微分的概念与定义

微分的概念与定义 导数与微分的关系 微分的几何意义 微分形式的不变性 微分的概念与定义 导数与微分的关系 微分的几何意义 微分形式的不变性 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快 慢程度，即：函数的变化率。 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快 慢程度，即：函数的变化率。 微分指明微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上 改变了多少。 当自变量有微小变化时，函数大体上 改变了多少。 一、问题的提出一、问题的提出 实例:实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 0 xA = = 0 x 0 x , 00 xxx + +变到设边长由变到设边长由 的改变量正方形面积的改变量正方形面积 2 0 xA = = 2 0 2 0 )(xxxA+=+= .)(2 2 0 xxx + + = = )1()2( ;,的主要部分且为的线性函数的主要部分且为的线性函数Ax .,很小时可忽略当的高阶无穷小很小时可忽略当的高阶无穷小xx :)1( :)2( x x 2 )( x xx 0 xx 0 再例如再例如, ., 0 3 yx xxy = = 求函数的改变量时为 处的改变量在点设函数 求函数的改变量时为 处的改变量在点设函数 3 0 3 0 )(xxxy + += = .)()(33 32 0 2 0 xxxxx + + + + = = )1()2( ,很小时当很小时当 x .3 2 0 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小是的高阶无穷小是 既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题: 问题: 一般函数一般函数y=f(x)是否也有 是否也有 y=f(x+ x)-f(x)=A x+o( x)? A是什么是什么?如何求如何求? ?)( 3 0 3 0 xoxAxxxy+=+=但是+=+=但是 二、微分的定义二、微分的定义 定义定义 .),( ,)( ,)( ),( )()()( , ,)( 00 0 0 0 00 00 xAdyxdfdy xxxfy xAxxfy xA xoxAxfxxfy xxx xfy xxxx = = = +=+= + = = = +=+= + = = = 即或记作 的微分相应于自变量增量在点 为函数并且称可微在点 则称函数无关的常数是与其中成立 如果在这区间内及 在某区间内有定义设函数 即或记作 的微分相应于自变量增量在点 为函数并且称可微在点 则称函数无关的常数是与其中成立 如果在这区间内及 在某区间内有定义设函数 .的线性主部叫做函数增量微分的线性主部叫做函数增量微分ydy (微分的实质)(微分的实质) .)(),(, ,)( xxfdyxdfdy xxfy = = 即或记作微分 称为函数的的微分在任意点函数 = = 即或记作微分 称为函数的的微分在任意点函数 由定义知:由定义知: ;)1(的线性函数是自变量的改变量的线性函数是自变量的改变量 xdy ;)()2(高阶无穷小是比高阶无穷小是比 xxodyy = = ;,0)3(是等价无穷小与时当是等价无穷小与时当ydyA dy y xA xo +=+= )( 1).0(1x ;)(,)4( 0有关 和但与无关的常数是与有关和但与无关的常数是与xxfxA ).(,)5(线性主部很小时当线性主部很小时当dyyx 三、可微的条件三、可微的条件 ).(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf =且处可导在点数 可微的充要条件是函在点函数 =且处可导在点数 可微的充要条件是函在点函数定理定理 证证(1) 必要性必要性,)( 0可微 在点可微在点xxf ),( xoxAy + += , )( x xo A x y +=+= x xo A x y xx += += )( limlim 00 则则.A= = ).(,)( 00 xfAxxf =且可导在点即函数=且可导在点即函数 (2) 充分性充分性 ),()( 0 xxxfy + + =从而=从而 ,)( 0 +=+= xf x y 即即 ,)( 0可导 在点函数可导在点函数xxf ),(lim 0 0 xf x y x = = ),0(0 x ),()( 0 xoxxf + + = = .)(,)( 00 Axfxxf= =且可微在点函数且可微在点函数 ).(. 0 xfA = =可微可导可微可导 例1 解 例1 解 .02. 0, 2 3 时的微分当求函数时的微分当求函数= = = = =xxxy xxdy = =)( 3 .3 2 xx = = 02. 0 2 2 02. 0 2 3 = = = = = = = = = x x x x xxdy .24. 0= = ., , xdxdx xx = = 即记作 称为自变量的微分的增量通常把自变量 即记作 称为自变量的微分的增量通常把自变量 .)(dxxfdy = =).(xf dx dy = .微商导数也叫该函数的导数 之商等于与自变量的微分即函数的微分 微商导数也叫该函数的导数 之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy 四、微分的几何意义四、微分的几何意义 )(xfy = = 0 x M N T dy y )( xo ） x y o x 几何意义几何意义:(如图):(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 是曲线的纵当 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 是曲线的纵当 dy y xx+ 0 P . , MNMP Mx 可近似代替曲线段切线段 的附近在点很小时当 可近似代替曲线段切线段 的附近在点很小时当 例例: 已知曲线已知曲线y=f(x)在在x=1处的切线方程为处的切线方程为2x-y+1=0, 求求x=1处的微分处的微分. 五、微分的求法五、微分的求法 dxxfdy) ( = = 求法: 求法: 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 xctgxdxxdxtgxdxxd xdxctgxdxdxtgxd xdxxdxdxxd dxxxdCd csc)(cscsec)(sec csc)(sec)( sin)(coscos)(sin )(0)( 22 1 = = = = = = = = dx x arcctgxddx x arctgxd dx x xddx x xd dx x xddx ax xd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin 1 )(ln ln 1 )(log )(ln)( + + = = + + = = = = = = = = = = 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 2 )()( )()( v udvvdu v u dudvvduuvd CduCuddvduvud =+= =+= = = = 例2 解 例2 解 .),ln( 2 dyexy x 求设+=求设+= , 21 2 2 x x ex xe y + + + = + =. 21 2 2 dx ex xe dy x x + + + = + = 例3 解 例3 解 .,cos 31 dyxey x 求设求设 = = )(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx + + = = .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx = = = = dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131 + + = = .)sincos3( 31 dxxxe x + + = = 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性 ;)(,)1(dxxfdyx = =是自变量时若 是自变量时若 则微函数 的可即另一变量是中间变量时若 则微函数 的可即另一变量是中间变量时若 ),( ,)2( tx tx = = ),()(xfxfy = =有导数设函数有导数设函数 dttxfdy)()( = = ,)(dxdtt= = .)(dxxfdy = = 结论：结论： 的微分形式总是 函数是自变量还是中间变量无论 的微分形式总是 函数是自变量还是中间变量无论 )( , xfy x = = 微分形式的不变性微分形式的不变性 dxxfdy) ( = = 例4 解 例4 解 .,sindybxey ax 求设求设 = = )(sin)(cosaxdebxbxbxdedy axax + + = = dxaebxbdxbxe axax )(sincos + + = = .)sincos(dxbxabxbe ax = = 例3 解 例3 解 .),12sin(dyxy求设求设+ += = . 12,sin+ += = =xuuy ududycos= =)12()12cos(+ + += =xdx dxx2)12cos( + += =.)12cos(2dxx + += = 例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立 使 等式成立. ).()()(sin)2(;cos)()1( 2 xdxdtdtd= = = = ,cos)(sin)1(tdttd = = )(sin 1 costdtdt = .cos)sin 1 (tdtCtd=+ =+ );sin 1 (td = = dx x dxxx xd xd 2 1 cos2 )( )(sin )2( 22 = =,cos4 2 xxx= = ).()cos4()(sin 22 xdxxxxd= = 222 2 )(1 1 )(arctan yx ydxxdy x ydxxdy x yx y d + = + = + = + = 2222 22 22 2 1 )(ln yx ydyxdx yx ydyxdx yxd + + = + + =+ + + = + + =+ 于是于是xdy-ydx=xdx+ydyxdy-ydx=xdx+ydy, ., .dx yx yx dy + = + = 例6 设由确定y为x的函数,求dy.例6 设由确定y为x的函数,求dy. 22 lnarctanyx x y +=+= 解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有 )(ln)(arctan 22 yxd x y d+=+= 七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用 ?计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值 ?计算函数的近似值计算函数的近似值 ?误差估计误差估计 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值 , , 0)()( 00 很小时 且处的导数在点若 很小时 且处的导数在点若 x xfxxfy = = 例1例1 ?,05. 0 ,10 问面积增大了多少厘米 半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径 问面积增大了多少厘米 半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径 解解, 2 rA =设=设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米= = = =rr rrdA = =205. 0102 = =).( 2 厘米厘米 = = .)( 0 xxf = = 00 xxxx dyy = 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值 ;)(. 1 0附近的近似值 在点求附近的近似值在点求xxxf= = )()( 00 xfxxfy + += = .)( 0 xxf .)()()( 000 xxfxfxxf + + + +)(很小时很小时x 例1例1.0360cos o 的近似值计算的近似值计算 解解,cos)(xxf= =设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf = = , 360 , 3 0 = = =xx. 2 3 ) 3 (, 2 1 ) 3 (= = = ff ) 3603 cos(0360cos o + + = = 3603 sin 3 cos 3602 3 2 1 = .4924. 0 ;0)(. 2附近的近似值在点求附近的近似值在点求= =xxf .)0()0()(xffxf + + ,)()()( 000 xxfxfxxf + + + +., 0 0 xxx= =令=令 常用近似公式常用近似公式 )(很小时很小时x .)1ln()5( ;1)4();(tan)3( );(sin)2(; 1 11)1( xx xexxx xxxx n x x n + + + 为弧度 为弧度 + + + 为弧度 为弧度 证明证明,1)()1( n xxf+ += =设设,)1( 1 )( 1 1 +=+= n x n xf . 1 )0(, 1)0( n ff=xffxf)0()0()( + + .1 n x +=+= 例2例2.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值 解解 .)2(;5 .998)1( 03. 0 3 e 33 5 . 110005 .998)1( = = 3 ) 1000 5 . 1 1(1000= 3 0015. 0110 = = )0015. 0 3 1 1(10.995. 9= = 03. 01)2( 03. 0 e.97. 0= = 3、误差估计、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差. 定义：定义： ., , 的绝对误差叫做那末为 它的近似值如果某个量的精度值为 的绝对误差叫做那末为 它的近似值如果某个量的精度值为 aaAa A .的相对误差叫做的比值而绝对误差与的相对误差叫做的比值而绝对误差与a a aA a 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得? 办法:将误差确定在某一个范围内.办法:将误差确定在某一个范围内. . , , , , 的相对误差限 叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末 即又知道它的误差不超过 测得它的近似值是如果某个量的精度值是 的相对误差限 叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末 即又知道它的误差不超过 测得它的近似值是如果某个量的精度值是 A a A aA aA A A A A 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差 绝对误 差与相对误差. 例3例3 . ,005. 041. 2 误差并估计绝对误差与相对 求出它的面积米正方形边长为 误差并估计绝对误差与相对 求出它的面积米正方形边长为 解解则面积为设正方形边长为则面积为设正方形边长为,yx. 2 xy = = ,41. 2时当时当= =x).(8081. 5)41. 2( 22 my= = = 41. 241. 2 2 = = = xx xy .82. 4= = ,005. 0= = x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为 005. 082. 4 = = y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为 ).(0241. 0 2 m= = y y 面积的相对误差为面积的相对误差为 8081. 5 0241. 0 = =%.4 . 0 小结小结 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念微分的概念 导数的概念导数的概念 求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做 叫 做微分学微分学. 导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可导可微可导 导数与微分的区别导数与微分的区别: 且的线性函数是而微分 处的导数是一个定数在点函数 且的线性函数是而微分 处的导数是一个定数在点函数 ,)( ),()(. 1 0 00 xxxfdy xfxxf = xxfdy xx = = )(limlim 0 00 . 0= = . )(,()()( ,)(,( )()(,. 2 0 000 00 0 的纵坐标增量处的切线方程在点 在点是曲线 而微分处切线的斜率点 在是曲线从几何意义上来看 的纵坐标增量处的切线方程在点 在点是曲线 而微分处切线的