复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第十章算法、统计与概率复习指导理pdf

高考复习指导 数学( 教师用书) 2 0 8 第第第第第 十 十十十十 章 章章章章 算法、 统计与概率 内 容 要 求 ABC 必做题 部分 算法 初步 算法的含义 流程图 基本算法语句 概率、 统计 抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计 随机事件与概率 古典概型 几何概型 互斥事件及其发生的概率 附加题 部分 计数 原理 加法原理与乘法原理 排列与组合 二项式定理 概率、 统计 离散型随机变量及其分布列 超几何分布 条件概率及相互独立事件 n次独立重复试验的 模型及二项分布 离散型随机变量 的均值与方差 1 .算法是高中数学课程中的新内容, 是新高考的必考 内容. ( 1)应了解算法的基本思想: 探求解决问题的一般性方 法, 并将解决问题的步骤用具体化、 程序化的语言加以表述. 应了解算法的基本特点: 有限性( 一个算法在执行有限个步 骤后必须结束) 和确定性( 算法中的每个步骤必须是明确定 义的、 可行的). ( 2)为了直观地表达算法, 往往需要将解决问题的过程 用流程图来表示.教学中能用“R e a d” 和“P r i n t” 分别描述数据 的输入和输出, 会用“ I f T h e nE l s e” 描述选择结构, 用 “W h i l e E n dW h i l e” 或“ F o r E n dF o r” 描述循环结构.教学 重点应放在问题的算法分析上, 体现算法的程序化思想, 对 编程上机不作要求. ( 3)理解和区分两种循环结构, 了解当型循环和直到型 循环是可以互相转化的.会选择其中的一种循环结构设计算 法步骤, 并能画出其流程图.对同一个问题, 如果分别用当型 循环和直到型循环来处理的话, 那么两者判断的条件恰好 相反. ( 4)算法复习必须通过实例进行, 在解决具体问题的过 程中学习一些常用的方法.能用三种基本结构设计简单的算 法流程图. ( 5)算法的思想方法应渗透到高中数学课程其他有关 内容中, 尽可能地运用算法思想解决相关问题. 2 .概率与统计内容分两部分, 一部分为必做题部分, 其 中包括统计初步和概率初步( 古典概型和几何概型) ; 另一部 分为附加题部分, 包括计数原理, 排列、 组合和二项式定理, 离散型概率分布列、 离散型随机变量的均值与方差等. ( 1)统计初步部分, 主要有抽样方法、 总体分布的估计 和总体特征数的估计.江苏高考2 0 0 9年、2 0 1 1年、2 0 1 3年考 查了方差, 2 0 1 0年、2 0 1 4年考查了频率分布,2 0 1 2年考查了 分层抽样.预测未来的高考中仍有可能考查统计内容, 不过 还是以填空题中的中低档题出现. ( 2)概率初步部分, 古典概型和几何概型分别为B级和 A级要求,2 0 0 8年在必做题部分两种概型均考查到,2 0 0 9年 至2 0 1 4年必做题部分均只考查了简单的古典概型.而在加 试部分, 2 0 0 9年、2 0 1 2年、2 0 1 4年运用计数原理考查了古典 第十章 算法、 统计与概率 2 0 9 概型, 当然还与其他知识结合起来进行考查.预测未来的高 考中仍会考查这两种概型, 一般出现1道小题. ( 3)加试部分中, 计数原理、 排列、 组合与二项式定理是 B级要求, 离散型随机变量的均值与方差和独立重复试验、 二项分布是B级要求, 离散型随机变量及其概率分布、 超几 何分布、 条件概率及相互独立事件为A级要求.从近几年高 考试题来看, 2 0 0 8年加试最后一题考查了二项式定理,2 0 0 9 年加试最后一题考查了计数原理和排列组合, 2 0 1 0年加试 倒数第2题考查了概率分布,2 0 1 1年加试最后一题考查了计 数原理, 2 0 1 2年加试倒数第2题考查了离散型随机变量及其 概率分布, 2 0 1 4年加试倒数第2题考查了排列与组合、 离散 型随机变量的均值.预测未来的高考中, 这部分内容仍是考 查的热点, 但很可能是较多知识点交汇命题. 1 .算法部分的复习 通过算法初步的复习, 要在感受算法思想的基础上, 体 验流程图在解决问题中的作用, 了解设计流程图表达解决问 题的过程; 体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效 性, 初步形成算法思维; 发展学生有条理地思考与表达的能 力, 提高逻辑思维能力, 培养理性精神和实践能力. 2 .统计部分的复习 了解简单随机抽样方法、 系统抽样和分层抽样的方法及 各自的适用范围, 会画并能读懂频率分布直方图, 了解茎叶 图, 能根据公式计算样本数据的平均数和方差, 了解方差的 统计学意义.这部分内容只要能初步了解即可, 复习时不要 随意加深和拓宽. 3 .概率部分的复习 通过复习, 要能区分古典概型和几何概型的异同点, 能 通过列举的方法计算简单的古典概型, 而对于几何概型, 只 要掌握一维和二维图形的几何概型即可, 这两个知识点的复 习要适当拓宽, 注意与其他数学知识的综合与交汇, 江苏高 考考查这两种概型的可能性极大. 4 .计数原理、 排列、 组合与二项式定理的复习 计数原理、 排列、 组合内容的复习, 重在理解两个计数原 理的区别与联系, 对于排列、 组合应用题的考查, 要在认真理 解题意的基础上, 搞清是排列, 还是组合, 采用分类还是分 步, 采用直接法, 还是间接法.在复习这部分内容时, 要注意 数学思想方法的渗透, 如映射思想、 分类讨论思想、 化归思 想.此外, 对于排列数与组合数的恒等式、 不等式的证明, 也 要给以足够的关注, 常可以与二项式定理、 数学归纳法、 导数 等交汇, 这部分内容复习时可适当纵向加深与横向拓展. 5 .离散型随机变量及其概率分布的复习 对离散型随机变量及其概率分布、 离散型随机变量的均 值与方差、 超几何分布、 二项分布等内容的考查, 其可能性应 该较大, 江苏高考2 0 1 0年、2 0 1 2年、2 0 1 4年均考到, 复习时 应保持足够的复习课时而给予足够重视.此外, 相互独立事 件的概率要认真复习, 但条件概率的应用题可不作要求, 只 要能根据条件概率来正确理解相互独立事件的概念即可. 第6 6课时 算法 内 容 要 求 ABC 算法的含义 流程图 基本算法语句 1 .了解算法的含义, 了解算法和程序语言的区别; 了解 流程图的三种基本逻辑结构 顺序、 选择、 循环; 会用流程 图表示算法. 2 .了解用伪代码表示的几种基本算法语句: 赋值语句、 输入语句、 输出语句、 条件语句、 循环语句. 3 .能用自然语言、 流程图和伪代码表示算法, 会用 “W h i l e循环” 和“ F o r循环” 语句.高考对算法这一内容的考 查以填空题为主, 属容易题. 1 .一般而言, 对一类问题的机械的、 统一的求解方法称为算 法.算法的主要特点: 有限性、 确定性.算法的表述形式: 自然语言、 流程图、 伪代码. 2 .常用流程图符号: 输入输出框、 处理框、 判断框、 起止框、 流程线. 3 .基本的算法语句包括赋值语句、 输入、 输出语句、 条件语 句、 循环语句. 4 .赋值语句的一般格式是“xy” , 表示将y的值赋给x. 5 .输入语句的一般格式是“R e a da,b” , 表示输入的数据依 次送给a,b. 输出语句的一般格式是“ P r i n tx” , 表示输出运算结果x. 6 .算法中的选择结构是由条件语句来实现的, 条件语句的 一般形式是 I f条件 T h e n 语句1 E l s e 语句2 E n d I f . 7 .算法中的循环结构是由循环语句来实现的, 循环语句有 两种形式: ( 1)只有当循环的次数已经确定, 可用F o r语句来表示. 一般形式为: F o r I F r o m“ 初值”T o“ 终值”S t e p“ 步长” 循环体 E n dF o r 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 1 0 ( 2)W h i l e语句的一般形式为: W h i l e p( 条件) 循环体 E n dW h i l e ( 3)F o r语句和W h i l e语句都是当型循环,D o语句是直到 型循环. D o语句的一般形式为: D o 循环体 U n t i lp( 条件) E n dD o 1 .下面对算法的描述: 算法只能用自然语言来描述; 算法只能用图形方式来表示; 同一问题可以有不同的算法; 同一问题的算法不同, 结果必然不同. 其中, 正确的一项是 .( 填序号) 提示 算法的特点: 有穷性, 确定性, 顺序性与正确性, 不 唯一性, 普遍性. 2 .有下列赋值语句: 3 B;x+y 0;AB- 3; TT*T;x 3 * 1 5, 其中, 正确的序号为 . 提示 赋值语句中“” 左边必须是一个变量, 右边可以 是数值、 变量或表达式.注意赋值语句的正确 格式. 3 .给出以下四个问题: 已知实数x, 输出它的绝对值; 求面积为6的正方形的周长; 求三个数a,b,c中的最大数; 求函数f(x)= x-1,x0, x+2,x0 的函数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有 . 提示 仅不需要分情况讨论, 即不需要用条件语句. 4 .执行下面一段伪代码后, 输出的结果是 4,1 . a 1 b 3 aa+b ba-b P r i n ta,b 5 .当a=3时, 下面的伪代码输出的结果是 6 . I fa1 0T h e n y 2 a E l s e yaa E n d I f P r i n ty 6 .如图是一个算法流程图, 则输出的k的值是 5 . ( 第6 题) 1 .顺序结构与输入、 输出、 赋值语句 例1 设计一组伪代码, 计算一个学生数学、 语文、 英语三门 课的平均成绩, 并画出流程图. 点拨 如果解决问题不包含判断和重复操作的过程, 如代入 公式求值、 求函数值等可以用顺序结构描述. 解 伪代码和流程图表示如下: R e a da,b,c y(a+b+c) /3 P r i n ty E n d ( 例1) 反思 编写伪代码的关键在于搞清问题的算法, 特别是算法 的结构, 然后确定采取哪一种算法语句.本题采用 R e a d语句输入a,b,c的值, 利用赋值语句得到平 均数. 拓展 已知a=1,b=2, 下列语句能表示a,b互换的是 .( 填序号) ta ab bt aa+b ba-b aa-b ta+b at-a bt-b ta+b at-a bt-a 解 . 反思 交换a,b还可以有很多种表示方法, 如:中的加 法、 减法也可以改成乘法、 除法.教学过程中不必过于 讲方法, 应让学生通过练习理解赋值语句与我们平时 运算中的“=” 的不同. 2 .选择结构与条件语句 例2 某算法的伪代码如图所示, 如果输出的y的值是4, 那 第十章 算法、 统计与概率 2 1 1 么输入的x的所有可能的值是 . R e a dx I fx 0T h e n yx- 2 E l s e yx 2- 3 x E n d I f P r i n ty ( 例2) 点拨 分析伪代码中各变量、 各语句的作用, 可知该伪代码的 功能是计算并输出分段函数y= x- 2,x 0, x 2- 3 x,x 0 的 函数值, 再根据y的值逆推出自变量x的值. 解 当x0, 0,x=0, x+3,x0, 请设计算法流程图, 写出伪代码, 要求输入自变量、 输出函数值. 解 流程图及伪代码表示如下: R e a dx I fx 0T h e n y-x+ 1 E l s e y 0 E n d I f E n d I f P r i n ty ( 例2 拓展) 3 .循环结构与循环语句 例3 执行如图所示的流程图, 若p=0 . 8, 则输出的 n= ,S= . 点拨 本例可以用枚举的方法直接求解. 解 由框图可知第一次执行循环体后:S=0+ 1 2 = 1 2 0 . 8, 所以结束循环, 此时 n=4,S= 7 8. 反思 从本例的解答可 知, 枚举法直观、 明了, 当循环次数较少时, 这种方法 确实简便, 且解题准确率高, 但当循环次数过多时, 这 种方法的计算过于复杂, 此时还有其他方法吗? 拓展 下列流程图中, 可以用来计算S=1+2+3+1 0 的流程图是 .( 填序号) 解 中,S=1+2+3+1 0; 中,S=2+3+1 0+1 1; 中,S=1+2+3+1 0+1 1; 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 1 2 中,S=1+2+3+1 0 .所以选. 例4 已知一个算法的伪代码如图所示, 则输出的结果为 . S 2 i 1 W h i l e S 2 0 0 ii+ 2 SSi E n d W h i l e P r i n t i ( 例4) 解 由图中的伪代码逐步运算, 可得输出的结果为7 . 反思 伪代码主要以W h i l e语言考查为主, 主要考查根据程 序运行求得结果.要求熟悉一般程序运行过程, 注意 题中数据的变化. 拓展 将上面用W h i l e语句表示的伪代码改写用D o语句表 示的伪代码. 解 s 2 i 1 D o ii+ 2 SSi U n t i l S 2 0 0 E n dD o P r i n t i ( 例4 拓展) 本节课主要讲述了基本算法语句, 要学会各种算法语句 的表示方法、 结构和用法.编写程序的关键在于搞清问题的 算法, 特别是算法的结构, 画出相应的流程图, 然后对照图写 出伪代码. 算法的基本逻辑结构有三种, 即顺序结构、 条件结构和循 环结构.顺序结构是最简单的结构, 也是最基本的结构.当问 题涉及到一些判断, 进行分类或分情况, 或者比较大小时, 应 用条件结构; 分成三种类型以上( 包括三种) 时, 由边界开始逐 一分类, 应用多重条件结构.注意条件的边界值.当反复执行 某一步骤或过程时, 应用循环结构.当型循环是先判断条件, 条件满足再执行循环体, 不满足退出循环; 直到型循环是先执 行循环体, 再判断条件, 不满足条件时执行循环体, 满足时退 出循环.应用循环结构前应明确:循环变量和初始条件; 算法中反复执行的部分, 即循环体;循环的终止条件. 常见有以下几种语句: ( 1) 输入、 输出语句, 实现数据的 输入、 输出功能, 误区警示: 输入语句中输入的值只能是具体 的常数, 输出语句可以输出常量、 变量或表达式的值及字符. ( 2) 赋值语句, 将表达式的值转给变量在一些较为复杂的问 题算法中经常需要对两个变量的值进行交换, 因此应熟练掌 握这种方法.(3)I f - T h e n - E l s e语句, 条件满足或不满足均有 可执行的操作内容.(4)I f - T h e n语句, 条件不满足时无可执 行的操作内容.(5)F o r语句, 先执行循环体, 后判断条件( 循 环次数确定).( 6)W h i l e语句, 先判断条件, 再执行循环体( 循 环次数不确定). 当然有时几种结构还会嵌在一起, 常见的有: 条件结构 中嵌套着条件结构, 循环结构中嵌套着条件结构, 条件结构 中嵌套着循环结构, 循环结构中嵌套着循环结构. 1 .( 根据必修3 P 2 0练习第2题改编) 写出输入x的值求函 数y= |x|的一个算法. 解 伪代码表示如下: R e a dx I fx 0T h e n yx E l s e y-x E n d I f P r i n ty ( 第1题) ( 第2题) 2 .( 根据必修3 P 2 1引例改编) 设计计算1 3 5 7 9 9的一个算法, 并画 出流程图( 不同于教材中的算法). 解 伪代码及流程图表示如下: S 1 i 1 W h i l e i 9 9 SSi ii+ 2 E n dW h i l e P r i n tS 第6 7课时 统计 内 容 要求 ABC 抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计 第十章 算法、 统计与概率 2 1 3 1 .理解随机抽样的必然性和重要性, 了解三种抽样方 法适用范围、 区别和联系, 会选用适当的方法从总体中抽取 样本. 2 .理解样本数据标准差的意义和作用, 会计算数据标 准差.能从样本数据中提取基本的数字特征( 如平均数、 方 差) , 并作出合理的解释. 3 .了解分布的意义和作用, 会列频率分布表, 会画频率 分布直方图、 频率分布折线图、 茎叶图, 会用样本的频率分布 估计总体的分布, 会用样本的基本数字特征估计总体的基本 数字特征, 理解用样本估计总体的思想.高考对本部分内容 的考查以填空题为主, 属容易题. 一、抽样方法 ( 一)统计的有关概念 1 .统计的基本思想: 用样本去估计总体. 2 .总体、 个体、 样本、 样本容量. ( 二)常见的抽样方法 1 .简单随机抽样 ( 1)抽签法 一般步骤:将总体中的N个个体编号; 将这N个 号码写在形状、 大小相同的号签上;将号签放在同一箱中, 并搅拌均匀;从箱中每次抽取1个号签, 连续抽取k次; 将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. ( 2)随机数表法 一般步骤:将个体编号;在随机数表中任选一个 数作为开始;从选定的数开始, 按照一定抽样规则在随 机数表中选取数字, 取足满足要求的数字就得到样本的 号码. 2 .系统抽样 一般步骤: ( 1)采用随机的方式将总体中的个体编号. ( 2)为将整个的编号进行分段, 要确定分段的间隔k.当 N n 是整数时,k= N n ; 当N n 不是整数时, 通过从总体中剔除 一些个体使剩下的总体中的个体数N 能被n整除, 这时 k= N n , 并将剩下的总体重新编号. ( 3)在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号l. ( 4)按照事先确定的规则( 常将l加上间隔k) 抽取样 本: l,l+k,l+2k,l+(n-1)k. 3 .分层抽样 一般步骤: ( 1)分层: 将总体按某种特征分成若干部分; ( 2)确定比例: 计算各层的个体数与总体的个体数的比; ( 3)确定各层应抽取的样本容量; ( 4)在每一层进行抽样( 各层分别按简单随机抽样或系 统抽样的方法抽取) , 综合每层抽样, 组成样本. ( 三)三种抽样方法对照表 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随 机抽样 系统抽样 分层抽样 抽 样 过 程 中 每 个 个 体 被 抽 取 的 概 率 是 相 同 的 从总体中逐个 抽取 总体中的 个体数较 少 将总体均分成 几个部分, 按事 先确定的规则 在各部分抽取 在第一部分抽样 时采用简单随机 抽样 总体中的 个 体 数 较多 将总体分成几 层,分 层 进 行 抽取 各层抽样时采 用简单随机抽 样或系统抽样 总体由差 异明显的 几 部 分 组成 二、总体分布的估计 1 .频率分布表 2 .频率分布直方图 作频率分布直方图的方法: 把横轴分成若干段, 每一线段对应一个组的组距; 然后以此线段为底作一矩形, 它的高等于该组的频 率 / 组距; 这样得出一系列的矩形, 每个矩形的面积恰好是该 组上的频率, 这些矩形就构成了频率分布直方图. 3 .频率分布折线图 在频率分布直方图中, 取相邻矩形上底边的中点顺次连 接起来, 就得到频率分布折线图( 简称频率折线图).( 注: 取 值区间两端点需分别向外延伸半个组距, 并取此组距上在x 轴上的点与折线的首尾分别相连) 4 .密度曲线 如果样本容量取得足够大, 分组的组距取得足够小, 则 相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线, 称这条光滑的曲 线为总体的密度曲线. 5 .茎叶图 一般地, 当数据是一位和两位有效数字时, 用中间的数 字表示十位数, 即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数, 即第二个有效数字, 它的中间部分像植物的茎, 两边部分像 植物茎上长出来的叶子, 因此通常把这样的图叫做茎叶图. 茎按从小到大的顺序从上向下列出, 共茎的叶一般按从大到 小( 或从小到大) 的顺序同行列出. 需要注意的是: ( 1)茎叶图只便于表示两位( 或一位) 有效数字的数据, 对位数多的数据不太容易操作; ( 2)茎叶图对重复出现的数据要重复记录, 不能遗漏. 三、总体特征数的估计 1 .平均数: a1+a2+an n 叫做n个数据a1,a2,an 的平均数或均值. 2 .极差: 一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 3 .方差和标准差: 一般地, 设一组样本数据x1,x2,xn, 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 1 4 其平均数为x, 则称s 2 = 1 n n i= 1 ( xi-x) 2为这个样本的 方差, 其算术平方根s= 1 n n i= 1 ( xi-x) 2 为样本的标 准差, 分别简称样本方差、 样本标准差. 方差的另外几种形式: ( 1)s 2 = 1 n ( x1-x) 2+( x2-x) 2+( xn-x) 2 ; ( 2)s 2 = 1 n x 2 1+x 2 2+x 2 n-n(x) 2 = 1 n n i= 1 x 2 i-x 2; ( 3)s 2=1 n x 2 1+x 2 2+x 2 n-n(x ) 2 ( x 1=x1- a,x 2=x2-a,x n=xn-a). 方差的运算性质: 设一组样本数据x1,x2,xn, 其平均数为x, 方差为 s 2, 标准差为s, 则新数据a x 1+b,a x2+b,a xn+b 的平均数为ax+b, 方差为a 2 s 2, 标准差为 |a|s. 1 .某影院有5 0排座位, 每排有6 0个座位.一次报告会上坐 满了听众, 会后留下座号为1 8的听众5 0人进行座谈, 这 是运用了系统抽样. 2 .某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为12 0 0辆、60 0 0 辆和2 0 0 0辆, 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样 的方法抽取4 6辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽 取 6 辆、 3 0 辆、 1 0 辆. 3 .一个容量为n的样本, 分成若干组, 已知某组的频数和频 率分别为6 0,0 . 2 5, 则n的值是2 4 0 . 4 .抽样统计甲、 乙两位射击运动员的5次训练成绩( 单位: 环) , 结果如下: 运动员第1次第2次第3次第4次第5次 甲 8 79 19 08 99 3 乙 8 99 09 18 89 2 则成绩较为稳定( 方差较小) 的那位运动员成绩的方差为 2 . 1 .用三种抽样方法抽样 例1 某批零件共1 6 0个, 其中, 一级品4 8个, 二级品6 4个, 三级品3 2个, 等外品1 6个.从中抽取一个容量为2 0的 样本.请说明分别用简单随机抽样、 系统抽样和分层抽 样法抽取时总体中的每个个体被抽取到的概率均相同. 点拨 理解并掌握三种抽样方法及其步骤. 解 (1)简单随机抽样法: 可采取抽签法, 将1 6 0个零件按 1 1 6 0编号, 相应地制作11 6 0号的1 6 0个签, 从 中随机抽2 0个.显然每个个体被抽到的概率为 2 0 1 6 0= 1 8. ( 2)系统抽样法: 将1 6 0个零件从1至1 6 0编上号, 按编 号顺序分成2 0组, 每组8个; 然后在第1组用抽签 法随机抽取一个号码, 如它是第k号( 1k 8) , 则在其余组中分别抽取第k+ 8n( n=1,2,3, , 1 9) 号, 此时每个个体被抽到的概率为1 8. ( 3)分层抽样法: 按比例 2 0 1 6 0= 1 8, 分别在一级品、 二级 品、 三级品、 等外品中抽取4 8 1 8 =6个, 6 4 1 8 = 8个, 3 2 1 8 =4个, 1 6 1 8 =2个, 每个个 体被抽到的概率分别为6 4 8 , 8 6 4 , 4 3 2 , 2 1 6 , 即都是1 8. 综上可知, 无论采取哪种抽样, 总体的每个个体被抽到 的概率都是1 8. 反思 三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率 相同, 这样, 样本的抽取体现了公平性和客观性. 2 .用样本分布估计总体分布 例2 考察某校高三年级男生的身高, 随机抽取4 0名高三男 生, 实测身高数据( 单位: c m) 如下: 1 7 11 6 31 6 31 6 91 6 61 6 81 6 81 6 01 6 81 6 5 1 7 11 6 91 6 71 5 91 5 11 6 81 7 01 6 01 6 81 7 4 1 6 51 6 81 7 41 6 11 6 71 5 61 5 71 6 41 6 91 8 0 1 7 61 5 71 6 21 6 61 5 81 6 41 6 31 6 31 6 71 6 1 ( 1)列频率分布表; ( 2)画出频率分布直方图; ( 3)估计身高不大于1 6 0 c m的概率. 点拨 分析数据确定分组的组数, 一般分为5 1 2组. 解 (1)最低身高1 5 1 c m, 最高身高1 8 0 c m, 确定组距为3, 列频率分布表如下: 身高(c m) 频数频率(%) 1 5 0 . 5 1 5 3 . 5 12 . 5 1 5 3 . 5 1 5 6 . 5 12 . 5 1 5 6 . 5 1 5 9 . 5 41 0 . 0 1 5 9 . 5 1 6 2 . 5 51 2 . 5 1 6 2 . 5 1 6 5 . 5 82 0 . 0 1 6 5 . 5 1 6 8 . 5 1 12 7 . 5 1 6 8 . 5 1 7 1 . 5 61 5 . 0 1 7 1 . 5 1 7 4 . 5 25 . 0 1 7 4 . 5 1 7 7 . 5 12 . 5 1 7 7 . 5 1 8 0 . 5 12 . 5 合计 4 01 0 0 ( 2)作频率分布直方图如下: 第十章 算法、 统计与概率 2 1 5 ( 3)身高不大于1 6 0 c m的概率约为0 . 1 5 . 反思 掌握列频率分布表及画频率分布直方图的一般步骤, 注意频率分布直方图的各个小矩形的面积表示所在 数据区间上的频率, 所以纵坐标表示频率 / 组距. 3 .总体特征数的估计 例3 对甲、 乙的学习成绩进行抽样分析, 各抽5门功课, 得 到的观测值如下( 单位: 分) : 甲 6 08 07 09 07 0 乙 8 06 07 08 07 5 问: 甲、 乙谁的平均成绩更好? 谁的各门功课发展较 平衡? 点拨 各门功课发展平衡程度由方差的大小衡量. 解 x甲= 1 5( 6 0+8 0+7 0+9 0+7 0)=7 4, x乙= 1 5( 8 0+6 0+7 0+8 0+7 5)=7 3, s 2 甲= 1 5( 1 4 2+62+42+1 62+42) =1 0 4, s 2 乙= 1 5( 7 2+1 32+32+72+22) =5 6 . x甲x乙,s 2 甲s 2 乙, 甲的平均成绩较好, 乙的各门功课发展较平衡. 反思 样本平均数反映了数据的平均水平, 而样本方差反映 了数据的稳定程度. 拓展 某学校举行演讲比赛, 选出了1 0名同学担任评委, 并 事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每 个演讲者的最后得分( 满分为1 0分) : 方案1 所有评委所给分的平均数. 方案2 在所有评委所给分中, 去掉一个最高分和一 个最低分, 然后再计算其余给分的平均数. 方案3 所有评委所给分的中位数. 方案4 所有评委所给分的众数. 为了探究上述方案的合理性, 先对某个同学的演讲 成绩进行了统计实验.下面是这个同学的得分统 计图: ( 拓展) ( 1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后 得分; ( 2)根据(1) 中的结果, 请用统计的知识说明哪些方案 不适合作为这个同学演讲的最后得分. 点拨 从得分统计图可知, 得8分与8 . 4分人数各3个, 其 他只有1个. 解 (1)方案1最后得分:1 1 0 ( 3 . 2+7 . 0+7 . 8+38+3 8 . 4+9 . 8)=7 . 7( 分) ; 方案2最后得分:1 8( 7 . 0+7 . 8+38+38 . 4)= 8( 分) ; 方案3最后得分:8( 分) ; 方案4最后得分:8( 分) 或8 . 4( 分). ( 2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响, 不能反 映这组数据的“ 平均水平” , 所以方案1不适合作为 最后得分的方案. 因为方案4中的众数有两个, 众数失去了实际意 义, 所以方案4不适合作为最后得分的方案. 反思 掌握众数、 中位数、 平均数的含义. 4 .图形信息题 例4 为了了解小学生的体能情况, 抽取了某小学同年级部 分学生进行跳绳测试, 将所得的数据整理后画出频率 分布直方图( 如图).已知图中从左到右的前三个小组 的频率分别是0 . 1,0 .