有限元分析法第3章 杆单元.ppt

第三章杆单元,如何用直接法求杆单元特性？,如何用公式法导出杆单元特性？,什么是虚功原理？,杆单元刚度矩阵的特点？,什么叫坐标变换？,如何对节点位移向量进行坐标变换？,如何对刚度矩阵进行坐标变换？,应用举例,31一维等截面杆单元,L杆长A截面积E弹性模量,考虑一个2节点一维等截面杆单元：,31一维等截面杆单元,应力应变关系：,杆单元位移杆单元应变杆单元应力,应变位移关系：,31一维等截面杆单元,（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：,应变：,应力：,杆内力：,杆的轴向刚度：,（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：,31一维等截面杆单元,轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：,比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：,31一维等截面杆单元,（二）公式法导出杆单元特性,单元上假设近似位移函数位移模式,定义节点的插值函数（形函数）：,对杆单元，引入局部坐标：,单元上位移假设为简单多项式函数：,有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元假设位移函数：,31一维等截面杆单元,则单元假设位移函数位移模式如下：,矩阵形式：,单元应变：,单元应变矩阵,单元应力：,应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。,31一维等截面杆单元,虚功原理虚位移弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。平衡条件,对于杆单元，定义虚位移如下：,节点虚位移：,单元虚位移：,节点力（外力）虚功：,则单元虚应变：,31一维等截面杆单元,单元虚应变能：,对杆单元应用虚位移原理，得：,考虑到的任意性，立刻得到：,这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。,杆单元刚度矩阵,31一维等截面杆单元,对于上面的杆单元：,与前面直接法得到的公式相同！,31一维等截面杆单元,（三）关于杆单元的讨论1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有2个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：则：,单元刚度方程,31一维等截面杆单元,所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。,31一维等截面杆单元,（四）举例求图示段杆中的应力。,解：分个杆单元，单元之间在节点铰接。刚度矩阵分别为：,31一维等截面杆单元,参考前面弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：,引入边界位移约束和载荷：系统方程化为：,31一维等截面杆单元,上述方程组中删除第，个方程，得到：,位移解：,单元1应力：,解得：,31一维等截面杆单元,单元2应力：,提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。3）求应力之前需要求出节点位移有限元位移法。,31一维等截面杆单元,习题2：,已知：,求：杆两端的支反力,解,32二维空间中的杆单元,（一）2-D空间中杆单元（平面桁架）,1-D空间杆单元2-D空间杆单元,坐标变换,32二维空间中的杆单元,原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系,32二维空间中的杆单元,节点位移向量的坐标变换：,32二维空间中的杆单元,向量的坐标变换矩阵为：,显然是正交阵，即：,单元节点位移向量的变换式如下：,或,单元节点力的变换为：,32二维空间中的杆单元,刚度矩阵的坐标变换,局部坐标系下杆单元的刚度方程为：,扩充到4自由度形式：,写成矩阵符号形式：,32二维空间中的杆单元,利用前面的向量坐标变换式，得：,考虑到变换矩阵的正交性，得：,总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：,用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-D情况相同，按节点号对子块重新排列。,32二维空间中的杆单元,单元应力：,即：,32二维空间中的杆单元,（二）例题,平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力,解：求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：,32二维空间中的杆单元,单元1：1-2,32二维空间中的杆单元,单元2：2-3,32二维空间中的杆单元,将单元1，2的刚度方程扩张到系统规