2013年重庆高考数学文科试卷带详解

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个 备选项中，只有一个选项是符合题目要求的备选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1已知集合，集合，则 1,2,3,4U =1,2A=2,3B() U AB （ ） A. B. C. D.1,3,43,434 【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的表达（列举法） ，求集合的并集与补集. 【参考答案】D 【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解. 1,2 ,2,3 ,1,2,3 , ()4 U ABAB AB 2命题“对任意，都有”的否定为 （ xR 2 0 x ） A.对任意，都有 B.不存在，都有xR 2 0 x xR 2 0 x C.存在，使得 D.存在，使得 0 x R 2 0 0 x 0 x R 2 0 0 x 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定. 【参考答案】D 【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出 故“对任意，都有”的否定 , ( ),( ),xM p xxMp x 的否定是xR 2 0 x 是“存在，使得” 0 x R 2 0 0 x 3函数的定义域为 （ 2 1 log (2) y x ） A. B. C. D.(,2)(2,)(2,3)(3,)(2,4)(4,) 【测量目标】函数的定义域. 【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域. 【参考答案】C 【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解. 故选 C 2 log (2)0, 20, x x 23,xx得且 4设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小P 22 (3)(1)4xyQ3x PQ 值为 （ ） A.6 B.4 C.3 D.2 【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题. 【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离. 【参考答案】B 【试题解析】圆心与定直线的最短距离为，又圆(3, 1)M3x 3( 3)6MQ 的半径为 2，故所求最短距离为 62=4. 5执行如题 5 图所示的程序框图，则输出的的值是 （ ）k A.3 B.4 C.5 D.6 【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置， 以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环 的值，输出.kk 【参考答案】C 【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解. 第 5 题图 222 22 1,1 01;2,1 12;3,226 4,6315;5,1543115,5 ksksks ksksk 故输出 6下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区 间22,30）内的概率为 （ ） A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【测试目标】茎叶图. 【考查方式】题给出茎叶图，直接求解. 【参考答案】B 【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这 10 个数据落在区间 内的有 22,22,27,29 四个，所以频率为 0.422,30 7关于的不等式（）的解集为，且：，则x 22 280 xaxa0a 12 ( ,)x x 21 15xx a （ ） A. B. C. D. 5 2 7 2 15 4 15 2 【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】给出不等式，给出两解集的范围差，利用因式分解求不等式中的未知数. 【参考答案】利用因式分解法解一元二次不等式寻求 a 的关系式后，带入求解. 即，故原不等 22 280(0)(2 )(4 )0(0),xaxaaxa xaa24axa 式的解集为， ( 2 ,4 )aa （步骤 2） 21 5 154( 2 )15,615, 2 xxaaaa 8某几何体的三视图如题 8 所示，则该几何体的表面积为 （ ） A. B. C. D.180200220240 【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出几何体的三视图，直接求几何体的表面积. 【参考答案】D 【试题分析】利用三试图还原几何体，结合直观图直接运算求解.由三视图知识知该几 何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为 2，下底长为 8，高为 4，腰长为 5，直四棱柱的高为 10，所以 1 =82) 4 240 2 S 底 （， =10 8+10 2+2 10 5=200=40+200=240SS 侧表 ， 9已知函数，则 （ 3 ( )sin4( ,)f xaxbxa bR 2 (lg(log 10)5f(lg(lg2)f ） A. B. C. D.5134 【测量目标】对数函数性质、函数的奇偶性综合运用. 【考查方式】给定函数式，给定某个函数值，用函数的奇偶性与对数的性质去求另一 个函数值. 【参考答案】C 【试题分析】运用奇函数的性质，整体换元求解. 因为互为倒数，与互为相反数， （步骤 210 log 10lg2(log2)与即 2 lg(log 10)lg(lg2) 1） 不妨令 33 2 lg(log 10),lg(lg2),( )()(sin4)()sin()48xxf xfxaxbxaxbx 故（步骤 2）()8( )853fxf x 10设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线COO60 和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线 11 AB 22 A B 1122 ABA B 1 A 1 B 2 A 2 B 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 C （ ） A. B. C. D. 2 3 (,2 3 2 3 ,2) 3 2 3 (,) 3 2 3 ,) 3 【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系. 【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围，求取离心率. 【参考答案】A 【试题分析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于 x 轴（或 y 轴）对 称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是 大于且小于等于，即 3060 2 2 1 tan30tan60 ,3. 3 bb aa 2 222 2 42 3 ( )1,4,2. 33 cb eee aa 又 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，考生作答小题，考生作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分把答分把答 案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上 11已知复数（ 是虚数单位） ，则 12iz iz 【测量目标】复数的模. 【考查方式】给出复数的方程式，直接求解复数的模. 【参考答案】5 【试题分析】利用求模公式直接求解. 22 12i,125zz 12若 2、9 成等差数列，则 abcca 【测量目标】等差数列的通项公式. 【考查方式】题给此数列为等差数列，求出公差，再进行求解数列中两项的差值. 【参考答案】 7 2 【试题分析】利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解. 由题意得该等差数列的公差， 927 5 14 d 所以 7 2 2 cad 13若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 【测量目标】古典概型. 【考查方式】三个人随机站一排，把两人放在一起去求概率. 【参考答案】 2 3 【试题分析】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果， 然后将两结果数相除可得. 甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙） 、 （甲丙乙） 、 （乙甲丙） 、 （乙丙甲） 、 （丙甲乙） 、 （丙乙甲）共 6 种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙） 、 （乙甲丙） 、 （丙甲乙） 、 （丙乙甲）共 4 种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为 42 63 14为边，为对角线的矩形中，则实数 OAOB( 3,1)OA ( 2, )OBk k 【测量目标】向量坐标形式的加减运算及数量积运算. 【考查方式】平面向量的坐标运算，其未知数.k 【参考答案】4 【试题分析】画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解. 如图所示，由于所以( 3,1),( 2, ),OAOBk （步骤 1）(1,1),ABOBOAk 在矩形中，由所以0,OAABOA AB A得( 3,1) (1,1)0,3 1 1 (1)0kk A即 解得（步骤 2）4k 15设，不等式对恒成立，则的取值范0 2 8(8sin)cos20 xxxR 围为 【测量目标】一元二次不等式. 【考查方式】限定的大范围，带入不等式中求解出的范围. 【参考答案】 5 0, 66 【试题分析】根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接R(0) 运算求解 由题意，要使对恒成立 2 8(8sin)cos20 xxxR 需化简得， （步骤 1） 2 =64sin32cos0， 1 cos2. 2 0又 或解得或（步骤 2） 02 3 5 22, 3 0 6 5 6 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 16 （本小题满分 13 分， （1）小问 7 分， （2）小问 6 分） 设数列满足：， n a 1 1a 1 3 nn aa n N （1）求的通项公式及前项和； n an n S （2）已知是等差数列，为前项和，且，求 n b n Tn 12 ba 3123 baaa 20 T 【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前项和公式.n 【考查方式】给定，与的关系，去求的通项公式及前项和，再根据 1 a n a 1n a n an n S 与的关系，求. n b n a n T 【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前项和公式直接求解.n 解：（1）由题设知是首项为 1，公比为 3 的等比数列， n a .（步骤 1） 1 1 31 3,(31) 1 32 n nn nn aS 12331 (2)3,1 3913,102 ,babbbd 故（步骤 2）5,d 20 20 19 20 351010 2 T 17 （本小题满分 13 分， （1）小问 9 分， （2） 、 （3）小问各 2 分） 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄i i x （单位：千元）的数据资料，算得， i y 10 1 80 i i x 10 1 20 i i y 10 1 184 ii i x y 10 2 1 720 i i x （1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；yxybxa （2）判断变量与之间是正相关还是负相关；xy （3）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 附：线性回归方程中，ybxa 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为xy ybxa 【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题. 【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给 定数据代入线性回归方程求解. 【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解. 解：（1）由题意知（步骤 1） 11 180120 10,8,2 1010 nn ii ii nxxyy nn （步骤 2） 2 22 1 1 720 10 880, 184 10 8 224, n xxi i n xyii i lxnx lx ynxy 又 24 0.3,20.3 80.4, 80 xy xx l baybx l 由此得 故所求线性回归方程为（步骤 3）0.30.4.yx （2）由于变量的值随值的增加而增加，故与之间是正相关.yx(0.30)b xy （步骤 4） （3）将带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）7x 0.3 70.41.7y （步骤 5） 18 （本小题满分 13 分， （1）小问 4 分， （2）小问 9 分） 在中，内角、的对边分别是、，且ABCABCabc 222 3abcbc （1）求；A （2）设，为的面积，求的最大值，并指出此时3a SABC3coscosSBC 的值B 【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题. 【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下， 计算所给函数式的值，并求其中角的数值. 【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答. 解（1）由余弦定理得.（步骤 1） 222 33 cos 222 bcabc A bcbc 又因为（步骤 2） 5 0, 6 AA （2）由（1）得又由正弦定理及得 1 sin. 2 A 3a （步骤 3） 11sin sinsin3sinsin, 22 sin aB SabCaCBC A AA 3coscos3(sinsincoscos)3cos()SBCBCBCBC， 当取最大值 3（步骤 4） ,3coscos 212 A BC BSBC 19 （本小题满分 12 分， （1）小问 5 分， （2）小问 7 分） 如题（19）图，四棱锥中，底面，PABCDPAABCD2 3PA ， 2BCCD 3 ACBACD （1）求证：平面；BDPAC （2）若侧棱上的点满足，求三棱锥PCF7PFFC 的体积PBDF 【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解. 【考查方式】 （1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置 与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱 上的比例关系，求三棱锥体积. 【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明平面利用割补法求三棱锥体积.BD ,PAC （1）证明：因为所以为等腰三角形.（步骤 1）,BCCDBCD 又.（步骤 2）,ACBACDBDAC 因为底面.（步骤 3）PA ,ABCDPABD 从而与平面内两条相交直线都垂直,BDPAC,PA AC 平面（步骤 4）BDPAC （2）解三棱锥的底面的面积-P BCDBCD （步骤 5） 112 sin2 2 sin3. 223 BCD SBC CDBCD AA 平面PA ABCD （步骤 6） - 11 32 32 33 P BCDBCD VSPAAA 由，得三棱锥的高为，故7PFFC-F BCD 1 8 PA （步骤 7） - 11111 32 3, 38384 F BCDBCD VSPAAA 所以（步骤 8） - 17 2. 44 P BDFP BCDF BCD VVV 20 （本小题满分 12 分， （1）小问 5 分， （2）小问 7 分） 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度） 设该蓄水池的底面半径为米，r 高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为hV 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000 元（为圆周率） （1）将表示成的函数，并求该函数的定义域；Vr( )V r （2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大( )V rrh 【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用. 【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值 问题。 【试题分析】根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值. 解（1）因为蓄水池侧面的总成本为（元） ，100 2200rhrhA 底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元. 2 160r 2 200160rhr 又根据题意， 2 20016012000rhr 223 1 (3004),( )(3004). 55 hrV rr hrr r 又由0,r 05 3hr 故函数的定义域为（）( )V r0,5 3 232 (2)( )(3004),( )(300 12) 55 V rr hrrV rr 令解得（因为不在定义域内，舍去）.( )0,V r 12 5,5rr 当故在上为增函数；0,5 ,( )0,rV r( )V r(0,5) 当故在上为减函数. 5,5 3 ,( )0,rV r( )V r(5,5 3) 由此可知，在处取得最大值，此时.( )V r5r 8h 即当时，该蓄水池的体积最大.5,8rh 21 （本小题满分 12 分， （1）小问 4 分， （2）小问 8 分） 如题 21 图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作Ox 2 2 e 1 F 轴的垂线交椭圆于、两点， xA A