)为n维状态向量，u(k)为m维控制向量，f为n维向量函数，和L都是连续可微的数量函数。假设初始时刻k=0，终端时刻k=N固定，始端状态固定，即x(0)=x0，终端状态x(N)自由，u(k)无约束，采样周期T=1秒。,这是一个N步决策问题，就是要选择N步最优控制序列u(0),u(1),u(N-1)，使系统能够从初态x(0)=x0出发，沿着最优轨线x(1),x(2),x(N)一步一步地转移，并能使性能指标最小。即假设系统已经转移到x(N-1)，需要确定控制u(N-1)，使系统继续转移到终态x(N)，并使该步转移过程中的性