北师大九年级上《第四章图形的相似》单元测试含答案解析VIP

第 1页（共 23页） 第四章 图形的相似 一、选择题： 1如图，在平行四边形 ， ， S 2 S ） A 12 24 36 48如图， 2， 5， 取一点 E，使以 A、 D、 于（ ） A B 10 C 或 10 D以上答案都不对 3（ 3分）在直角三角形中，两直角边分别为 3和 4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ） A B C D 4点 B 边上的一点，过点 与直线 截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ） A 2条 B 3条 C 4条 D 5条 5如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 ） A B C D 6正方形 C、 ， ，若 2，则 ） A 8 B 6 C 4 D 3 第 2页（共 23页） 7已知正方形 C 边上的一点，下列条件中不能推出 ） A 0 C D ： 3 8如图， 矩形 ， D 的中点，下列式子成立的是（ ） A （ 3分）如图，正方形 ， 接 图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 10在坐标系中，已知 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）， C（ 0， 1），过点 交 ，使得以点 D， C， 样的直线一共可以作出 （ ） A 6条 B 3条 C 4条 D 5条 二、填空题： 11如图，把一个矩形纸片 F 对折，要使矩形 原矩形相似，则原矩形长与宽的比为 第 3页（共 23页） 12已知： = = = ， 2b+3d 5f=9，则 2a+3c 5e= 13如图，在 C=90 ， M， 5四边形 14如图，在正方形 ： 1， ，则 15如图，已知梯形 已知点 ， ，若 ，那么四边形 16如图，在平行四边形 M、 B 的三等分点， 别交 P、 Q： 第 4页（共 23页） 三、解答题：（共 36分） 17已知：平行四边形 A 延长线上一点， D、 、 F 求证： F 18（ 8 分）已知：如图 B=C，求证： 19以长为 2的线段 中点 P，连接 延长线上取点 F，使D，以 （ 1）求 （ 2）求证： D （ 3）根据（ 2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 20已知：如图 ， t ，求证： B 21已知，如图，在 0 ， 分 ，过点 E 足为 E， ，过点 G ， D=16， （ 1）求 （ 2）求 第 5页（共 23页） 第 6页（共 23页） 第四章 图形的相似 参考答案与试题解析 一、选择题： 1如图，在平行四边形 ， ， S 2 S ） A 12 24 36 48考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性质得出 C=2B， 出 出 = = ， =（ ） 2= ， = = ，求出 面积是 48 面积是 24出 【解答】解： 四边形 C=2B， = = = ， =（ ） 2=（ ） 2= ， = = ， S 2 8 4 面积是 72 B， S 726 第 7页（共 23页） 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出 2如图， 2， 5， 取一点 E，使以 A、 D、 于（ ） A B 10 C 或 10 D以上答案都不对 【考点】相似三角形的性质 【专题】分类讨论 【分析】 存在两种情况，即 可能是 分类讨论，求解 【解答】解：如图 （ 1）当 0 （ 2）当 ，即 综合（ 1），（ 2），故选 C 第 8页（共 23页） 【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题 3（ 3分）在直角三角形中，两直角边分别为 3和 4，则这个三角形的斜边 与斜边上的高的比为（ ） A B C D 【考点】勾股定理 【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可 【解答】解： 在直角三角形中，两直角边分别为 3 和 4， 斜边为 5， 斜边上的高为 = （由直角三角形的面积可求得） 这个三角形的斜边与斜边上的高的比为 5： = 故选 A 【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度 4点 B 边上的一点，过点 与直线 截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ） A 2条 B 3条 C 4条 D 5条 【考点】相 似三角形的判定 【专题】常规题型；压轴题 【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条 【解答】解：（ 1）作 C A= A 2）作 3）作 C 第 9页（共 23页） B= B 4）作 以共 4 条 故选 C 【点评】本题考查相似三角形的判定的运用 5如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴 影部分）与 ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型 【分析】根据网格中的数据求出 长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可 【解答】解：根据 题意得： = ， ， ， ： 2： =1： ： ， A、三边之比为 1： ： 2 ，图中的三角形（阴影部分）与 B、三边之比为 ： ： 3，图中的三角形（阴影部分）与 C、三边之比为 1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与 D、三边之比为 2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键 第 10页（共 23页） 6正方形 C、 ， ，若 2，则 ） A 8 B 6 C 4 D 3 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】压轴题；探究型 【分析】先根据题意画出图形，因为四边形 C 中点，所以 相似三角形的判定定理得出 根据相似三角形的对应边成比例可得出 = = ，再根据E 【解答】解：如图所示： 四边形 C 中点， = = ， = ，即 = ， 解得 故选 C 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出 根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键 7已知正方形 C 边上的一点，下列条件中不能推出 ） 第 11页（共 23页） A 0 C D ： 3 【考点】相似三角形的判定；正方形的性质 【专题】压轴题 【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可 【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一进行判断 A、 可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断只有 是 故选 C 【点评】考查相似三角形的判定定理： （ 1）两角对应相等的两个三角形相似 （ 2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （ 3）三边对应成比例的两个三角形相似 （ 4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 8如图，矩形 ， D 的中点，下列式子成立的是（ ） A 考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；射影定理 【分析】此题即是探求 用 【解答】解：根据射影定理可得 F E： ： 2 第 12页（共 23页） F 故选 A 【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质 9（ 3分）如图，正方形 积为 1， 接 图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】根据正方形的性质可得到 据相似三角形的边对应边成比 例，求得 而即可求得阴影部分的面积 【解答】解：如图，过点 E 作 H： ： 2， D=1 ， 阴影部分的面积 =S 正 S S S = 故选 B 第 13页（共 23页） 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键 10在坐标系中，已知 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）， C（ 0， 1），过点 交 ，使得以点 D， C， 样的直线一共可以作出（ ） A 6条 B 3条 C 4条 D 5条 【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质 【专题】常规题型；分类讨论 【分析】 作的以点 D， C， 0 度， D 可能是对应边，这样就可以求出 所求的长度为半径作圆，圆与 而这样的直线就是两条同理，当 有两条满足条件的直线，共有四条 【解答】解：以点 D， C， O 为顶点的三角形中 0 度， 当 与 因而这样的直线就是两条 同理，当 有两条满足条件的直线， 所以共有四条 故选 C 【点评】本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键 二、填空题： 11如图，把一个矩形纸片 F 对折，要使矩形 原矩形相似，则原矩形长与宽的比为 【考点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得 第 14页（共 23页） 【解答】解：根据条件可知：矩形 矩形 = 设 AD=x， AB=y，则 x则 = ，即： x2= =2 x： y= ： 1 即原矩形长与宽的比为 ： 1 故答案为： ： 1 【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键 12已知： = = = ， 2b+3d 5f=9，则 2a+3c 5e= 【考点】比例的性质 【分析】根据等比性质解答即可 【解答】解： = = = ， = ， 2b+3d 5f=9， 2a+3c 5e= 9=6 故答案为： 6 【点评】本题考查了比例的性质，熟记并理解等比性质是解题的关键 13如图，在 C=90 ， M， 5四边形 第 15页（共 23页） 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 出 = = ，由 ： 5，设 k， k，则 k，由 5，推出 k=5， 0， 5，根据四边形 S S 【解答】解： C=90 ， A= A， = = ， ： 5，设 k， k，则 k， 5， 3k=15， k=5， 0， 5， ， ， 四边形 S S 20 15 8 6=126 故答案为 126 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型 14如图，在正方形 ： 1， ，则 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质 第 16页（共 23页） 【专题】压轴题 【分析】根据题意 ，先设 CE=x， S a，再求出 S 用四部分的面积和等于正方形的面积，得到 x与 么两部分的面积比就可以求出来 【解答】解：设 CE=x， S a， CE=x， ： 1， x， C=D=3x； 又 S S = = ，那么 S a S S 四边形 正方形 S S a=9 3x2x ， 化简可求出 ； S S 四边形 ： = ： =9： 11，故答案为 9： 11 【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方 15如图，已知梯形 知点 ， ，若 ，那么四边形 【考点】相似三角形的判定与性质；梯形 【分析】先求出 后找出 S S ，再求出 S S = ， S ，最后用面积差即可 【解答】解： ， ， ， 第 17页（共 23页） ， D， D， = ， S S ， ， S S ， G， S S = ， S ， S S 3 = 【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出 第 18页（共 23页） 16如图，在平行四边形 M、 B 的三等分点， 别交 P、 Q： 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】根据题意，可得出 分别得到 而求出 【解答】解：由已知得： P： P：（ C） = ，即： 3Q+ Q： Q）： ，即 2（ Q）， 解 、 得： Q C ： 3： 12 【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用 三、解答题：（共 36分） 17已知： 平行四边形 A 延长线上一点， D、 、 F 求证： F 【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质 【专题】证明题 【分析】根据平行四边形的性质得 根据平行线分线段成比例定理得 = ， = ，利用等量代换得到 = ，然后根据比例的性质即可得到结论 【解答】证明： 四边形 第 19页（共 23页） = ， = ， = ， 即 F 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例也考查了平行四边形的性质 18（ 8 分）已知：如图 B=C，求证： 【考点】相似三角形的判定 【专题】证明题 【分析】利用两边对应比值相等，且夹角相等的两 三角形相似，进而得出即可 【解答】证明： B=C， = ， 又 A= A， 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键 19以长为 2的线段 中点 P，连接 延长线上取点 F，使D，以 （ 1）求 （ 2）求证： D （ 3）根据（ 2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 第 20页（共 23页） 【考点】黄金分割；勾股定理；正方形的性质 【分析】（ 1）由勾股定理求 据 F=D D 解； （ 2）由（ 1）计算的数据进行证明； （ 3）根据（ 2）的结论得： = ，根据黄金分割点的概念，则点 【解答】（ 1）解：在 ， ， = ， F=D 1， D （ 1） =3 ； （ 2）证明： 1） 2=6 2 ， M=2（ 3 ） =6 2 ， D （ 3）点 由如下： D = ， 点 D 的黄金分割点 【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念先求得线段 后求得