数学终极压轴 理四川卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 绝密启用前 KS5U2011 年高考终极压轴四川卷年高考终极压轴四川卷 数学（理工农医类）数学（理工农医类） 本试卷分选择题和非选择题两部分。第卷（选择题）l 至 2 页，第卷（非选择题）3 至 l 页，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5考试结束后，只将答题卡交回。 第卷（选择题，共 60 分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 )()()(BPAPBAP 2 4 RS 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 )()()(BPAPBAP 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p， 3 3 4 RV 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 ), 2 . 1 , 0()1 ()(nkppCkP knnk nn 其中R表示球的半径 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)： (1)已知i为虚数单位，则复数 2 i i (A)1 (B)i (C)i (D)1 (2)已知向量) 1 , 3(a，), 2(b，若ba/，则实数的值为 (A) 3 2 (B) 3 2 (C) 2 3 (D) 2 3 (3)在等比数列 n a中，若 3 753 )3(aaa，则 82 aa( ) (A)3 (B)3 (C)9 (D)9 (4)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是 ( ) (A)y=cos2x (B)y=2cos2x (C)y=1+sin(2x+ 4 ) (D)y=2sin2x 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 (5)设 a=log32，b=ln2，c= 2 1 5 ，则( ) (A)abc (B)bca (C)cab (D)cba (6)若 0 ( ) x D x x 为有理数 1为无理数 ，则( )D D x= （ ） A0 B1 C 1 2 D任意实数 (7)某出租车公司计划用 450 万元购买 A 型和 B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过 50 辆， 其中购买 A 型汽车需 13 万元辆，购买 B 型汽车需 8 万元辆假设公司第一年 A 型汽车的 纯利润为 2 万元辆，B 型汽车的纯利润为 1.5 万元辆，为使该公司第一年纯利润最大，则 需安排购买 ( ) (A)8 辆 A 型出租车，42 辆 B 型出租车 (B)9 辆 A 型出租车，41 辆 B 型出租车 (C)11 辆 A 型出租车，39 辆 B 型出租车 (D)10 辆 A 型出租车，40 辆 B 型出租车 (8)已知 10 10 2 210 52 )2(xaxaxaaxx，则 9210 aaaa的值为( ) (A)33 (B) 32 (C) 31 (D) 30 (9)将方程为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中 标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 (10)在四面体 ABCD 中，AB=1，AD=23，BC=3，CD=2，ABC=DCB= 2 ，则二面角 ABCD 的大小为( ) (A) 6 (B) 3 (C) 2 3 (D) 5 6 (11)若a是实常数，函数( )f x对于任何的非零实数x都有 1 ( )( )1,(1)1faf xxf x 且， 则不等式( )0f xx的解集为 （ ） A 1 (,(0,1 5 B 1 (,1,) 5 C 1 ,0(0,1 5 D 1 ,0)1,) 5 (12)如图，ABC外接圆半径 14 3 ,120 ,10 3 RABCBC， 弦 BC 在x轴上且 y 轴垂直平 分边 BC。则过点A且以B ， C为焦点的双曲线的方程为 （ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 A 22 1 169 xy B 22 1 916 xy C 22 1 10075 xy D 22 1 75100 xy 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分答案填在答题卡上 (13)设 5 3 cossin，则2sin_ (14)在底面边长为 2 的正四棱锥ABCDP 中，若侧棱PA与底面 ABCD所 成 的 角 大 小 为 4 ， 则 此 正 四 棱 锥 的 斜 高 长 为 _ (15) x2x3 xx2x4 lim 2 23 0 x = 。 (16)已知圆的方程为 x2+y26x8y=0， 设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短 弦分别为 AB 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数mxxxxf2cos) 6 cos(sin2)( (I)求函数)(xf的最小正周期； ()当 4 , 4 x时，函数)(xf的最小值为3，求实数m的值 (18)（本小题满分 12 分） 如图，边长为 1 的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且CDAB/， ABBC ，1BC，2CD，E、F分别是线段SD、CD的中点 (I)求证：平面/AEF平面SBC； ()求二面角FACS的大小 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 (19)（本小题满分 12 分） 某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关” 两关，每个团队共两人，每人各冲一关， “常识关”中有 2 道不同必答题， “创新关”中有 3 道不同必答题；如果“常识关”中的 2 道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项 奖励 900 元，否则无奖励；如果“创新关”中的 3 道题至少有 2 道题答对，则冲“创新关” 成功且该团队获得单项奖励 1800 元，否则无奖励现某团队中甲冲击“常识关” ，乙冲击“创 新关” ，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为 3 2 ，乙回答“创新关”中每道题正确 的概率都为 2 1 ，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立 (I)求此冲关团队在这 5 道必答题中只有 2 道回答正确且没有获得任何奖励的概率； ()记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量，求的分布列和数学期望E (20)（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxx （I）求 ( )f x 的单调区间； （）若关于x的方程 2 ( )22f xxxa 的区间 1 ,e e 上有两个相异实根，求实数a的取 值范围（e是自然对数的底数） 。 (21)（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右准线 1 4 : 3 lx ， 右焦点F到短轴一个端点的距离为 2， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 过动点 A（4，m）引椭圆的两条切线AP、AQ，切点分别为 P、Q （I）求椭圆的方程； （）求证：直线 PQ过定点，并求出定点的坐标； （）要使 | APQ S PQ 最小，求 AQ AP 的值 (22)（本小题满分 14 分） 记 in i ib in 1 log 2 1 )( 2 ，其中niNni*,，如 31 3 2log 2 1 3)( 3 . n bn， 令 nnnnnn bbbbS)(.)()()( 321 (I)求 nnn bb)()( 1 的值； ()求 n S的表达式； ()已知数列 n a满足1 nn aS，设数列 n a的前n项和为 n T，若对一切*Nn，不等式 ) 2 3 (11 )2)(1( 311 2 n T nn n 恒成立，求实数的最大值 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 绝密启用前 秘密启用后 KS5U2011 年高考终极压轴四川卷年高考终极压轴四川卷 数学（理工农医类）参考答案数学（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B C D A C A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 13 16 25 143 15 0.5 16206 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分 17.(I)mxxxxf2cos) 6 cos(sin2)( mxxxx2cos)sin 2 1 cos 2 3 (sin2 1 分 mxxxx2cossincossin3 2 mx x x . 2cos 2 )2cos1 ( 2sin 2 3 3 分 mxmxx 2 1 ) 6 2sin( 2 1 2cos 2 1 2sin 2 3 )(xf的最小正周期 2 2 T 6 分 ()当 4 , 4 x， 即 44 x时， 有 2 2 2 x， 36 2 3 2 x 8 分 2 3 ) 3 2sin(1 x 10 分 得到)(.xf的最小值为m 2 1 1由已知，有3 2 1 1m 2 3 m， 12 分 18.解： （）F分别是CD的中点，1 2 1 CDFC又1AB，所以ABFC ABFC /，2 分 四边形ABCF是平行四边形 1 / BCAFE是SD的中点，SCEF /.3 分 又FEFAF，CSCBC，平面/AEF平面 .SBC5 分 ()取AB的中点O，连接SO，则在正SAB中， ABSO ，又平面SAB平面ABCD，AB平面 SAB平面ABCD， SO平面ABCD. 6 分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyzO. 则有)0 , 2 1 , 0(A，)0 , 2 1 , 1 (C，) 2 3 , 0 , 0(S，)0 , 2 1 , 1 (F， )0 , 1 , 1 (AC，) 2 3 , 2 1 , 0(AS 7 分 设平面SAC的法向量为),(zyxm ， 由 0 2 3 2 1 0 0 0 zy yx mAS mAC 取 3 1 , 1, 1zyx，得) 3 1 1, 1 ( , m9 分 平面FAC的法向量为) 1 , 0 , 0(n. 10 分 7 7 3 1 11 3 1 | ,cos nm nm nm 11 分 而二面角FACS的大小为钝角， 二面角FACS的大小为 7 7 cosarc 12 分 19.解： (I)记 “此冲关团队在这 5 道必答题中只有 2 道回答正确且没有获得任何奖励” 为事件 E， 事件 E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确 6 1 ) 2 1 ( 2 1 3 1 3 2 )( 21 3 1 2 CCEP 6 分 ()随机变量取值为：0、900、1800、2700 18 5 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 () 3 2 (1 )0( 21 3 32 CP； 7 分 9 2 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 () 3 2 ()900( 21 3 32 CP； 8 分 18 5 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( 3 2 3 1 ) 3 1 ()1800( 22 3 31 2 2 CCP； 9 分 9 2 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 3 2 ()2700( 22 3 32 CP 10 分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 的分布 1300 9 2 2700 18 5 1800 9 2 900 18 5 0F. 12 分 20.解： （I）定义域为 2 (0,),( )2fxx x 1x 时， ( )0;01fxx 时， ( )0fx 故f(x)的单调递增区间是(1, ) ，单调递减区间是(0,1) （） 22 x2lnxx2x2a 即：x lnxa0 令g(x) xlnxa 1 ( )1g x x 所以 1 1,( )0,1,( )0 xg xxe g x e ( )g x 在 1 ,1 e 单调递减，在1, e 上单调递增 2 ( )22f xxxa 在 1 , e e 上有两个相异实根 11 ( )01 1 (1)01(1,1 ( )01 ga ee gaa e g eae 2 4 2,3 3 a ac c 21 解： （I）由题意知： 222 1bac 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （）设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 切线AO的方程为： 1 1 1 4 x x y y 0 900 1800 2700 P 18 5 18 9 2 18 5 9 2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 又由于A点在AP上，则 11 1xmy 同理： 22 1xmy 则直线PQ的方程： 1xmy 则直线过定点（1，0） （） APQ S PQ 就是 A 到直线 PQ 的距离 d 的 1 2 2 2 22 |3|2 12 2 11 m dm mm 2 m =1取得等号 APQ S PQ 的最小值是 2 2 23 1 ( ) 111 3 , 1 2 1 1315 21 3 aa 22.解：() ) 1 2log 2 1 () 1