连续时间信号与系统的频域分析报告(PPT 114页).ppt

第三章连续时间信号与系统的频域分析,傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱信号的功率谱和能量谱周期信号激励下的稳态响应非周期信号激励下的零状态响应理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应信号的调制与解调频分复用和时分复用信号无失真传输的条件,周期信号可分解为,是n的偶函数,因此，周期信号可以分解为各次谐波之和。,1傅里叶级数,傅里叶级数的三角函数形式：,是n的奇函数,或,是n的偶函数；是n的奇函数,傅里叶级数的指数形式,偶函数；奇函数,称为复傅里叶系数。,令：,表明任意周期信号可以表示成的线性组合，加权因子为。,傅里叶系数间的关系,傅里叶系数：,复傅里叶系数。,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,纵轴对称（偶函数）,原点对称（奇函数）,半周镜象对称（奇谐函数）,只含常数和余弦项。,只含正弦项。,无偶次谐波，只有奇次谐波。,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,半周重迭（偶谐函数）,无奇次谐波，只有直流(常数)和偶次谐波。,根据周期信号的对称性与傅里叶系数的关系，可使求解傅里叶系数的计算量大大减少；也可以确定信号所含的频率分量的类别；对绘波形图也有作用。,周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。,例1,偶函数：只含余弦项；半周重叠：只含偶次谐波和直流,C,例2,周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。,奇函数：只含正弦项；半周镜象对称：只含奇次谐波,B,例3,已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；,解：波形纵轴对称；半周重叠。,2周期信号的频谱,若周期信号为f(t)，周期为T，其指数形式为称为f(t)的频谱;显然，在处有意义，即不连续，故称为离散频谱。,令称为抽样函数，为偶函数。当时，,频谱为：,其中：为基波频率，在有值，称为谱线；,周期矩形脉冲的频谱,周期T不变，脉冲宽度变化,第一个过零点：,谱线间隔,在有值，称为谱线；,周期T不变，脉冲宽度变化,，第一个过零点为n=8。,情况2：,第一个过零点增加一倍,谱线间隔不变,脉冲宽度缩小一倍,幅值减小一倍,周期T不变，脉冲宽度变化,，第一个过零点为n=16。,情况3：,第一个过零点再增加一倍,谱线间隔不变,脉冲宽度再缩小一倍,幅值再减小一倍,结论,由大变小，Fn的第一个过零点频率增大，即，称为信号的带宽，确定了带宽。由大变小，频谱的幅度变小。由于T不变，谱线间隔不变，即不变。,脉冲宽度不变,周期T变化,第一个过零点,谱线间隔,幅值:,脉冲宽度不变,周期T变化,谱线间隔减小一倍,第一个过零点不变,幅值减小一倍,周期T扩展一倍,脉冲宽度不变,周期T变化,周期T再扩展一倍,谱线间隔再减小一倍,幅值再减小一倍,第一个过零点不变,结论,不变，Fn的第一个过零点频率不变，即，带宽不变。T由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。T时，谱线间隔0，这时：周期信号非周期信号；离散频谱连续频谱,周期信号频谱的特点,离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。谐波性：频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。收敛性：各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。离散频谱与连续频谱当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当T时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。,周期信号频谱的性质,时移特性：,若，则,证：设,微分特性：,若，则,证：，则,对称特性：,若，则,3非周期信号的频谱,傅里叶变换的解释,任意信号f(t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号，它包括了一切频率，且各分量的幅值无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：,输出频谱；输出原函数。以上就是傅里叶分析的基本思想。,几个基本函数的傅里叶变换,【例1】冲激函数,【例2】门函数,几个基本函数的傅里叶变换,【例3】单边指数函数,【例4】符号函数,为奇函数，,为奇函数，,为偶函数，,故,求傅里叶变换的思路,四个基本信号的傅里叶变换,二十一个常用信号的傅里叶变换,所有信号的傅里叶变换,利用傅里叶变换的性质,利用已知信号推广,求信号的傅里叶变换是一个难点,也是进入变换域分析的第一个积分变换!,4傅里叶变换的性质,线性特性：,时移特性：,频移特性：,表明信号延时了t0秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了-t0,表明信号f(t)乘以，等效于其频谱F(j)沿频率右移0,因为：,频谱搬移技术在通信系统中得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。,4傅里叶变换的性质,尺度变换特性：,对称特性：,a为非零的实常数。,可见，信号在时域中压缩(a1)等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展(a1)则等效于在频域中压缩。信号在时域中反折(a=-1)则等效于在频域中也反折。,根据时移和尺变换特性有：,若f(t)是偶函数，f(t)R()，则R(t)2f()，,则：,同学们可自行证明,4傅里叶变换的性质,奇偶特性：,若f(t)实函数,f(t)偶函数：,可见，R()=R(-)为偶函数；X()=-X(-)为奇函数；若f(t)是实偶函数，F(j)=R()必为实偶函数。若f(t)是实奇函数，F(j)=jX()必为虚奇函数。|F(j)|是偶函数；()是奇函数。即有F(-j)=F*(j),f(t)奇函数：,举例,【例5】常数1,【例7】cos0t,sin0t,已知：(t)1,利用对称特性：12(),【例6】,已知：12(),利用频移特性：2(-0),已知：,根据线性特性：,已知：,根据线性特性：,举例,【例10】cos0t(t),【例9】,已知：,已知：,利用频移特性：,根据线性特性：,【例8】单位阶跃函数(t),已知：,举例,【例11】脉冲调制信号G(t)cos0t,利用频移特性：,已知：,一般有:,举例,【例13】双边指数函数,已知：,利用尺度变换特性：,【例12】,已知：,课堂练习题,求下列信号的傅里叶变换。,解：,课堂练习题,求下列信号的傅里叶变换。,解：,时域微分和积分特性,公式：,一般的求法：，先求的频谱,由以上三式，可推出一般公式：,一般公式：,其中：,时域微分和积分特性,结论：每次对f(t)求导后的图形的面积为，即则从上面公式可知，一个有始有终的信号,即f()=f(-)=0,则F(j)中无()项。一个无限信号是否含()，看是否有f()+f(-)=0,举例,【例14】求下列信号的傅里叶变换：,举例,【例15】三角脉冲QT(t),根据时域微分特性：,频域微分和积分特性,公式：,【例16】t,已知：，根据频域微分特性,【例17】t(t),已知：，根据频域微分特性,举例,【例18】|t|,根据尺度变换特性：,也可以用时域微分特性,已知:,根据时域微分特性：,卷积定理,时域卷积定理：,如例15的三角脉冲的频谱，可用时域卷积特性来计算：,三角脉冲可以看成两个相同门函数的卷积积分,门函数的傅里叶变换为：,根据时域卷积特性：,卷积定理,【例19】余弦脉冲,频域卷积定理：,根据频域卷积定理：,已知:,卷积定理,【例20】调制信号,根据频域卷积定理：,已知：，根据对称性：,将换成2c，得：,又已知：,课堂练习题,已知f(t)F(j)，求下列信号的傅里叶变换。,解：,课堂练习题,已知f(t)F(j)，求下列信号的傅里叶变换。,解：方法1,方法2,5周期信号的傅里叶变换,周期信号可表示为:,上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。,举例,【例21】冲激串函数T(t),周期为=2/T,举例,【例22】周期函数的频谱,周期函数，其中：为第一个周期，为冲激串。,若，根据时域卷积定理：,周期函数的傅里叶变换的一般公式,举例,【例23】周期矩形脉冲信号的傅里叶变换,第一个周期：,故信号的频谱为：,显然这是T=2的频谱图,信号为一电流,功率信号与功率谱：功率信号：信号在时间区间(-,+)内的能量为，但在一个周期(-T/2,+T/2)内的平均功率为有限值，这样的信号称为功率信号。周期信号即为功率信号。功率信号的平均功率为：,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,i的有效值I为：,非正弦周期电流的有效值各项谐波分量有效值的平方和的平方根。,6信号的功率谱和能量谱,信号作用于1殴电阻时，其功率为：,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,帕塞瓦尔定理在周期信号的表示形式,对于周期信号，在时域中求得的信号功率频域中的信号各谐波分量功率之和。这就是Parseval定理在周期信号时的表示形式,功率谱：将各次谐波的平均功率随=n(n=0,1,2,)的分布关系画成图形，即得周期信号的双边功率频谱，简称功率谱。单边功率谱:,功率谱,可将各次谐波的平均功率随=n(n=0,1,2,)的分布关系画成图形，从而构成单边功率谱。,功率谱为离散谱。,能量信号：信号在时间区间(-,+)内的能量为有限值，而在时间区间(-,+)内的平均功率P=0，这样的信号称为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定的数值；而当t时数值为0时。即为能量信号。能量信号的能量的计算公式：信号的总能量：，可以推导出：,时域求得的信号能量,频域求得的信号能量,帕塞瓦尔定理在非周期信号的表示形式,对于非周期信号，信号能量可以从时域中求得,也可以从频域中求得。这就是Parseval定理在非周期信号时的表示形式,定义：为了表明信号能量在频率分量中的分布，定义能量频谱为G(),能量谱,能量谱为连续谱,它描述了单位频带内信号的能量随分布的规律。可见能量谱为连续谱,信号的能量为:,例1,求如图所示信号的功率谱和信号占有频带内的平均功率占整个信号平均功率的百分比。已知：=0.05s,T=5=0.25s。,故在信号的占有频带内共有个谐波分量。,整个信号的平均功率为,解:基波频率=2/T=8,频带:,因,故,故,信号在占有频带内的平均功率为：,故百分比为,例2,求信号的能量。,解：已知：,根据频域卷积定理：,信号的能量为：,课堂练习题,求下列频谱函数F(j)的傅里叶反变换f(t)。,解：,课堂练习题,求下列频谱函数F(j)的傅里叶反变换f(t)。,解：,课堂练习题,求下列频谱函数F(j)的傅里叶反变换f(t)。,解：,7抽样信号与抽样定理,现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行抽样就可得到离散信号。在什么条件下抽样信号能够保留原连续信号中的信息量而不受损失。这由抽样定理来保证。,意义电影是连续画面的抽样：电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会感觉到是原来连续活动景象的重现。印刷照片是连续图象的采样：印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续的。,信号的抽样,信号的抽样,抽样信号,抽样模型,冲激串抽样,=,当时,*,=,当时,从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率s2m，m为f(t)的频谱F(j)的最高频率。否则，s2m，抽样信号的频谱会出现混叠。,根据频域卷积定理：,矩形脉冲串抽样,=,*,=,当时,根据频域卷积定理：,从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率s2m，m为f(t)的频谱F(j)的最高频率。否则，sm时为零。抽样频率s2m或抽样间隔。其最低允许抽样频率fN=2fm或N=2m称为奈奎斯特频率，其最大允许抽样间隔称为奈奎斯特抽样间隔。这个定理亦称为香农抽样定理。,例1,若电视信号占有的频带为z，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有_个抽样点。()625()768()1250()15625,B,例2,对带宽为20kHz的信号f(t)进行抽样，其奈奎斯特间隔Ts=_s；信号f(2t)的带宽为_kHz，其奈奎斯特频率fs=_kHz。,对f(t)：fm=20kHz,fs=2fm=40kHz,对f(2t)：fm=220=40kHz,fs=2fm=80kHz,信号在时域压缩，在频域则扩展。见讲义45页,25,40,80,例3,信号频谱所占带宽(包括负频率)为_1/s，若将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，最低抽样频率fs=_Hz，奈奎斯特间隔Ts=_s。,200,100/,/100,根据对称性：,令=200有：,例4,H1(j),H2(j),如图所示信号处理系统。,(1)画出信号f(t)的频谱图；,(2)欲使信号fs(t)中包含信号f(t)中的全部信息，则T(t)的最大抽样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？,例4,H1(j),H2(j),(3)分别画出在奈奎斯特角频率N及2N时的fs(t)的频谱图；,当N=2m时,当2N=4m时,理想低通滤波器频谱,例4,H1(j),H2(j),如图所示信号处理系统。,(4)在2N的抽样频率时，欲使响应信号y(t)=f(t)，则理想低通滤波器H2(j)截止频率c的最小值应为多大？,从频谱图可看出：,例5,对周期信号f(t)5cos(1000t)cos(2000t)每秒抽样4500次，使抽样信号通过截止频率为2600Hz的理想低通滤波器。假定滤波器在通带内有零相移和单位增益，试求输出信号？若要在输出端得到重建的f(t)，问允许信号唯一重建的最小抽样频率是多少？,解：周期信号表示式可展开为,f(t)5cos(1000t)(1+cos4000t),4000,例5,抽样频率fs=4500Hz,即：s=2fs=9000。抽样信号的频谱为：,理想滤波器的截止频率fc=2600Hz,即：c=2fc=5200当抽样信号通过理想低通滤波器后,其输出为：,5200,信号f(t)的最高角频率为：m=5000,fm=2500Hz；所以使信号唯一重建的最小抽样频率为:,8周期信号激励下的稳态响应,求解方法一：求激励信号f(t)中第n次谐波(=n)的复数振幅或,用正弦稳态分析的方法求正弦稳态传输函数H(jn)。其定义为：式中，为响应y(t)中第n次谐波(=n)的复数振幅（即相量）。,求解方法一,求响应y(t)中第n次谐波(=n)的复数振幅(即相量)，即,写出响应y(t)的指数形式或三角函数形式的傅里叶级数，即,有效值：，或,总功率：,其中：为直流分量的功率；为一次谐波的功率；等。,求解方法二,按电路分析中的方法：应用叠加定理将激励信号按傅里叶级数展开，,令激励的各次谐波信号单独作用：直流分量激励响应r0(t)一次谐波分量激励响应r1(t)二次谐波分量激励响应r2(t)等响应为：r(t)=r0(t)+r1(t)+r2(t)+,用相量法求解,举例用方法一求解,如图所示，周期矩形信号x(t)作用于RL电路，求响应y(t)的傅里叶级数(只计算前四个频率分量)。,解：方法一：x(t)的傅里叶系数为(周期T=2,基频1=2/T=）,系统传输函数即：,所以,举例用方法二求解,如图所示，周期矩形信号x(t)作用于RL电路，求响应y(t)的傅里叶级数(只计算前四个频率分量)。,解：方法二：激励信号x(t)的傅里叶级数展开为,所以,直流分量激励：,一次谐波分量激励：,三次谐波分量激励：,五次谐波分量激励：,9非周期信号激励下的零状态响应,基本思想全响应零输入响应零状态响应,时域分析：,零状态响应的求法如下：,其中：H(j)=Fh(t)称频域系统函数。则h(t)=F-1H(j),频域系统函数,定义设系统激励e(t)的傅里叶变换为E(j)，系统零状态响应rzs(t)的傅里叶变换为Rzs(j),则定义频域系统函数为：,物理意义设激励e(t)=ejt,则系统零状态响应为,式中为h(t)的傅里叶变换，即有h(t)H(j),可见，系统的零状态响应rzs(t)是等于激励ejt乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。,频域系统函数,求法：从系统的传输算子H(p)求，即H(j)H(p)|p=j；从系统的单位冲激响应h(t)求，即H(j)Fh(t)；根据正弦稳态分析方法从频域电路模型按H(j)的定义式求。用实验方法求。,H(j)可实现的条件：在时域中必须满足当t0时，h(t)0，即系统必须是因果系统。在频域中，其必要条件是|H(j)|0，即必须满足佩利维纳准则。,频域分析法傅里叶变换方法,求激励e(t)的傅里叶变换E(j)。求频域系统函数H(j)。求零状态响应rzs(t)的傅里叶变换Rzs(j)，即Rzs(j)=H(j)E(j)。求零状态响应的时域解，即rzs(t)=F-1Rzs(j)系统的零输入响应rzi(t)按时域方法求解。系统的全响应r(t)=零输入响应rzi(t)+零状态响应rzs(t)。,例1,设系统的系统函数为（令sj），激励e(t)e-3t(t)，求零状态响应。,解：,零状态响应为：,例2,设系统的系统函数为（令sj），激励e(t)(t)-(t-1)，求零状态响应。,零状态响应为：,解：,所以：,例3,某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励,求该系统的响应y(t)。,解：,该信号通过系统后，其响应的频谱为：,傅里叶反变换即可得：,例4,在如图所示系统中，e(t)为已知激励，。求零状态响应r(t)。,解：设e(t)E(j),即有：H(j)=Fh(t)=-jsgn(),故得：R(j)=H(j)H(j)E(j)=-jsgn()-jsgn()E(j)=-sgn()sgn()E(j)=-E(j),所以：r(t)=-e(t)可见此系统为一反相器。,例5,如图所示系统，已知f(t)的傅里叶变换F(j)如图所示，子系统的H(j)=jsgn()。求零状态响应y(t)。,解：,根据频域卷积定理：,课堂练习题,一个系统的系统函数为求对于以下各输入的时域响应y(t)。,(1),(2),(3),10理想低通滤波器的响应,理想低通滤波器特性：,或：,其中：c为截止频率。称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。,冲激响应,已知：，根据对称性：,将换成2c，得：,根据时移特性：,阶跃响应,令,响应的建立时间tr，定义为从阶跃响应的零值上升到1所经历的时间。它与频带c的关系为,即：阶跃响应的建立时间与系统的截止频率(频带)成反比。此结论对各种实际的滤波器同样具有指导意义。理想低通滤波器是非因果系统，是物理不可实现的。,例1,图示为信号处理系统，已知e(t)20cos100tcos104t2，理想低通滤波器的传输函数H(j)G240()，求零状态响应r(t)。,H(j),e(t),r(t),解：e(t)20cos100tcos104t210cos100t5(cos20100tcos19900t),故:E(j)10(+100)(-100)5(+20100)+(-20100)+(+19900)+(-19900),R(j)H(j)E(j)10(+100)+(-100),故得:r(t)10cos100t,例2,理想低通滤波器的系统函数H(j)|H(j)|e-jt0如图所示。证明此滤波器对于和的响应是一样的。,解：,当激励为时，响应的频谱为：,当激励为时，响应的频谱为：,例3,图示是理想高通滤波器的幅频与相频特性，求该滤波器的冲激响应。,解：由理想高通滤波器特性可知，其特性可用理想低通特性（门函数）表示。,即：,故，冲激响应为：,例4,带限信号f(t)通过如图所示系统，已知f(t)、H1(j)、H2(j)频谱如图所示，画出x(t)、y(t)的频谱图。,解：频谱图如下,cos9t,H1(j),f(t),y(t),H2(j),cos9t,例5,e1(t)为周期信号(T=1s)的第一周期，通过如图所示系统，试求系统的零状态响应r(t)。,解：,由于滤波器的通带为-33，故只有k=0,1，即=0、的频率才能通过。,即,11信号的调制与解调,调制与解调：所谓调制，就是用一个信号（原信号也称调制信号）去控制另一个信号（载波信号）的某个参量，从而产生已调制信号，解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号。根据所控制的信号参量的不同，调制可分为：调幅，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。调频，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度保持不变的调制方式。调相，利用原始信号控制载波信号的相位。这三种调制方式的实质都是对原始信号进行频谱搬移，将信号的频谱搬移到所需要的较高频带上，从而满足信号传输的需要。,脉冲调制(pulsemodulation),由调制信号去控制一个脉冲序列的脉冲幅度、脉冲宽度或脉冲位置等参数中的一个，或者去控制脉冲编码的组合，形成已调制的脉冲序列。已调波：调幅波、调角波（调频波和调相波）是连续波；脉冲调制波是不连续的脉冲波。,调幅,调制信号,载波信号,已调信号fS(t)=f(t)cos0t,其频谱为FS(j)=Fj(-0)+Fj(+0),y(t)=f(t)cos0t,由此可见，原始信号的频谱被搬移到了频率较高的载频附近，达到了调制的目的。,解调,本地载波信号,已调信号y(t)=f(t)cos0t,其频谱为G(j)=F(j)+Fj(-20)+Fj(+20),此信号的频谱通过理想低通滤波器，可取出F(j)，从而恢复原信号f(t)。,例1,解：已知：,设：,输出的频谱：,由：,故系统的响应为,求的信号通过图(a)的系统后的输出。系统中的理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性。,例2,求的信号通过图(a)的系统后的输出。系统中的理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性。,解：设：,