高中数学备课参考数学通报问题解答0102pdf

数学问题解答 2001年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1291 在 ABC中, BC = a , 顶点A在平行于BC且与BC相 距为a的直线上滑动.求 AB AC 的取值范围. (江西永修一中 宋庆 330304) 解 令AC = x , AB = kx( x 0, k 0 ) , 则 a sinA = x sinB ,且sinB = a kx .于是, a2= kx2sinA. 在 ABC中,由余弦定理可得 x2+ k2x2-kx2sinA =2kx2cosA , k + 1 k =sinA +2cosA =5sin (A + arctg2) 5, k + 1 k 5, k2-5k +10, 5-1 2 k 5+1 2 , 5-1 2 AB AC 5+1 2 . 1292 在一凸四边形ABCD中.已知 ABC、 BCD、 CDA、 DAB的内切圆半径相等,求 证:ABCD为一矩形. (安徽省安庆市怀宁江镇中学 黄全福 246142) 证明 Oi( i =1,2,3,4)为四个等圆的圆心, M、N、E、F、P、Q、X、Y皆为切点;过O3作BD的 平行线交射线O1P于K.过O2作AC的平行线交 射线O4Y于Z.作出四边形O1O2O3O4及对角线 O1O3、O2O4. (1)由 O1=O2=O3=O4AB O1O2、BCO2O3、CDO3O4、DAO4O1. (2 ) O 1O2= EF = AB - (AE + BF) = AB - 1 2 (AB + AD - BD + AB + BC - AC) = 1 2 (AC + BD - AD - BC) ; O3O4= MN = CD - ( DM + CN) = CD - 1 2 (AD + DC - AC + BC + CD - BD) = 1 2 (AC + BD - AD - BC) O1O2= O3O4. 同理可证O2O3= O4O1,O1O2O3O4为平行四 边形. (3) PQ = BD - ( BP + DQ) = BD - 1 2 (AB + BD - AD + BD + DC - BC) = 1 2 (AD + BC - AB -CD) ; XY = AC - (AX + CY) = AC - 1 2 (AB + AC - BC + AC + CD - AD) = 1 2 (AD + BC - AB -CD) ; PQ = XYKO3= ZO2 RtO1O3KRtO4O2Z O1O3= O2O4 根据(2)、(3)可断 ?O1O2O3O4为一矩形. 但由(1)知 ABC =O1O2O3=90, BDC =O2O3O4=90, CDA =O3O4O1=90, 四边形ABCD必为一矩形. 1293 若三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径 为r,面积为S ,求证: Rr2 3 9 S (安 徽 省 舒 城 县 杭 埠 中 学 丁 遵 标 231323) 证 设 ABC的三边长分别为a、b、c ,外接 圆半径为R ,内切圆半径为r,面积为S 由S = abc 4R 得 842001年 第2期 数学通报 1 ab + 1 bc + 1 ca = c 4RS + a 4RS + b 4RS = a + b + c 4RS = a + b + c 4R1 2 r( a + b + c) = 1 2Rr (1) 又 S = 1 2 absinC = 1 2 bcsinA = 1 2 casinB 1 ab + 1 bc + 1 ca = sinC +sinA +sinB 2S 又 易证sinA +sinB +sinC3 3 2 1 ab + 1 bc + 1 ca 3 3 4S (2) 把(1)代入(2)得: 1 2Rr 3 3 4S Rr2 3 9 S等号仅当a = b = c时成立. 1294 证明:存在无穷多个这样的数列:数列的各 项都是不同的自然数,且每个数列的前k项之和 能被k整除 ( k = 1,2, ) . (四川越西县越西中学 熊昌进 616650) 证 构造数列 an ,它的通项公式为: an= 2an + b( a、bN) .数列 an就是符合要求的数 列. 首先由an=2an + b所确定的项均是不同的 自然数. 又an=2an + b显然是等差数列, Sn记 an 的前n项和为Sn. 则Sn= n( a1+ an) 2 = n( an + a + b) , 由上式有k | Sk, k =1,2,. 因a , b有无穷多组,故命题得证. 1295 已知x , y , z 0,且满足xyz =1,证明 不等式链: x2 y + z + y2 z + x + z2 x + y 1 2 x2+ y2 x + y + y2+ z2 y + z + z2+ x2 z + x x + y + z 2 3 2 . (湖北省南宫中学 孙志坤 055750) 证明 x3+ y3x2y + xy2 x3+ y3+ x2z + y2zx2y + xy2+ x2z + y2z. 即x2( x + z) + y2( y + z)x2( y + z) + y2 ( z + x) x2 y + z + y2 z + x x2 z + x + y2 y + z 同理 y2 z + x + z2 x + y y2 x + y + z2 z + x z2 x + y + x2 y + z z2 y + z + x2 x + y 以上三式相加可得 x2 y + z + y2 z + x + z2 x + y 1 2 x2+ y2 x + y + y2+ z2 y + z + z2+ x2 z + x 而 x2+ y2 2 x + y 2 2 x2+ y2 x + y x + y 2 同理 y2+ z2 y + z y + z 2 z2+ x2 z + x z + x 2 再将以上三式相加可得 1 2 x2+ y2 x + y + y2+ z2 y + z + z2+ x2 z + x x + y + z 2 3 2 3 xyz = 3 2 因此不等式链成立. 附:问题的由来. 笔者对本人提供的数学通报1999年7月号问 题1201题: 已知x , y , z都是正实数,且满足xyz = 1.求证: x2 y + z + y2 z + x + z2 x + y 3 2 作深入细致研究,从不同角度证明此问题,从 中得到其加强,就是今所提供的问题. 2001年2月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1296 AC是 ?ABCD较长的一条对角线, O为 ?ABCD内一点, OEAB于E, OFAD于F, OGAC于G,求证:AEAB + AFAD = AG AC. (江 苏 如 皋 市 教 师 进 修 学 校 徐 道 226500) 1297 钝角 ABC中,A为钝角, ha为边a上的 高,BC = a , CA = b,AB = c ,求证:a + ha b + c 权威杰作 针对二轮 画龙点睛 考前升华 考前升华征订单 全书主编明知白,此套书共五本:语文分册、数学分册、英语分册、物理分册、化学分册,主编 分别为曹阳、明知白、何国贵、洪安生、冬镜寰. 每册由“专题讲座”与“高考模拟试卷”两大部分组成.讲座部分以最新考试说明为依据, 在“考纲要求” 、 “总结规律” 、 “知能要点” 、 “方法提炼”等方面,予以深入浅出的讲解与透析,切实 起到画龙点睛,实现升华的作用.每分册中的三套模拟试卷参照高考出题的题量及题型结构、结合作 者多年经验、历届考题分析及对考试说明与有关最新信息的参悟,在“透析”及“分析预测”的 基础上,精心编写而成,是高考前复习的重要参考资料.全书五册75万字, 16开本,总定价60元, 单册定价12元,由中国致公出版社出版. 1110本以内,免收邮费 2110本200本八0折优惠; 201 - 400本七0折优惠; 400册以上,六五折优惠. 单位:北京信达缘信息咨询有限公司 开户银行:北京海淀区农行白石桥分理处魏分 银行账号: 8215147 - 2011 - 41790 联系电话: (010) 68936208 ,手机:或汇款至北师大数学通报编辑部 数学通报2000年合订本,每册定价45元,欲购者请汇款至数学通报编辑部. 更正2000年12期封二1对50年前的片废回忆应改为对50年前的片段回忆 第2页左栏第19行 两滚不同概念改为 两个不同概念 (重庆市武隆县中学 李来敏 408500) 1298 A , B , C是 ABC三个内角, R , r分别表示 ABC的外接圆半径和内切圆半径,求证 sinBsinC +2cos B 2 cos C 2 2+ r 2R ; cosBcosC +2sin B 2 sin C 2 1- r 2R 西藏自治区党委组织部 刘保乾 850000 江苏吴县市外贸公司 褚小光 215128 1299 在 ABC中,对 1,求证 tg A +2tg B 2 +3tg C 3 6tg 6 (当且仅当A = 6 , B = 3 时等号成立) (四川省富顺高级中学 李显权 643000) 1300 设a , b , c , dR ,且a + b + c + d =2, ab + ac + ad + bc + bd + cd = - 8 3 ,求b + c + d的 最大值和最小值. (湖南省吉首大学数学与计算机科学系 彭 明海 416000) 数学通报(月刊) 2001年第2期 电话62207753 62207741 传真6