微分中值定理及其应用习题课(整理)

1 微分中值定理及其应用习题课微分中值定理及其应用习题课 一一 基本定理基本定理 1 1） ） 罗尔中值定理罗尔中值定理 若函数若函数f满足如下条件：满足如下条件： （）（）f在闭区间在闭区间ba,上连续；上连续； （）（）f在开区间在开区间, a b内可导；内可导； （）（）)()(bfaf, , 则在则在),(ba内至少存在一点内至少存在一点, ,使得使得0)(f 注注 罗尔中值定理主要用于说明罗尔中值定理主要用于说明 0fx有根，关键是要找两点使这两点函数值相等有根，关键是要找两点使这两点函数值相等 注注 介值定理主要用于说明介值定理主要用于说明 0f x 有根，关键是要找两点使这两点函数值异号有根，关键是要找两点使这两点函数值异号 （1 1）证证 0f x 有根有根 1 00,f xf xgxg x g xf xgxg x 法用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）. 法2 将转化为对用罗尔定理 若很容易求出，使，且对很容易 找两点使函数值相等. （2 2）证）证 0fx有根有根 1 . 法费马定理（易找极值点或内部最值点）, 法2 罗尔定理 易找两点使函数值相等 （3 3）证根唯一的方法）证根唯一的方法 1 法单调性, 法2 反证法+罗尔定理. （4 4）证）证 0 n fx 有根，经常对有根，经常对 1n fx 用罗尔定理用罗尔定理 （5 5）证至少存在一点）证至少存在一点，使含，使含的代数式的代数式 , , ,0 n G a b f af bfff成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗数用罗 尔定理尔定理 2 2） ） 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函数若函数f满足如下条件：满足如下条件： （）（）f在闭区间在闭区间,ba上连续；上连续； （）（）f在开区间在开区间, a b内可导，内可导， 则在（则在（ba,）内至少存在一点）内至少存在一点，使得，使得 ( )( ) ( ) f bf a f ba 2 注注 看到函数增量，或隐含增量（含条件看到函数增量，或隐含增量（含条件 0f a ） ，经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，） ，经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界， 经常要考虑拉格朗日中值定理经常要考虑拉格朗日中值定理 3 3） ） 柯西中值定理柯西中值定理 设函数设函数f和和g满足满足 （i i）在在,ba上都连续；上都连续；(ii)(ii)在在),(ba上都可导；上都可导；(iii)(iii)()(xgxf和不同时为零；不同时为零；(iv)(iv)()(bgag 则存在则存在),(ba，使得，使得 ( )( )( ) ( )( )( ) ff bf a gg bg a 注注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理 4 4） 泰勒中值定理泰勒中值定理 若函数若函数f在点在点 0 x存在直至存在直至n阶导数阶导数，则有，则有 ( ) 2 00 000000 ()() ( )()()()()()() 2! n nn fxfx f xf xfxxxxxxxoxx n 若函数若函数f在在,ba上存在直至上存在直至n阶的连续导函数，在阶的连续导函数，在),(ba内存在内存在) 1( n阶导函数，则对任意给定的阶导函数，则对任意给定的 , 0 baxx，至少存在一点，至少存在一点),(ba，使得，使得 2 0 0 000 )( ! 2 )( )( )()(xx xf xxxfxfxf 1 0 )1( 0 0 )( )( )!1( )( )( ! )( n n n n xx n f xx n xf 注注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理 注注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀 一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒； 中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱；中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱； 函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗； 多个中值多次用，把握特征心自得多个中值多次用，把握特征心自得 二二 疑难疑难解答解答 1 1极值与最值有什么区别与联系？极值与最值有什么区别与联系？ 答答 1 1）极值是一个局部概念）极值是一个局部概念, ,因为因为 0 ()f x是函数是函数( )f x的极值的极值, ,是与是与 0 x的的某邻域某邻域 0 U x上的函数值上的函数值( )f x 比较而言的；而最值是对整个区间而言的比较而言的；而最值是对整个区间而言的, ,是一个整体概念是一个整体概念 3 2 2） 闭区间） 闭区间, a b上的连续函数必有最值上的连续函数必有最值, ,且最大值和最小值各有一个且最大值和最小值各有一个, ,最大值大于最小值 （常函数除外）最大值大于最小值 （常函数除外） , , 但可能无极值（因为极值点但可能无极值（因为极值点 0 x必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）可能在端点取） 即使有即使有 极值极值, ,也可能不止一个也可能不止一个, ,极小值也可能大于极大值因此若极小值也可能大于极大值因此若 f a( (是函数的最值是函数的最值, ,则则 f a不可能是极值不可能是极值; ; 若若 0 ()f x（ 0 ( , )xa b）是函数的最值）是函数的最值, ,则一定是极值即（最值不一定是极值，反之则一定是极值即（最值不一定是极值，反之, ,极值也不一定是极值也不一定是 最值最值, ,极值一般可能很多个极值一般可能很多个, ,但若极值只有一个但若极值只有一个, ,即为最值） 即为最值） 3 3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点极大值点，最小值点是极小值点 2 2极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？ 答：答：1 1）由费马定理可知）由费马定理可知, ,可导的极值点是稳定点可导的极值点是稳定点 2 2）稳定点未必是极值点例如）稳定点未必是极值点例如 3 ( )f xx，0 x 为它的稳定点（因为为它的稳定点（因为(0)0 f ） ，但由） ，但由 3 ( )f xx的的 图像和极值点的定义易知图像和极值点的定义易知0 x 不是不是 3 ( )f xx的极值点的极值点 3 3）导数不存在的点也可能是函数的极值点例如由）导数不存在的点也可能是函数的极值点例如由( )f xx的图像和极值的定义易知的图像和极值的定义易知( )f xx在在 0 x 取得极小值，但在取得极小值，但在0 x 不可导，即极值点未必是稳定点不可导，即极值点未必是稳定点 极值点有可能是稳定点和不可导的点极值点有可能是稳定点和不可导的点 3 3导函数的介值定理有什么作用？导函数的介值定理有什么作用？ 答答：据此定理可以了解什么样的：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数可能成为其它函数的导函数，那么函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能不具有介值性的函数一定不能 做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数 4. 4. 罗尔罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗罗 尔尔定理的必要条件？定理的必要条件？ 答答 罗尔罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔罗尔定理就可能不成立定理就可能不成立例如例如 函数函数 ,01, ( ) 0,1, xx f x x 在在0,1上不满足罗尔中值定理的条件上不满足罗尔中值定理的条件( (1 1) )，因为，因为( )f x在点在点1x处不连处不连 续由于续由于( )1,(0,1)fxx，所以在开区间，所以在开区间(0,1)内找不到使得等式内找不到使得等式( )0f成立的点成立的点，如图，如图，无无 水平切线水平切线( (图图 1)1)； 函数函数( ), 1,1g xx x ，( )g x在在 1,1上不满足罗尔中值定理的条件上不满足罗尔中值定理的条件( (2 2) )，因，因为为( )g x在点在点0 x 处不处不 可导由于可导由于 1,01, ( ) 1,10, x g x x 所以在开区间所以在开区间( 1,1)内找不到使得等式内找不到使得等式( )0g成立的点成立的点，如图，如图， 4 无水平切线无水平切线( (图图 2)2) 函数函数( ),0,1h xx x( )h x在在0,1上不满足罗尔中值定理的条件上不满足罗尔中值定理的条件( (3 3) )，因为，因为( )h x在区间端点的函数在区间端点的函数 值不相等， 即值不相等， 即(0)(1)hh 由于 由于( )1,(0,1)h xx， 所以在开区间， 所以在开区间(0,1)内找不到使得等式内找不到使得等式( )0h成成 立的点立的点，如图，如图，无无水平切线水平切线( (图图 3)3) 尽管如此，但是不能说这三个条件是尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔罗尔定理的必要条件定理的必要条件例如，函数例如，函数 0,0,1) ( ) ,1,2 x f x xx 在在0,2不连续，在不连续，在0,2不可导，不可导， 02ff，但，但 0,0,1 ( ) 1,1,2 x fx x ，0,1上点都满足上点都满足 ( )0fx 5.5.为什么不将罗尔条件为什么不将罗尔条件(i)(ii)(i)(ii)合并为合并为( )f x在在ba,上可导？上可导？ 答答 可以，但可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数例如函数条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数例如函数( )(3),f xx x 0,3x， x x xf 2 )1 ( 3 )( ，显然，显然0 x 时，函数不可导（时，函数不可导（xxxf)3 ()(是初等函数，是初等函数， x x xf 2 )1 ( 3 )( 在在0 x 处没有定义，则原函数在处没有定义，则原函数在0 x 不可导） ，即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水不可导） ，即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水 平切线平切线( (图图) ) 6.6.罗尔定理结论中的罗尔定理结论中的值唯一吗？值唯一吗？ 答答 不一定唯一不一定唯一, ,可能有一个可能有一个, ,几个，甚至无限多个几个，甚至无限多个 例如例如 . 0, 0 ; 0, 1 sin )( 24 x x x x xf在在1,1上满足上满足罗尔罗尔定理的三个条件显然定理的三个条件显然, , y y=f (x) 0 3 x 5 . 0, 0 0, 1 cos 1 sin2 1 sin4 )( 223 x x xx x x x xf在在( (- -1,1)1,1)内存在无限多个内存在无限多个), 2, 1( 2 1 n n cn 使得使得0)( n cf 7 7拉格朗日公式有哪些等价表示形式？拉格朗日公式有哪些等价表示形式？ 答答 ( )( )( )(),f bf afba ab； 注注 001 a ababa ba ，令，令 a ba ，则，则有有01， ()aba，于是有，于是有 ( )( )()(),01f bf af ababa； 令令hba，则有，则有 . 10 ,)()()(hhafafhaf 注注 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于值得注意的是，拉格朗日公式无论对于ba ，还是，还是ba 都成立，而都成立，而则是介于则是介于a与与b之间的某一之间的某一 定数定数 8 8 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？ 答答：（：（1 1） 在应用导数极限定理时， 如果只注意） 在应用导数极限定理时， 如果只注意)(lim 0 xf xx 存在的条件， 而忽视了存在的条件， 而忽视了f在点在点 0 x的某邻域的某邻域)( 0 xU 内连续，内连续，则会导致错误的结论，例如则会导致错误的结论，例如 ,0 ( ) 1,0 x x f x x )(xf在在)0( 0 u中可导，且中可导，且1)( x f，于是有，于是有 0 lim( ) x fx ，若认为，若认为)0( f 存在，且存在，且1)0( f ，这就导致，这就导致 错误结论，事实上，因为错误结论，事实上，因为)(xf在点在点 0 0 处不连续，当然不可导处不连续，当然不可导 （2 2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似 1 1）设）设f在点在点 0 x的右邻域的右邻域 0 ()Ux 内连续，在内连续，在 0 ()Ux 内可导，且极限内可导，且极限 0 0 lim( )0 xx f xfx 存在，则存在，则f在点在点 0 x 右可导，且右可导，且 0 00 lim( )0 xx fxfxfx 2 2）设）设f在点在点 0 x的左邻域的左邻域 0 ()Ux 内连续，在内连续，在 0 ()Ux 内可导，且极限内可导，且极限 0 0 lim( )0 xx f xfx 存在，则存在，则f在点在点 0 x 左可导，且左可导，且 0 00 lim( )0 xx fxfxfx （3 3）若函数）若函数f在点在点 0 x的某邻域的某邻域)( 0 xU内连续，在内连续，在)( 0 xU 内可导，极限内可导，极限)(lim 0 xf xx 不存在，一般不能不存在，一般不能 6 得到得到 0 fx不存在的结论不存在的结论 例例 设函数设函数 2 1 sin,0, 0, 0. xx f xx x 则则 f x在在 0U中连续，且在中连续，且在 0U内可导，内可导， 11 2 sincos,0.fxxx xx 显然显然 0 lim x fx 不存在，但不存在，但 00 f 此例说明：此例说明：导数极限定理中的导数极限定理中的 0 lim xx fx 存在是充分条件不存在是充分条件不是是 必要条件必要条件 9.9. 若函数若函数f在区间在区间I上可导，则在上可导，则在区间区间I上的每一点，上的每一点， )(x f 有第一类间断点吗？有第一类间断点吗？ 答答 若函数若函数f在区间在区间I上可导，则在上可导，则在区间区间I上的每一点，要么是上的每一点，要么是)(x f 的连续点的连续点, ,要么是要么是)(x f 的第二的第二 类间断点类间断点, ,即导函数不可能有第一类间断点即导函数不可能有第一类间断点 0 xI，由，由f在区间在区间I上可导，则上可导，则f在点在点 0 x处的左右导数存在，并且相等，即处的左右导数存在，并且相等，即 000 fxfxfx ， 由此 （， 由此 （1 1） 若） 若)(x f 在点在点 0 x处的左右极限存在， 则根据导数极限定理，处的左右极限存在， 则根据导数极限定理，)(x f 在点在点 0 x处的左右极限相等，即处的左右极限相等，即 000 00fxfxfx，从而，从而)(x f 在点在点 0 x处连续； （处连续； （2 2）若）若 )(x f 在点在点 0 x处的左右极限至少有一个不存在，则处的左右极限至少有一个不存在，则 0 x是是)(x f 的第二类间断点的第二类间断点 10101 1） f x在在, a b上有定义上有定义, ,在在, a b内严格递增（减）内严格递增（减）, ,那么那么 f x在在, a b上是否上是否一定严格递增一定严格递增 （减）呢？（减）呢？ 2 2）若）若f在在, a b上（严格）递增（减） ，且在点上（严格）递增（减） ，且在点a右连续，则右连续，则f在在 ba,）上亦为（严格）递增（减） ，）上亦为（严格）递增（减） ， 对右端点对右端点b可类似讨论可类似讨论 答：答： 1 1）不一定例函数）不一定例函数 ,01 1,0 xx f x x 在在0,1有定义，在有定义，在0,1内严格递增，但在内严格递增，但在0,1上不是上不是 严格递增的严格递增的 2 2）只需证明）只需证明xa， f xf a，这时存在，这时存在 12 ,x xa b，满足，满足 12 axxx，由，由f在在, a b中中 的 （ 严 格 ） 递 增 性 有的 （ 严 格 ） 递 增 性 有 12 f xf xf x， 令， 令 1 xa， 由， 由f在 点在 点a的 右 连 续 性 ，的 右 连 续 性 ， 1 12 lim xa f af xf xf x ，于是，于是 f af x 注注 （1 1）证）证f在在, a b上严格递增上严格递增的方法是证的方法是证 0,( , )fxxa b ，或，或 0fx，( , )xa b ， 7 而而 0fx的点只有有限个的点只有有限个 （2 2）证）证f在在, a b上严格上严格递增，只要证递增，只要证f在在, a b上连续，在上连续，在, a b上严格递增上严格递增 1111函数在区间函数在区间I上可微，若上可微，若 0 x f与与f在在I上严格递增有什么关系？上严格递增有什么关系？ 答答 函数在区间函数在区间I上可微，若上可微，若 0 x f f在在I上严格递增上严格递增 反例：反例： 3 f xx在在R上严格递增，但上严格递增，但 2 3xxf， 00 f ，导数可为，导数可为 0 0 注注 若函数若函数f在在, a b内可导，则内可导，则f在在, a b内严格递增（递减）的充要条件是：内严格递增（递减）的充要条件是： （）对一切（）对一切),(bax，有，有 0 x f（ 0 x f） ；） ； （）在（）在, a b内的任何子区间上内的任何子区间上 0 x f 1212下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？ 由函数由函数f和和g在在,ba上连续，在上连续，在),(ba上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对f和和g分别用拉格分别用拉格 朗日中值定理得朗日中值定理得 ()( )( ) ( )( )() fbaff bf a g bg agbag 答答：不正确，错在对：不正确，错在对f和和g分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是 11 22 ()( )( ) ( )( )() fbaff bf a g bg agbag 而柯西中值定理的而柯西中值定理的 ( )( )( ) ( )( )( ) ff bf a gg bg a 中两个中两个是一样的是一样的 1313 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？ 答答（1 1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中 植定理，即：植定理，即： 拉格朗日中值定理罗尔中值定理费马定理柯西中值定理 （2 2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数用了辅助函数 );( )()( )()()(ax ab afbf afxfxf 由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数 8 )()( )()( )()( )()()(agxg agbg afbf afxfxF 反之，在柯西中值定理设反之，在柯西中值定理设xxg)(，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设)()(bfaf，又得到罗，又得到罗 尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形 （3 3）从应用方面看：）从应用方面看： （）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程（）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程0)( x f的根的的根的 分布情况也有重要作用分布情况也有重要作用 （）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用函数的单调性（）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用函数的单调性 是函数在区间上的整体性质，中值定理中的是函数在区间上的整体性质，中值定理中的)( f 只是只是)(x f 在某点在某点的局部性质，但因中值点的局部性质，但因中值点的不的不 明确性，故只能假设在整个区间明确性，故只能假设在整个区间, a b内内)(xf0 0，并用以推得，并用以推得( )f x在在, a b上的递增性质这里存上的递增性质这里存 在着整体局部整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在在着整体局部整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在 （）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数（）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f的增量与自变量增量比的增量与自变量增量比 的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与与g的增量比的性质的增量比的性质 柯西定理的典型应用是讨论柯西定理的典型应用是讨论 0 0 型不定式极限在补充了型不定式极限在补充了f与与g在点在点 0 x处的函数值处的函数值0)()( 00 xgxf 之后，利用之后，利用 )( )( )()( )()( )( )( 0 0 g f xgxg xfxf xg xf （介于介于 0 x与与x之间）之间） 使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数 值之比的极限值之比的极限 1414 0 0fx能说明能说明f在在 0 x的邻域上递增吗？的邻域上递增吗？ 答答 不能，例函数不能，例函数 , 0, 0 , 0, 1 sin 2 )( 2 x x x x x xf 2 000 1 sin0 0111 2 limlimlimsin0 0022 xxx x x f xf x x xxx 所以所以)(xf在在0x点可导，且点可导，且(0)0 f 9 当当0x时时， xx xxf 1 cos 1 sin2 2 1 )(，因此因此)(xf在在0x的任何邻域内可导的任何邻域内可导，但因为但因为 , 0 2 3 , 0 2 1 cos 2 11 为奇数 为偶数 n n n n f 且且n时时0 1 n ， 所以所以)(x f 在在0x的任何邻域内总要变号的任何邻域内总要变号， 故在故在0x的任何邻域内的任何邻域内)(xf都不单都不单 调调 1515设函数设函数f在在,ba上可导证明存在上可导证明存在( , )a b，使得，使得 22 2( )( )( )f bf abaf 证证 因为要证明的结果出现两个函数的增量因为要证明的结果出现两个函数的增量( )( )f bf a， 22 ba，因此考虑，因此考虑柯西中值定理设柯西中值定理设 2 g xx，利用，利用柯西中值定理知存在柯西中值定理知存在),(ba，使得，使得 22 ( )( )( ) 2 f bf af ba ， 即即存在存在( , )a b，使得，使得 22 2( )( )( )f bf abaf 上述证法正确吗？上述证法正确吗？ 答：答：不对，因为不满足柯西中值定理的条件，不对，因为不满足柯西中值定理的条件， 2g xx可能为可能为 0 0 1616应用洛比达法则须注意哪些问题？应用洛比达法则须注意哪些问题？ 1)1)验证计算的极限是不是不定式极限不是不定式极限不能使用洛比达法则验证计算的极限是不是不定式极限不是不定式极限不能使用洛比达法则 2)2)除计算除计算 0 0 型与型与 型两种不定式极限外型两种不定式极限外, ,计算其他五种不定式型计算其他五种不定式型 00 0,1 ,0, ， 都先要转化为不定型都先要转化为不定型 0 0 型或型或 型型, ,然后再利用洛比达法则然后再利用洛比达法则 3)3)洛比达法则的条件为充分条件洛比达法则的条件为充分条件, ,若条件不满足若条件不满足( (比如比如 )( )( lim 0 xg xf xx 不存在（非不存在（非型）型）) )并不能说明并不能说明 )( )( lim 0 xg xf xx 不存在不存在, ,此时计算极限此时计算极限, ,就只能用以前所学的有关计算方法就只能用以前所学的有关计算方法 4)4)应用洛比达法则应用洛比达法则, ,可能会出现可能会出现 )( )( lim 0 xg xf xx 仍是不定式极限仍是不定式极限, ,这时只要定理的条件满足这时只要定理的条件满足, ,仍可继续用洛仍可继续用洛 比达法则，注意每使用完一次洛必达法则，先要将式子整理比达法则，注意每使用完一次洛必达法则，先要将式子整理化简化简 10 5)5)一般来说一般来说, ,应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单, ,但对少数的不定式极限应用洛比达法则但对少数的不定式极限应用洛比达法则, ,并并 不简单不简单, ,甚至很繁甚至很繁 6 6）为简化运算在每次使用洛必达法则之前进行四化）为简化运算在每次使用洛必达法则之前进行四化 1 1 看到无穷小因子，等价化；看到无穷小因子，等价化； 2 2 看到无理因子，有理化；看到无理因子，有理化； 3 3 看到幂指函数因子看到幂指函数因子 v x u x，对数恒等式化，对数恒等式化 ln v x v xu x u xe； 4 4 看到非零极限因子（极限不为看到非零极限因子（极限不为 0 0 的因子） ，代入化的因子） ，代入化 7 7）当）当0 x时，极限式中时，极限式中含有含有 11 sin,cos xx ；当；当x 时，极限式中时，极限式中含有含有sin ,cosxx，不可用洛必达，不可用洛必达 法则法则 8 8）不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量 Nn是无法求导数的是无法求导数的 17.17. 试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法 （1 1） xxx x xx cos1 1 lim sin lim 分析分析 上式等号是错误的上式等号是错误的, ,因为因为x时时xcos1的极限不存在（振荡）不能使用的极限不存在（振荡）不能使用洛必达洛必达法则法则当当 x 时，极限式中时，极限式中含有含有sin ,cosxx，不可用洛必达法则，不可用洛必达法则 解解 1 01 1 sin 1 1 lim sin lim x x xx x xx （2 2）1 2 2 lim 1 1 limlim 2 2 2 2 x x x x x x xx xx x e e e e ee ee 分析分析 第一个等号是正确的，第二个等号是错误的因为本题应考虑第一个等号是正确的，第二个等号是错误的因为本题应考虑x及及x两种不同的两种不同的 极限过程，分两种情况考虑极限过程，分两种情况考虑 2 2 1 limlim1 1 xxx xxx xx eee eee , ,1 1 1 limlim 2 2 x x x xx xx x e e ee ee 所以当所以当x时极限不存在时极限不存在 （3 3）设）设2)0(, 0)0()0( ggg， 1 2 )0( 2 )( lim 2 )( lim )( lim 00 2 0 gxg x xg x xg xxx 分析分析 上式第一个等号是正确的 因为当上式第一个等号是正确的 因为当0x时，时，0, 0)( 2 xxg， 所以， 所以 2 )( x xg 是是 0 0 型未定式 又型未定式 又 因为因为2)0( g， 在， 在x=0=0 的某邻域内的某邻域内)(x g 存在， 可以用存在， 可以用洛必达洛必达法则 第二个等号是错误的 虽然法则 第二个等号是错误的 虽然0x 11 时，时， x xg xgx 2 )( , 0)(, 02 是是 0 0 未定式，但未定式，但2)0( g，仅代表，仅代表g( ) x在点在点x=0=0 处二阶导数存在而处二阶导数存在而 )(x g 在在x=0=0 的邻域内是否存在没有说明，不满足的邻域内是否存在没有说明，不满足洛必达洛必达法则中的条件法则中的条件 2 2，故不能用，故不能用洛必达洛必达法则法则, ,应该应该 按导数定义计算按导数定义计算 解解 1)0( 2 1 0 )0()( lim 2 1 2 )( lim )( lim 00 2 0 g x gxg x xg x xg xxx （4 4）0 1 lim )( )(ln lim ln lim nn n n n nnn 分析分析 上述运算是错误的因为上述运算是错误的因为n为自然数，数列的定义域是离散点集，对自为自然数，数列的定义域是离散点集，对自变量变量n而而 言数列不存在导数，不能直接用言数列不存在导数，不能直接用洛必达洛必达法则计算时，可先将法则计算时，可先将n扩充为连续变量扩充为连续变量x，写出相应的函数，写出相应的函数 x xln 当当x时，时， x xln 是是 型未定式，可以使用型未定式，可以使用洛必达洛必达法则求函数的极限，再用归结原则显然，法则求函数的极限，再用归结原则显然， 如果函数的如果函数的极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限但也需注意，如果函数的极限不存在，极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限但也需注意，如果函数的极限不存在， 数列的极限可能还存在数列的极限可能还存在 解解 因因0 1 lim ln lim xx x xx ，所以，当，所以，当x为正整数时为正整数时0 ln lim n n n （5 5）求）求 x ex x x 1 0 )1 ( lim 解解 1 )1 ( 1 )1ln( 1 )1 ( lim )1 ( lim 2 /1 0 1 0 xx x x x x ex x x x x = = )1 ( )1ln()1 ( )1(lim 2 1 0 xx xxx x x x = = )1ln()1 ( lim)1 (lim 2 0 1 1 0 x xxx x x x x = = 22 1 1 lim 0 e x e x 分析分析 上述解法是正确的这是上述解法是正确的这是 0 0 型未定式，可应用型未定式，可应用洛必达洛必达法则；而且为了简化运算，法则；而且为了简化运算， 在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单 独求极限，避免使用独求极限，避免使用洛必达洛必达法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化 1818试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点? ? 答：答： 从定理的条件看从定理的条件看, ,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数f在点在点 0 x存在直至存在直至n阶导数； 而拉阶导数； 而拉 格朗日型余项成立则要求函数格朗日型余项成立则要求函数f在在,ba上存在直至上存在直至n阶的连续导函数，在阶的连续导函数，在),(ba内存在内存在) 1( n阶导函阶导函 12 数；后者所需条件比前者强数；后者所需条件比前者强 从余项形式看从余项形式看, ,佩亚诺型余项佩亚诺型余项)( 0 n xxo是以高阶无穷小量的形式给出的是以高阶无穷小量的形式给出的, ,是一种定性的描述； 而拉是一种定性的描述； 而拉 格朗日型余项是用格朗日型余项是用) 1( n阶导数形式给出的阶导数形式给出的, ,利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可 以给出定量的估计以给出定量的估计 从证明方法看从证明方法看, ,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的 从应用方面看从应用方面看, ,佩亚诺型余项在求极限时用得较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用得较佩亚诺型余项在求极限时用得较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用得较 多多 在适当加强的条件下在适当加强的条件下, ,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论, ,即即: :若函数若函数f在点在点 0 x的某个邻域的某个邻域 上存在上存在) 1( n阶连续导函数阶连续导函数, ,则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式 1919. . 若函数若函数)(xf在点在点 0 x取极大值取极大值, ,是否可断定是否可断定 0 x的充分小邻域的充分小邻域中中, ,函数在点函数在点 0 x的左侧上升的左侧上升； 右侧下降右侧下降? ? 答答：不能，不能， , 0, 2 , 0, 1 sin22 )( 2 x x x x xf 它有极大值它有极大值. 2)0(f由于由于 , 0, 0 , 0, 1 cos 1 sin22 )( x x xx x xf 当当| x充分小且充分小且0x时时，)(x f 的符号决定的符号决定 于于 x 1 cos的符号的符号，而而 x 1 cos在在0 0 x的充分小的领域内的充分小的领域内，无限次改变正、负号无限次改变正、负号， 因此因此)(xf不满足定理不满足定理 6 6 1010 的条件的条件 由此可见由此可见， 若若)(xf在点在点 0 x取极大值取极大值， 则在点则在点 0 x的充分小的领域内的充分小的领域内，)(xf不一定在点不一定在点 0 x 左侧上升左侧上升，右侧下降右侧下降 说明说明极值的第一充分条件极值的第一充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件为判定极值的充分条件而非必要条件 注注 极值的极值的第二充分条件第二充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件为判定极值的充分条件而非必要条件 例如例如 , 0, 0 , 0, 1 sin )( 24 x x x x xf 显然显然， 它有极小值它有极小值. 0)0(f由于由于 0 2 sin 1 sin4 lim)0(, 0 1 sin lim)0( 223 0 24 0 x x x x x f x x x f xx 因此因此)(xf不满足不满足极值的极值的 第二充分条件第二充分条件定理的条件定理的条件 20.20.设设)(xf为区间为区间I上的连续函数上的连续函数, ,且在且在I上仅有唯一的极值点上仅有唯一的极值点. .当当 0 ()f x为极大（小）值时为极大（小）值时, ,为什么为什么 13 0 ()f x必为必为f的最大（小）值的最大（小）值? ? 答答 用反证法来说明用反证法来说明. .设设)(xf为区间为区间I上的连续函数上的连续函数, ,只有唯一极小值点只有唯一极小值点 0 x, ,而无极大值点而无极大值点. .倘若倘若 0 ()f x不是不是f的最小值的最小值, ,则必定则必定I x 1 , ,使使 10 ()()f xf x, ,不妨设不妨设 10 xx. . 因为因为)(xf是是 01,x x上的连续函数上的连续函数, ,利用连续函数的最大、最小值定理利用连续函数的最大、最小值定理, ,存在存在 01 * ,xxx 为为f在在 01,x x上的最大值点上的最大值点. .现证现证 * 10 xxx, ,这是因为这是因为 （） 10 ()()f xf x, ,故故 1 * xx ； ( () )若若 0 * xx , ,由于由于 0 x又是又是f在在I上的极小值点上的极小值点, ,而点而点 0 x又是又是f在在 01,x x上的最大值点上的最大值点, ,因此存在领因此存在领 域域 0 ()Ux , ,在此邻域在此邻域内内)(xf只能为常数只能为常数, ,这与这与 0 x为为I上仅有的极小值点相矛盾上仅有的极小值点相矛盾. . 于是于是),( 01 * xxx , ,从而成为从而成为f的极大值点的极大值点, ,这与这与f在在I上不存在极大值点的假设又相矛盾上不存在极大值点的假设又相矛盾. .这样点这样点 0 x 必为最小值点必为最小值点