数学 最新3类编 17 导函数的应用 文pdf

数书九章 数书九章 由中国南宋数学家秦九韶所撰全书共列算题 道, 分为九类, 每类九个问题主要内容如下: 一、 大 衍类: 一次同余式组解法二、 天时类: 历法计算、 降水量三、 田域类: 土地面积四、 测望类: 勾股、 重差五、 赋役类: 均输、 税收 六、 钱谷类: 粮谷转运、 仓窖容积七、 营建类: 建筑、 施工八、 军旅类: 营盘布置、 军需供应九、 市物类: 交易、 利息全书以问题 集的形式来表达 第 十 七 章 导函数的应用 一、选择题 ( 重庆文)设函数f(x) 在R上可导, 其导函数为 f ( x) , 且函数f(x) 在x处取得极小值, 则函数yx f (x) 的图象可能是( ) ( 浙江文 )设a,b,e是自然对数的底数 ( ) A 若e a ae b b, 则ab B 若e a ae b b, 则ab C 若e a ae b b, 则ab D 若e a ae b b, 则ab ( 陕西文)设函数f(x) x l nx, 则( ) A x 为f(x) 的极大值点 B x 为f(x) 的极小值点 C x为f(x) 的极大值点 D x为f(x) 的极小值点 ( 辽宁文)函数y x l n x的单调递减区间 为( ) A (,B (, C ,)D (,) ( 福建文 )已知f(x)x x xa b c,ab c, 且f(a)f(b)f(c)现给出如下结论:f()f() ;f()f();f()f();f()f()其中正确 结论的序号是( ) A B C D ( 辽宁文 )已知P、Q为抛物线x y上两点, 点P、Q的横坐标分别为, 过点P、Q分别作抛物线的切线, 两切线交于点A, 则点A的纵坐标为( ) A B 最新年高考试题分类解析数学 破译希特勒密码 二战中, 希特勒挖空心思地设计了融数学、 物理、 语言、 历史、 国际象棋原理、 纵横填字游戏等为一体的依尼 格码, 还称之为“ 神都没办法破译的世界第一密码” 年, 丘吉尔在布莱特彻利公园里秘密地建立“X站” , 调集一大批专长 于数学、 埃及学、 英语语言学、 德语语言学以及国际象棋冠军、 纵横填字游戏能手等科学怪才来此, 同希特勒玩起了密码游戏 在X站工作过的人数以万计, 但纳粹对此一直蒙在鼓里 C D ( 山东文)曲线yx 在点P( , ) 处的切 线与y轴交点的纵坐标是( ) AB C D ( 江西文)曲线ye x 在点A(,) 处的切线斜率 为( ) A B C eD e ( 安 徽 文 )函数f(x)a x n( x) 在 区 间 , 上的图象如图所示, 则n可能是( ) ( 第题) A B C D ( 全国新课标文)已知直线l过抛物线C的焦 点, 且与C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|A B| ,P 为C的准线上一点, 则A B P的面积为( ) A B C D ( 重庆文)曲线yx x 在点(, ) 处的 切线方程为( ) AyxByx CyxDyx ( 湖 南 文)曲 线y s i nx s i nxc o sx 在 点 M , ()处的切线的斜率为( ) A B C D ( 全国文)若曲线yx a x b在点(,b) 处 的切线方程是xy, 则( ) Aa,bBa,b Ca,bDa,b ( 山东文 )观察(x ) x, (x ) x , ( c o sx) s i nx, 由 归 纳 推 理 可 得: 若 定 义 在R上 的 函 数f(x) 满 足 f(x)f(x) , 记g(x)为f(x)的 导 函 数, 则g(x)等 于( ) Af(x)Bf(x) Cg(x)Dg(x) 二、填空题 ( 全国新课标 文 )曲线yx( l nx) 在 点 ( ,) 处的切线方程为 ( 上海文 )已知函数yf(x) 的图象是折线段 A B C, 其中A(,) ,B , (), C(,) , 函数y x f ( x) (x ) 的图象与x轴围成的图形的面积为 三、解答题 ( 北京文 )已知函数f(x)a x ( a) , g(x)x b x ( ) 若曲线yf(x) 与曲线yg(x) 在它们的交点(,c) 处 具有公共切线, 求a,b的值; ( ) 当a,b时, 若函数f(x)g(x) 在区间k, 上 的最大值为 , 求k的取值范围 ( 江苏 )若函数yf(x) 在xx处取得极大 值或极小值, 则称x为函数yf(x) 的极值点已知a,b是实 数, 和是函数f(x)x a x b x的两个极值点 ( ) 求a和b的值; ( ) 设函数g(x) 的导函数 g (x)f(x), 求g(x) 的极 值点; ( ) 设h(x)f(f(x) )c, 其 中c, , 求 函 数 yh(x) 的零点个数 ( 天津文 )已知函数f(x) x a x a xa,xR, 其中a ( ) 求函数f(x) 的单调区间; ( ) 若函数f(x) 在区间(,) 内恰有两个零点, 求a的取 值范围; ( ) 当a时, 设函数f(x) 在区间t,t 上的最大值为 M(t) , 最小值为m(t) , 记g(t)M(t)m(t) , 求函数g(t) 在区间 , 上的最小值 ( 广东文 )设 a, 集合AxR |x , BxR | x ( a)x a ,DAB ( ) 求集合D( 用区间表示) ; ( ) 求函数f(x)x ( a)x a x在D内的极值点 ( 福建文 )已知函数f(x)a xs i nx ( a R) , 且在, 上的最大值为 ( ) 求函数f(x) 的解析式; ( ) 判断函数f(x) 在(,) 内的零点个数, 并加以证明 ( 四川文 )已知a为正实数,n为自然数, 抛物 线yx a n 与x轴正半轴相交于点A, 设f(n) 为该抛物线 在点A处的切线在y轴上的截距 ( ) 用a和n表示f(n) ; ( ) 求对所有n都有 f(n) f(n) n n成立的a的最小值; ( ) 当a时, 比较 f()f() f()f() f(n)f(n) 与f( )f(n) f()f() 的大小, 并说明理由 ( 湖南文 )已知函数f(x)e xa x, 其中a ( ) 若对一切xR,f(x)恒成立, 求a的取值集合; ( ) 在函 数f(x) 的图 象上 取定 点A(x,f(x) ) ,B(x, f(x) ) (xx) , 记直线A B的斜率为k, 证明: 存在x(x, 第十七章 导函数的应用 电脑游戏解难题( 一) 大多数的电脑都装有扫雷游戏不过, 你想到过吗? 这看似简单的游戏却能帮助数学家们破解 数学领域的一些有趣的难题当然, 数学家们也希望通过这个电脑游戏解决令人困惑已久的数学难题英国伯明翰大 学的数学教授里查凯耶对数学有关的游戏十分感兴趣, 他认为数学与游戏是一对完美的结合玩游戏时, 他会想是 不是有什么有趣的数学问题隐藏其中, 所以他一直在思考能否通过玩电脑游戏来解决数学难题 x) , 使 f ( x)k恒成立 ( 全国新课标文 )设函数f(x)e xa x ( ) 求f(x) 的单调区间; ( ) 若a,k为整数, 且当x时, (xk) f ( x)x , 求k的最大值 ( 重庆文 )已知函数f(x)a x b xc在点x 处取得极值c ( ) 求a,b的值; ( ) 若f(x) 有极大值 , 求f(x) 在, 上的最小值 ( 湖北文 )设函数f(x)a x n( x)b(x ) ,n为正整数,a,b为常数, 曲线yf(x) 在点(,f() ) 处的切 线方程为xy ( ) 求a,b的值; ( ) 求函数f(x) 的最大值; ( ) 证明:f(x) ne ( 安徽文 )设定义在(,) 上的函数f(x) a x a x b(a) ( ) 求f(x) 的最小值; ( ) 若曲线yf(x) 在点(,f() ) 处的切线方程为y x, 求a,b的值 ( 江西文 )已知函数f(x)(a x b xc)e x 在 , 上单调递减且满足f(),f() ( ) 求a的取值范围; ( ) 设g(x)f(x) f ( x) , 求g(x) 在, 上的最大值和 最小值 ( 辽宁文 )设f(x) l nxx, 证明: ( ) 当x时,f(x) ( x) ; ( ) 当x时,f(x) ( x) x ( 浙江文 )已知aR, 函数f(x) x a xa ( ) 求f(x) 的单调区间; ( ) 证明: 当x时,f(x)| a| ( 全国大纲文 )已知函数f(x) x x a x ( ) 讨论f(x) 的单调性; ( ) 设f(x) 有两个极值点x,x, 若过两点(x,f(x) ) , ( x,f(x) ) 的直线l与x轴的交 点 在曲 线yf(x) 上, 求a 的值 ( 山东文 )已知函数f(x) l nxk e x ( k为常 数, e 是自然对数的底数) , 曲线yf(x) 在点(, f() ) 处的切线与x轴平行 ( ) 求k的值; ( ) 求f(x) 的单调区间; ( ) 设g(x)x f (x) , 其中 f ( x) 为f(x) 的导函数证明: 对任意x, g(x)e ( 陕西文 )设函数f(x)x nb x c(nN, b,cR) ( ) 设n,b,c, 证明:f(x) 在区间 , ()内存在 唯一的零点; ( ) 设n为偶数,|f()|,|f()|, 求bc的最小 值和最大值; ( ) 设n, 若对任意x,x, , 有|f(x)f(x)| , 求b的取值范围 ( 湖南文 )设函数f(x)x x al nx(aR) ( ) 讨论函数f(x) 的单调性; ( ) 若f(x) 有两个极值点x,x, 记过点A(x,f(x) ) ,B(x, f(x) ) 的直线斜率为k问: 是否存在a, 使得k a? 若存在, 求出 a的值; 若不存在, 请说明理由 ( 全国新课标文 )已知函数f(x)a l nx x b x , 曲线 yf(x) 在点(,f() ) 处的切线方程为x y ( ) 求a,b的值; ( ) 证明: 当x, 且x时,f(x)l n x x ( 四川文 )已知函数f(x) x ,h( x) x ( ) 设函数F(x) f(x)x h(x) , 求F( x) 的单调区 间与极值; ( ) 设aR, 解 关 于x的 方 程 l g f( x) l gh(ax) l g h(x) ; ( ) 设nN, 证明:f(n)h(n)h()h()h(n) ( 陕西文 )设f(x) l nx,g(x)f(x) f ( x) ( ) 求g(x) 的单调区间和最小值; ( ) 讨论g(x) 与g x ()的大小关系; ( ) 求a的 取 值 范 围, 使 得g(a)g(x) a 对 任 意 x成立 ( 福建文 )已知a,b为常数, 且a, 函数f(x) a xba xl nx,f(e)(e 是 自 然 对 数 的 底数) ( ) 求实数b的值; ( ) 求函数f(x) 的单调区间; ( ) 当a时, 是否同时存在实数m和M(mM) , 使得对 每一个tm,M , 直线yt与曲线yf(x) (x e, e ) 都 有公共点? 若存在, 求出最小的实数m和最大的实数M; 若不存 在, 说明理由 ( 广东 文 )设a, 讨论函数f(x)l nx a(a)x ( a)x的单调性 ( 重庆文 )设f(x)x a xb x的导数 为 f ( x) , 若函数y f (x) 的图象关于直线x 对称, 且 最新年高考试题分类解析数学 电脑游戏解难题( 二) 凯耶教授在玩了几个星期的扫雷游戏后, 逐渐悟出了其中的奥秘目前的扫雷游戏共分为个级别: 初 级、 中级和高级级别越高, 雷区就越大如果继续将级别提高, 雷区扩大, 就会碰到像不能破解数学难题一样的困惑凯耶教授 认为, 扫雷游戏能帮助解决数学界中困惑数学家们长达 年的一道排列组合难题 “P与N P的问题”通过解决这个问题, 就可以得出一个答案 f ( ) ( ) 求实数a,b的值; ( ) 求函数f(x) 的极值 ( 辽宁文 )设函数f(x)xa x bl nx, 曲线y f(x) 过点P(,) , 且在点P处的切斜线率为 ( ) 求a,b的值; ( ) 证明:f(x)x ( 湖北文 )设函数f(x)x a x b xa, g(x)x x, 其中xR,a,b为常数已知曲线yf(x) 与 yg(x) 在点(,) 处有相同的切线l ( ) 求a,b的值, 并写出切线l的方程; ( ) 若方程f(x)g(x)m x有三个互不相同的实根,x, x, 其中xx, 且 对 任 意 的xx,x ,f(x)g(x) m(x) 恒成立, 求实数m的取值范围 ( 浙 江 文 )设 函 数f(x)a l nxx a x, a ( ) 求f(x) 的单调区间; ( ) 求所有实数a, 使e f(x)e 对x,e 恒成立 注: e为自然对数的底数 ( 全国大纲文 )已知函数f(x)x a x ( a)x a(aR) ( ) 证明: 曲线yf(x) 在x处的切线过点(,) ; ( ) 若f(x) 在xx处取得极小值,x(,) , 求a的取值 范围 ( 天津文 )已知函数f(x)x t x t x t,xR, 其中tR ( ) 当t时, 求曲 线yf(x) 在 点(,f() ) 处 的切 线 方程; ( ) 当t时, 求f(x) 的单调区间; ( ) 证明: 对任意的t(,) ,f(x) 在区间(,) 内均存 在零点 ( 全国文 )已知函数f(x) a x ( a )x x ( ) 当a 时, 求f(x) 的极值; ( ) 若f(x) 在(,) 上是增函数, 求a的取值范围 ( 全国文 )已知函数f(x)x a x x ( ) 设a, 求f(x) 的单调区间; ( ) 设f(x) 在区间(,) 中至少有一个极值点, 求a的取值 范围 ( 全国新课标文 )设函数f(x)x(e x) a x ( ) 若a , 求f(x) 的单调区间; ( ) 若当x时,f(x), 求a的取值范围 ( 江西文 )设函数f(x)x ( a)x a x ( ) 若f(x) 的两个极值点为x,x, 且xx, 求实数a 的值; ( ) 是否存在实数a, 使得f(x) 是(,) 上的单调函 数? 若存在, 求出a的值; 若不存在, 说明理由 ( 北京文 )设定函数f(x)a x b x c xd ( a) , 且方程 f ( x)x的两个根分别为, ( ) 当a且曲线yf(x) 过原点时, 求f(x) 的解析式; ( ) 若f(x) 在(,) 无极值点, 求a的取值范围 ( 天津文 )已知函数f(x)a x x ( x R) , 其中a ( ) 若a, 求曲线yf(x) 在点(,f() ) 处的切线方程; ( ) 若在区间 , 上, f(x)恒成立, 求a的取值 范围 ( 安徽文 )设函数f(x)s i nxc o sxx, x , 求函数f(x) 的单调区间与极值 ( 重庆文 )已知函数f(x)a x x b x( 其中 常数a,bR) , g(x)f(x) f ( x) 是奇函数 ( ) 求f(x) 的表达式; ( ) 讨论g(x) 的单调性, 并求g(x) 在区间, 上的最大值 与最小值 ( 湖北文 )设函数f(x) x a x b xc, 其 中a , 曲线yf(x) 在点P(, f() ) 处的切线方程为y ( ) 确定b,c的值; ( ) 设曲线yf(x) 在点(x,f(x) ) 及(x,f(x) ) 处的切 线都过点( ,) , 证明: 当xx时, f ( x) f ( x) ; ( ) 若过点(,) 可作曲线yf(x) 的三条不同切线, 求a的 取值范围 ( 湖南文 )已知函数f(x)a x x(a)l nx a, 其中a, 且a ( ) 讨论函数f(x) 的单调性; ( ) 设函数g(x) ( x a x a x a a)e x, x , ef(x) ,x (e是 自然对数的底数)是否存在a, 使g( x) 在a,a 上为减函数? 若存在, 求a的取值范围; 若不存在, 请说明理由 ( 福建文 )已知函数f(x) x x a xb的 图象在点P(, f() ) 处的切线方程为y x ( ) 求实数a,b的值; ( ) 设g(x)f(x) m x是 ,) 上的增函数 求实数m的最大值; 当m取最大值时, 是否存在点Q, 使得过点Q的直线能与 曲线yg(x) 围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总 相等? 若存在, 求出点Q的坐标; 若不存在, 说明理由 ( 陕西文 )已知函数f(x)x,g(x)al nx, aR ( ) 若曲线yf(x) 与曲线yg(x) 相交, 且在交点处有相 同的切线, 求a的值及该切线的方程; ( ) 设函数h(x)f(x)g(x) , 当h(x) 存在最小值时, 求其 最小值(a) 的解析式; 第十七章 导函数的应用 电脑游戏解难题( 三) 结论: 一些在某一段时间内看似悬而未决的问题就可能用一种相对简单的方法来破解, 如可 以通过计算机来解决凯耶教授认为, 如果能找出最高级扫雷游戏中所有地雷排列组合的规律, 他就能解决“P与 N P问题”剑桥的克雷数学研究院已经提供了 万美元的奖金来奖励能解决这个难题的人这样简单的一个电脑 游戏竟能把我们带来数学界的一个新突破数学问题其实离我们的日常电脑应用并不遥远 ( ) 对() 中的(a) , 证明: 当a(,) 时, ( a) ( 辽 宁 文 )已 知 函 数f(x)(a)l nx a x ( ) 讨论函数f(x) 的单调性; ( ) 设a, 证明: 对任意x,x(,) ,|f(x) f(x)| |xx| ( 浙江文 )已知函数f(x)(xa) ( xb) (a, bR,ab) ( ) 当a,b时, 求曲线yf(x) 在点(,f() ) 处的切 线方程; ( ) 设x,x是f(x) 的两个极值点,x是f(x) 的一个零点, 且xx,xx证明: 存在实数x, 使得x,x,x,x按某种 顺序排列后构成等差数列, 并求x C 【 精析】 特殊化, 取f(x) x x, 则f(x) 在x 处取得最小值, 且yx f (x)x(x)选项C符合题意 故选C A 【 精析】 设ye x x, 则 y e x, 得该函数是 增函数, 若ab, 则e a ae b b,即e b be b b, 即b , 这与b矛盾, 所以ab, 故选A D 【 精析】 f ( x) x x x x , 当x 时, f ( x); 当x时, f ( x), 所以x为f(x) 的极小值点, 故选D B 【 精析】 因为由yx x (x) , 可得x, 所以函数f(x) 的单调减区间为(,故选B C 【 精析】 因为 f ( x)x x(x) (x) , 所以由abc且f(a)f(b)f(c), 得abc又 abc所以f()a b c,f(),f(), 所以 f()f(),f()f()故选C C 【 精析】 y x,kP,kQ, 过点P、Q的切线方程 分别为y(x) 和y(x) , 联立解得y, 故选C C 【 精析】 因为 y x 所以k, 所以切线方 程为y (x)令x, 得y, 故选C A 【 精析】 y e x, ke , 故选 A A 【 精 析 】当n时,f(x)a x(x) a(x x x) , f ( x)a(x x) , 由 f ( x), 得x , x, 由图形可知函数应在, ()上递增, 在 , ()上递 减, 即在x 时取得最大值, 由f ()a () 知a存在故选A C 【 精析】 如图, 设抛物线y p x 的焦点为 p , (), 则由A B交x轴于点F, 得A p , p (), 所以 | A B|p,p 所以SA B P 故选C ( 第 题) A 【 精析】 因为 y x x, 所以k 所以切线方程为y(x) , 即yx故选A B 【 精析】 y c o s x(s i nxc o sx)s i nx(c o sxs i nx) ( s i nxc o sx) s i n x, 所以k s i n 故选B A 【 精析】 y xa,ka, 过点(,b) 的切线方程为y ba(x) , 即a xyb, 所以a,b故选A D 【 精析】 由归纳可得, 偶函数f(x) 的导函数g(x) 是 奇函数, 所以g(x)g(x)故选D yx 【 精析】 y l nx l nx, 所以k l n 所以切线方程为y(x) , 即yx, 故填 yx 【 精 析】 因 为f(x) x,x , (x) , x , 所 以 y x f ( x) x , x , (xx ) , x 所以S x d x (x x ) dx x x x () , 故填 () f ( x)a x, g ( x)x b 因为曲线yf(x) 与曲线yg(x) 在它们的交点(,c) 处具 有公共切线, 所以f()g() , 且 f ( ) g ( ) , 即ab, 且ab 解得a,b ( ) 记h(x)f(x)g(x) , 当a,b时, h(x)x x x, 最新年高考试题分类解析数学 蚂蚁与橡皮绳悖论 “ 蚂蚁与橡皮绳悖论” 是一道让你的直觉经受考验的数学趣题问题是这样的: 一只蚂蚁沿着一条 长 米的橡皮绳以每秒厘米的匀速由一端向另一端爬行每过秒钟, 橡皮绳就拉长 米, 比如 秒后, 橡皮绳 就伸长了 米当然, 这个问题是纯数学化的, 即假定橡皮绳可任意拉长, 并且拉伸是均匀的蚂蚁也会不知疲倦地 一直往前爬, 在绳子均匀拉长时, 蚂蚁的位置理所当然地相应均匀地向前挪动现在要问, 如此下去, 蚂蚁能否最终爬 到橡皮绳的另一端? h (x)x x 令h (x), 得x,x h(x) 与h (x) 在(, 上的情况如下: x (,)(, ) ( ,) h (x) h(x) 由此可知: 当k时, 函数h(x) 在区间k, 上的最大值为h() ; 当k时, 函数h(x) 在区间k, 上的最大值小于 因此, k的取值范围是(, () 由题设知 f ( x)x a xb, 且 f ()a b, f ( )ab, 解得a,b ( ) 由() 知f(x)x x 因为f(x)(x) ( x) , 所以 g ( x)的根为xx ,x , 于是函数g(x) 的极值点只可能是或 当x时, g ( x); 当x时, g ( x), 故是g(x) 的极值点 当x或x时, g ( x), 故不是g(x) 的极值点 所以g(x) 的极值点为 ( ) 令f(x)t, 则h(x)f(t)c先讨论关于x的方程 f(x)d根的情况,d, 当|d|时, 由() 可知, f(x)的两个不同的根为 和, 注意到f(x) 是奇函数, 所以f(x)的两个不同的根为 和 当|d|时, 因为f()df()dd, f() df()dd, 所以,都不是f(x)d的根 由( ) 知 f ( x)(x) (x) 当x(,) 时, f ( x), 于是f(x) 是单调增函数, 从而f(x)f(), 此时f(x)d无实根 同理, f(x)d在(,) 上无实根 当x(,) 时, f ( x), 于是f(x) 是单调增函数, 又 f()d,f()d,yf(x)d的图象不间断, 所以f(x)d在(,) 内有唯一实根 同理, f(x)d在(,) 内有唯一实根 当x(,) 时, f ( x), 故f(x) 是单调减函数, 又 f()d,f()d,yf(x)d的图象不间断, 所以 f(x)d在(,) 内有唯一实根 由上可知: 当|d|时, f(x)d有两个不同的根x,x满 足|x|,|x|; 当|d|时, f(x)d有三个不同的根 x,x,x满足|xi|,i, 现考虑函数yh(x) 的零点 () 当|c|时, f(t)c有两个根t,t满足|t|,|t| , 而f(x)t有三个不同的根,f(x)t有两个不同的根, 故yh(x) 有个零点 () 当|c|时, f(t)c有三个不同的根t,t,t满足 |ti|,i, 而f(x)ti(i,) 有三个不同的根, 故 yh(x) 有个零点 综上可知, 当|c|时, 函数yh(x) 有个零点; 当|c| 时, 函数yh(x) 有个零点 () f ( x)x ( a)xa(x) (xa) 由 f ( x), 得x,xa 当x变化时, f ( x) ,f(x) 的变化情况如下表: x (,) (, a)a ( a,) f ( x) f(x) 极大值 极小值 故函数f(x) 的单调递增区间是(,) , (a,) ; 单调 递减区间是(, a) ( ) 由() 知f(x) 在区间(,) 内单调递增, 在区间 (, ) 内单调递减, 从而函数f(x) 在区间(,) 内恰有两个 零点, 当且仅当 f(), f(), f() 解得a 所以a的取值范围是, () ( )a时,f(x) x x 由( ) 知f(x) 在, 上单调递增, 在, 上单调递 减, 在 , 上单调递增 当t, 时,t, ,t,t ,f(x) 在 t, 上单调递增, 在,t 上单调递减因此,f(x) 在t,t 上的最大值M(t)f() , 而最小值m(t) 为f(t) 与 f(t) 中的较小者由f(t)f(t)(t) (t) 知, 当 t, 时,f(t)f(t) , 故m(t)f(t) , 所以g(t) f()f(t)而f(t) 在, 上单调递增, 因此f(t) f() 所以g(t) 在, 上的最小值为g() () 当t, 时,t, , 且,t,t 下面比较f() , f() ,f(t) ,f(t) 的大小 由f(x) 在, , , 上单调递增, 有 f()f(t)f() , f()f(t)f() 又由f()f() , f()f() , 从而 M(t)f() ,m( t)f() 所以g( t)M(t)m(t) 综上, 函数g( t) 在区间, 上的最小值为 ()xDx且x ( a)xa 第十七章 导函数的应用 动物与数学( 一) 老虎、 狮子是夜行动物, 到了晚上, 光线很弱, 但它们仍然能外出活动捕猎这是什么原因呢? 原来 动物眼球后面的视网膜是由圆柱形或圆锥形的细胞组成的圆柱形细胞适合于弱光下感觉物体, 而圆锥形细胞则适 合于强光下感觉物体在老虎、 狮子一类夜行动物的视网膜中, 圆柱细胞占绝对优势, 到了晚上, 它们的眼睛最亮, 瞪 得最大, 直径能达三四厘米所以, 光线虽弱, 但视物清晰 令h(x)x ( a)xa, (a) a(a) (a) 当 a时, xR,h(x), BR 于是DABA(,) 当a 时, , 此时方程h(x)有唯一解 xx ( a) () B(,)(,) 于是DAB(,)(,) 当a 时, 此时方程h(x)有两个不同的解 xa (a) (a) , xa (a) (a) xx且x, B(,x)(x,) 又 xa, DAB(,x)(x,) ( ) f ( x)x ( a)xa(x) (xa) 当a时, f(x) 在(,) 上的单调性如下: x ( ,a)a ( a,) ( ,) f ( x) f(x) 极大值 极小值 当 a时,D(,) . 由表可得xa为f(x) 在D内的极大值点,x为f(x) 在 D内的极小值点 当a 时,D( ,)(,) 由表可得x 为f(x) 在D内的极大值点 当a 时,D( ,x)(x,) xa (a) (a) a ( a) a ( a(a) ) aa且x a , xa (a) (a) a ( a) ( a) a(a) , aD,D 由表可得xa为f(x) 在D内的极大植点 () 由已知得 f ( x)a(s i nxxc o sx) , 对于任意x , (), 有s i n xxc o sx 当a时, f(x) , 不合题意; 当a,x , ()时, f ( x), 从而f(x) 在, ()内 单调递减 又f(x) 在 , 上 图 象 是 连 续 不 断 的, 故f(x)在 , 上的最大值为f( ) , 不合题意; 当a,x , ()时, f ( x), 从而f(x) 在, ()内 单调递增, 又f(x) 在, 上的图象是连续不断的, 故f( x) 在 , 上最大值为f (), 即f () a , 解得 a 综上所述, 得f(x)xs i nx ( )f(x) 在(,) 内有且只有两个零点 证明如下: 由知, f(x)xs i nx , 从而有f() , f () , 又f(x) 在, 上的图象是连续不断的, 所以f(x) 在, ()内至少存在一个零点 又 由 ()知f( x)在, 上 单 调 递 增, 故f(x)在 , ()内有且仅有一个零点 当x , ()时, 令g( x) f ( x)s i nxxc o sx 由g (), g() , 且g(x) 在 , 上的图