江苏省栟茶中学20192020学年度第二学期高考模拟考含答案

高三数学（第 I 卷） 第 1 页（共 4 页） 江苏省栟茶中学 2019/2020 学年度第二学期高考模拟考试 数 学 2020.05 (全卷满分 160 分, 考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前, 请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2. 试题答案均写在答卷相应位置, 答在其它地方无效. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案 直接填在答题卡相应位置上 1. 已知集合 A=1,1,2,3, B=x|xR, x2 3, 则 AB = 2. 复数(a+i)(1 +2i)是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数 a= 3. 某算法的伪代码如图所示，如果输入的 x 值为 32，则输出的 y 值为 4. 现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字。 将这三张卡片随机排序，则能组成“抗役情”的概率是 5. 若双曲线x 2 a2 y2 b21 的离心率 e=2，则该双曲线的渐近线方 程为 6. 已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 7. 公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a2a5a14成等 比数列 Sn = a2 2, 则 a 10= 8. 将 1 个半径为 1 的小铁球与 1 个底面周长为 2，高为 4 的铁制圆柱重新锻造成一个 大铁球，则该大铁球的表面积为 9. 若函数 f(x)= 2sin(2x + 9) (00， 则实数 a 的取值范围是 （第11 题图） A D C B （第 3 题图） Read x If x5 Then yx2 Else ylog2 x End If Print y 高三数学（第 I 卷） 第 2 页（共 4 页） 13. 在平面直角坐标系 xOy 中， 圆 C: (x2) 2+(ym)23.若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB， 且, AB=2GO, 则实数 m 的取值范围是 14. 在ABC 中，若C=120，tanA=3tanB, sinA= sinB, 则实数 = 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图， 在ABC 中， 已知点 D 在边 AB 上， AD=3DB， cos A4 5， cosACB 5 13， BC=13. （1）求 cos B 的值； （2）求 CD 的长. 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，ABCD，CDAC，过 CD 的平面分 别与 PA，PB 交于点 E，F （1）求证：CD平面 PAC； （2）求证：ABEF （第15题图） A B C D B E F C P A D （第16题图） 高三数学（第 I 卷） 第 3 页（共 4 页） 17 （本小题满分 15 分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C：x 2 4 y2 3 1 的左、右顶点分别为 A，B， 过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） （1）若 QF=2FP，求直线 l 的方程； （2）设直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2，是否存在常数 ，使得 k1=k2？若存在，求 出 的值；若不存在，请说明理由 18 （本小题满分 15 分） 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆 O 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交 点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F，G 为其中两个 交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1m， 且AB AD 1 2，设EOF，透光区域的面积为 S. （1）求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边 AB 的长度. B （第 18 题图） E A F D O C G （第 17 题图） y x F P B O A Q 高三数学（第 I 卷） 第 4 页（共 4 页） 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 f (x) = 2 lnx x2 ax (aR). (I) 当 a2 时，求 f (x)的图象在 x1 处的切线方程; (2) 若函数 g (x) f (x)axm 在1 e，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围; (3) 若对区间(1, 2)内任意两个不等的实数x1 , x2 , 不等式f (x1)f (x2) x1x2 2恒成立, 求实 数 a 的取值范围. 20 （本小题满分 16 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn。且满足 Sn=2an2: 数列bn的前 n 项和为 Tn ,且满足 b1=1，b2=1， Tn Tn +1 bn bn +2. (1) 求数列an、bn的通项公式: (2) 是否存在正整数n，使得anb n +1 anbn +1.恰为数列bn中的一项?若存在，求所有满足要求 的 bn; 若不存在，说明理由. 高三数学 II（附加题） 第 1 页（共 2 页） 江苏省栟茶中学 2019/2020 学年度第二学期高考模拟考试 数学 202005 (全卷满分 40 分, 考试时间 30 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2. 试题答案均写在答卷相应位置,答在其它地方无效. 21 【选做题】在 【选做题】在 A，B，C 三小题中三小题中只能选做两题只能选做两题 ，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡答题卡 指定区域指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换（本题满分 10 分） 已知矩阵 A a 3 2 d ， 若 A 1 2 8 4 ，求矩阵 A 的特征值. B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点 A 2， 2 ，点 B 在直线 l: cos+sin=0(02)上.当线段 AB 最短 时，求点 B 的极坐标. 高三数学 II（附加题） 第 2 页（共 2 页） 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答答 题卡指定区域题卡指定区域 内作答，解答时内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 F(1,0)，直线 x =1 与动直线 y = n 的交点为 M，线段 MF 的中垂线与动直线 y = n 的交点为 P. (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程: (2) 过动点 M 作曲线 E 的两条切线，切点分别为 A，B,求证: AMB 的大小为定值. 23 （本小题满分 10 分） 设()12 2 2n+1a n 2a bn（nN*，aZ，bZ）. (1) 求证: a 2 n8b 2 n,能被 7 整除: (2) 求证: bn不能被 5 整除. 高三数学参考答案（5-29） 第 1 页（共 6 页） 江苏省栟茶中学 2019/2020 学年度第二学期高考模拟考试 数 学 2020.05 11，1 2. 2 3. 5 4. 5. 1 6. 5.2 7.19 8.8 9. 10. 11.4 12.（1 ,5 13. m 14. 15. 解：（1）在ABC 中，cosA= ，A（0，）， 所以 sinA= 同理可得，sinACB= 所以 cosB=cos-（A+ACB）=-cos（A+ACB） =sinAsinACB-cosAcosACB= = （2）在ABC 中，由正弦定理得，AB=BC/sinA sinA sinACB= =20 又 AD=3DB，所以 DB= AB=5 在BCD 中，由余弦定理得， CD=9 16. 证明：（1）在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，CD平面 ABCD，CDPC， CDAC，PCAC=C，CD平面 PAC （2）ABCD，过 CD 的平面分别与 PA，PB 交于点 E，F，且平面 CDEF平面 PAB=EF， 又 CD平面 PAB，AB平面 PAB，CD平面 PAB，CDEF，ABEF 17.解：（1）因为 a2=4，b2=3，所以 c=， 所以 F 的坐标为（1，0）， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），直线 l 的方程为 x=my+1， 高三数学参考答案（5-29） 第 2 页（共 6 页） 代入椭圆方程=1，得（4+3m2）y2+6my-9=0， 则 y1= ，y2= 若 QF=2FP，即，则 解得 m= ，故直线 l 的方程为 x-2y- =0 （2）由（1）知，y1+y2= ，y1y2=，所以 my1y2= （y1+y2）， 由 A（-2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1， 所以 = ，故存在常数 = ，使得 k1= k2 18. 解:(1) 过点 作于点，则， 所以， 所以 ， 因为，所以，所以定义域为 （2）矩形窗面的面积为 则透光区域与矩形窗面的面积比值为 设，则 ， 因为，所以，所以，故， 所以函数在上单调减 高三数学参考答案（5-29） 第 3 页（共 6 页） 所以当时，有最大值，此时 答：（1）关于的函数关系式为，定义域为； （2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度 19.(I)当a=2时，f (x) =2lnx-x2+2x, f(x)= -2x+2, 切点坐标为(1, 1)， 切线的斜率k=f (1) =2,则切线方程为y-1=2 (x-1) ，即y=2x-1. (2分) (I) g (x) =2lnx-+m, 则g(x)= - 2x=,.x , e,故g (x) =0时，x=1. 当 x0; 当1xe时，g (x) 0.故g (x)在x= 1处取得极大值g (1) =m-1. (4分) 又g( )=m2 -，g (e) =m+2-, g(e)-g( -)=4-+ -0, 则g(e) 0 g(x)在 ，e上有两个零点的条件是，解得1 m2+ 实数m的取值范围是(1，2+ (I)不妨设1x1 x22, 2恒成立等价于f (x2) -f (x1) f (x2) -2x2. 令u (x) =f (x) -2x, 由x1, x2具有任意性知，u (x)在区间(1, 2)内单调递减， u (x) =f (x) -20恒成立，即f (x) 2恒成立， : -2x+ah (1) =2,:实数a的取值范围是(-, 2. 20. 解：（1）由 Sn=2an-2，则当 n2 时，Sn-1=2an-1-2，两式相减得：an=2an-2an-1，则 an=2an-1， 高三数学参考答案（5-29） 第 4 页（共 6 页） 由 S1=2a1-2，则 a1=2，数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，则 an=2n， 由 = ，则 = ， = ， = 以上各式相乘，则 2Tn=bnbn+1， 当 n2 时，2Tn-1=bn-1bn，两式相减得：2bn=bn（bn+1-bn-1），即 bn+1-bn-1=2， 数列bn的奇数项，偶数项分别成等差数列， 由 = ，则 b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2， 数列bn是以 b1=1 为首项，1 为公差的等差数列，数列bn的通项公式 bn=n； （2）当 n=1 时，无意义， 设 cn= =，（n2，nN*），则 cn+1-cn=0，即 cncn+11， 显然 2n+n+12n-（n+1），则 c2=7c3=3c41，存在 n=2，使得 b7=c2，b3=c3， 下面证明不存在 c2=2，否则，cn=2，即 2n=3（n+1）， 此时右边为 3 的倍数，而 2n不可能是 3 的倍数，故该不等式成立， 综上，满足要求的 bn为 b3，b7 21.B 矩阵 A 的特征值 =4 或1 C：点 A 的极坐标为（2， ），点 A 的直角坐标为（0，2）. 点 B 在直线 cos+sin=0 上运动，点 B 在直线 x+y=0 上运动. 解，得 高三数学参考答案（5-29） 第 5 页（共 6 页） 要使 AB 最短，则此时 B 点的坐标为（-1，1），化为极坐标是（，）. 22.(1) 因为直线 yn 与 x1 垂直，所以 MP 为点 P 到直线 x1 的距离 连结 PF，因为 P 为线段 MF 的中垂线与直线 yn 的交点，所以 MPPF. 所以点 P 的轨迹是抛物线 焦点为 F(1，0)，准线为 x1.所以曲线 E 的方程为 y24x. (2) 由题意，过点 M(1，n)的切线斜率存在，设切线方程为