




已阅读5页,还剩34页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1 习题答案 1 p.41 习题 2.3 1. 求下列曲线的曲率: (2) () 323 ( )3,3 ,3r tttttt=+;(4) () 33 ( )cos ,sin,cos2r tttt=. 解. (2) () 22 ( )3 1,2 ,1r tttt=+, () 2 |( )|3 2 1r tt=+, ()( )6, 1,r ttt =, () 22 ( )( )181, 2 ,1r tr ttt t=+, () 2 |( )( )|18 21r tr tt=+, 22 1 3(1)t = + . (4) () 1 ( )sin23cos ,3sin , 4 2 r tttt=, 5 |( )|sin2 | 2 r tt=, ()() 1 ( )cos23cos ,3sin , 4sin2 3sin ,3cos ,0 2 r ttttttt=+, () () 21 ( )( )sin 23cos ,3sin , 43sin ,3cos ,0 4 r tr tttttt= () 23sin 2 4cos , 4sin , 3 4 ttt=, 25 |( )( )|sin 2 4 r tr tt=, 2 25|sin2 | t =,(2(21)tk+). 4. 求曲线 222 22 9, 3 xyz xz += = 在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()( )( ), ( ), ( )r sx sy s z s=, ()(0)2,2,1r=, 0 (0)r=, 00 (0)r =. 则( ), ( ), ( )x sy s z s满足题给的方程组,所以有 2222 212,26xyyz+=+=. 对上式求导得 222 20,20,1xxyyyyzzxyz+=+=+=. (1) 再求导,得 2222 2(2),2(2),0 xxyyxyyyzzyzxxyyzz+= += +=. (2) 在()2,2,1处,由(1)解出2xyz= =, 1 3 x = . 不妨设 122 333 ,xyz= =. 所以 ()() 0 1 , ,1, 2,2 3 x y z=. 代入(2)得 22 42,220 33 xyyzxyz+= += +=. 所以 00 1 (0)(0, 1, 1) 3 r = , 0 2 3 =, 0 1 (0, 1, 1) 2 = . 于是 2 () 000 11 (0, 1, 1)(4,1, 1)1, 2,2 3 23 2 = =. 所以在()2,2,1处,曲率为 0 2 /3=,密切平面方程为 4(2)(2)(1)0 xyz+=,即490 xyz+=. 7. 证明: 若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点, 则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为( )rr s=,它的 Frenet 标架为; , ,r , 曲率和挠率分别为, . 再设定点为a(常向量). 由条件,a和( )r s都在C的过 ( )r s点的切线上,所以( ( )/( )r sas. 故可设 ( )( ) ( )r sass=+. 对上式求导,利用 Frenet 公式可得 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )ssssss=+. 所以( )0s=,C是直线. p. 47 习题 2.4 1. 计算习题 2.3 第 1 题中各曲线的挠率. (2) () 323 ( )3,3 ,3r tttttt=+;(4) () 33 ( )cos ,sin,cos2r tttt=. 解. (2) () 22 ( )3 1,2 ,1r tttt=+, () 2 |( )|3 2 1r tt=+, ()( )6, 1,r ttt =, () 22 ( )( )181, 2 ,1r tr ttt t=+, () 2 |( )( )|18 21r tr tt=+,()( )61,0,1rt=,()216( ),( ),( )r t r t rt=, () () 22 2 ( ),( ),( ) 1 |( )( )| 31 r t r t rt r tr t t = + . 22 1 3(1)t = + (4) () 1 ( )sin23cos ,3sin , 4 2 r tttt=, 5 |( )|sin2 | 2 r tt=, ()() 1 ( )cos23cos ,3sin , 4sin2 3sin ,3cos ,0 2 r ttttttt=+, () () 21 ( )( )sin 23cos ,3sin , 43sin ,3cos ,0 4 r tr tttttt= () 23sin 2 4cos , 4sin , 3 4 ttt=, ()()( )2sin23cos ,3sin , 42cos23sin ,3cos ,0rttttttt = + () 1 sin2 3cos , 3sin ,0 2 ttt+, 25 |( )( )|sin 2 4 r tr tt=,() 33 3 sin 2( ),( ),( ) 4 tr t r t rt=, () 2 ( ),( ),( ) 12 3 |( )( )|25sin2 r t r t rt r tr tt = , (2(21)tk+). 2 25|sin2 | t = 4. 假定( )rr s=是正则弧长参数曲线,它的挠率0,曲率不是常数,并且 3 22 2 111d a ds += , (1) 其中a为常数. 证明该曲线落在一个球面上. 证明. 由条件(1),求导得 111111 0 dddd dsdsdsds += . 因为不是常数,上式说明 11 0 dd dsds += . (2) 设它的 Frenet 标架为; , ,r . 考虑向量函数 111 ( )( )( )( ) ( )( )( ) d r sr sss sss ds =+ . (3) 对上式求导,利用 Frenet 公式和(2)式,得 111111 ()0 dddd r dsdsdsds = += . 所以rc=是常向量. 代入(3)得到 111 ( )( )( ) ( )( )( ) d cr sss sss ds =+ , () 22 2 2 111 ( ) d ar sc ds =+= . 这说明( )r s在以c为中心,以a为半径的球面上. 10. 设( )r t是单位球面上经度为t, 纬度为 2 t 的点的轨迹. 求它的参数方程, 并 计算它的曲率和挠率. 解. 单位球面的参数方程为 cos cos ,cos sin ,sinxyz=,( , )/2,/2 , . 其中为经度,为纬度. 将, 2 tt =代入,得曲线的参数方程 () 2 ( ) sin cos ,sin,cos r t tttt =. 于是 ()( )cos2 ,sin2 ,sinr tttt =, 2 |( )|1sinr tt=+. ()( )2sin2 ,2cos2 , cosr tttt= , ()( )( )2sin cos2cos sin2 ,2sin sin2cos cos2 ,2r tr ttttttttt=+ ()()2sincos2(0,0,1)cos2 ,sin2 ,0sin2 ,cos2 ,0tttttt=+, 22 |( )( )|cos4(1sin)r tr ttt=+. ()()( )4sin (0,0,1)4cos2 , 4sin2 ,sincos2 ,sin2 ,0rttttttt= +, ()6sin( ),( ),( )tr t r t rt= . 所以 4 () 22 3/23 2 cos4(1sin)| ( )( )| | ( )| 1sin ttr tr t r t t + = + , () 222 ( ),( ),( )6sin | ( )( )|cos4(1sin) r t r t rtt r tr ttt = + . p. 55 习题 2.5 1,6. 设正则曲线C的曲率处处不为零. 则下述命题是等价的: (a)C是一般螺线(即C的切向量与固定方向成定角); (b)C的主法线与固定平面平行; (c)C的挠率与曲率之比: 是常数. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为( )rr s=,它的 Frenet 标架为; , ,r , 曲率和挠率分别为0,. (a)(b). 设固定方向的单位向量为n. 则cos( , )nn=是常数. 因为 0,求导得到0n=,即主法线方向与固定方向n垂直. 所以主法线与以n为 法向量的一个固定平面垂直. (b)(c). 设固定平面的单位法向量为n. 则0n=. 于是 () 0 dn n ds =. 这说明cosn=是常数,其中( , )n= . 因为0n=,可设 ( ) ( )( ) ( )nssss=+. 用( ) s与等式两边作内积,得( )( )cosss n=是常数. 再由n是单位向量可 知 222 ( )1( )sinss= =也是常数. 不妨设sin=,则上式成为 cos( )sin( )nss=+ 求导得到 0cos( )sin( ) ( )sss=. 所以( ): ( )cotss=是常数. (c)(a). 设( ): ( )cotss=是常数. 令 ( )cos( )sin( )n sss=+. 则 ( )cos( )sin( ) ( )0n ssss=. 所以n是常向量,从而切方向与固定方向n成定角( , )n= . 4. 证明:曲线( )(3sin ,2cos , 3sin )r tttttt=+和曲线 122 ( )(2cos ,2sin ,) uu r uu= 可以通过刚体运动彼此重合. 证明. 对曲线 1: C 11( ) rr u=作参数变换2uv=,可知 1 C是圆柱螺线: 1 (2cos ,2sin , 2 )rvvv=. (2,2ab= ) 它的曲率和挠率分别为 1 14 =, 1 14 = . 因此只要证明曲线:C( )rr t=的曲率 1 4 =, 挠率 1 4 = , 从而根据曲线论基本定理, 它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得 5 ( )(13cos ,2sin ,3cos )r tttt=+,|( )|2 2r t=, ( )(3sin ,2cos ,sin )r tttt= , ( )( )(2 3cos2, 4sin , 2 32cos )r tr tttt= 2(13cos ,2sin , 3cos )ttt= +, |( )( )|4 2r tr t=, 1 4 =. ( )(3cos ,2sin ,cos )rtttt= ,()8( ),( ),( )r t r t rt= , 1 4 = . 注. 此类证明题, 一般是由等式 1 ( )( )tu=确定一个函数( )uu t=, 然后证明 1 ( )( ( )tu t=. p. 63 习题 2.6 2. 作正则参数曲线C关于一张平面的对称曲线C. 证明:曲线C和C在对应点 的曲率相同,挠率的绝对值相同而符号相反. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为( )rr s=,它的 Frenet 标架为; , ,r , 曲率和挠率分别为0,. 再设是过定点a,以n为单位法向量的平面. 由上 图可见( )r sOR=在n方向的投影向量 ( )PRn r s n=, 从而( )r s在平面上的投影向量 ( )( )( )OPr sPRr sn r s n=. 同理,a在n方向的投影向量()PQn a n=. 用 11 ( )r sOR=表示( )r s关于平面 的对称点. 由于Q是R和 1 R的中点, 1 2PRPRPQ+=,所以 111 ( )2 ( )( )2()( ) ( )2( )2() . r sOROPPROPPQPR r sn r s nn a nn r s n r sn r s nn a n =+=+ =+ =+ 求导得 1( ) ( )2( )r ssns n=, 222 1 | ( )|14( )4( )1r snsns= +=. ( )r s 1( ) r s O n a P Q 1 R R 6 所以s也是C的弧长参数. 设C的 Frenet 标架为 1111 ;,r ,曲率和挠率分别 为 1 和 1 . 则 11 2()rnn=. 再求导,得 111 2()2() nnnn =. 于是 11 |2()nn =, 1 2()nn=. 由此得 111 2()2()2()() 2()2()2() , nnnnnnn nnnnnn = = + 2 111 2() 2 () 2() nnnnnn = = += = . 所以有 1 =, 1 = . 3. 如果正则参数曲线的向径( )r s关于弧长s的n阶导数是 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n nnn rsassb sscss=+, 求它的1n +阶导数. 解. 由 Frenet 公式可得 (1) () ()()() . n nnnnnn nnnnnnn raabbcc abbaccb + =+ =+ p. 69 习题 2.7 4. 假定曲线:( )C rr s=和曲线:( )C rr s=的曲率处处不为零,且它们之间存在 一一对应,使得曲线C在每一点的主法线是曲线C在对应点的次法线. 证明:曲 线C和C在对应点之间的距离为常数,并且曲线C的曲率和挠率满足关系式 22 () =+. 证明. . 设曲线C和C的弧长参数方程分别为( )rr s=和 11( ) rr s=,它们之间 的一一对应由函数关系( )ss s=给出. 再设它们的 Frenet 标架分别为; , ,r 和 1111 ;,r ,曲率和挠率分别为, 和 11 , . 由条件,可设 1( ( ) ( )( ) ( )r s sr sf ss=+, (1) 1( ( ) ( )s ss =, (2) 其中1= . 对(1)式两边求导,得 1 ()sff=+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积,得0f =,所以f为常值函数. 这说明C和C 在对应点之间的距离 1 | ( ( )( )|r s sr sf=为常数. 将(3)重写为 1 (1)sff = +. (4) 7 上式再求导,得 22 111 (1)ssffff += +. 用(2)两边分别与上式两边作内积,得 22 ()f=+. 因为0,所以 0ff=,即有 22 () =+. 8. 证明:圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线,并且它 也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线. 证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z轴,建立空间直角坐标系. 它的参数方程为 ( )( cos , sin ,)r tat at bt=. 因为 ( )(sin , cos , )r tat at b= , 22 |( )|r tab=+, 从0t =开始计算的弧长为 22 ( )s tab t=+. 由于单位切向量为 22 1 ( )(sin , cos , )tat at b ab = + , 根据定理 7.3,渐伸线方程为 22 1 22 ( )( )( ) ( )( cos , sin ,)(sin , cos , ) cab t r tr tcs ttat at btat at b ab + =+=+ + , 其中c是任意一个取定的常数. 记 22 c c ab = + . 则渐伸线方程可以写成 1( ) ( cos , sin ,)()(sin , cos , )r tat at btctat at b=+ ()cos()sin , sin()cos ,ata ctt ata ctt cb=+. (1) 它是落在与其轴线(z轴)垂直的平面zcb=内的一条曲线. 2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面zcb=内的一个圆 ( )( cos , sin ,)r tat at cb=. 它的弧长为( )s tat=. 单位切向量为 ( )( sin ,cos ,0)ttt= . 所以它的一般的渐伸线方程为 () 1( ) ( )( ) ( )cos()sin , sin()cos ,r tr tcs ttatcatt atcatt cb=+=+. (2) 在(2)中取cac=,就得到上面的渐伸线(1). 注. . 在工业上,圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题 2.8 1. 求下列平面曲线的相对曲率 r . (2) 双曲线:( cosh , sinh )rat bt=,t. (4) 摆线:( (sin ), (1cos )ra tt at=,0,2 t. (6) 曳物线:()cos , ln(sectan )sinrat attat=+,0,/2)t. 解. . (2) ( sinh , cosh )rat bt = ,( cosh , sinh )rat bt = , 8 2222 |sinhcoshratbt = +, 22223/2 (sinhcosh) r ab atbt = + . (4) (1cos ,sin )ratt = ,(sin ,cos )ratt = , 1 22(1cos ) r at = ,(0,2 )t. (6) 1 sin ( 1,tan )sin ,cos cos raatttt t = = ,|tanrat = , 2 cos ( 1,tan )sin (0,sec)rattatt = +, 1 1 cot tan r at at = = ,(0,/2)t. 2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是( ) =,其中是极距,是极角. 求 曲线的相对曲率的表达式. 解. ()()()( )( ), ( )( )cos , ( )sincos ,sinrxy =, ()( )( )( sin ,cos )cos ,sinr =+, 22 |( )( )r=+, ()()( )2( )( sin ,cos )( )cos ,sincos ,sinr =+ ()()2( )( sin ,cos )( )( )cos ,sin =+, 22 223/2 ( )2( )( )( ) ( )( ) r + = + . 6. 已知平面曲线的相对曲率 2 1 ( ) 1 r s s = ,其中s是弧长参数,求它的参数方 程. 解. . 令 0 ( )( )arcsin s r sds = ,则 sin( ( )ss=, 2 cos( ( )1ss=, 1,1s . 因此所求曲线的弧长参数方程为 () 2 22 00 1 (cos( ( ),sin( ( )( 1, ) arcsin1, 2 ss rdd ssss = + . 8. 求圆 222 :C xya+=的渐伸线. 解. . 习题 2.7 第 8 题已经求得圆( cos , sin )rat at=的渐伸线方程为 () 1( ) ( )( ) ( )cos()sin , sin()cosr tr tcs ttatcatt atcatt=+=+. 特别,常数0c =的那一条渐伸线为 () 1( ) ( )( ) ( )cossin ,sincosr tr ts ttatttttt=+. 9 习题答案 2 p. 58 习题 3.1 2. 在球面 2222 ( , , )|1Sx y zxyz=+=上,命(0,0,1)N =,(0,0, 1)S =. 对于赤 道平面上的任意一点( , ,0)pu v=,可以作为一的一条直线经过,N p两点,它与球 面有唯一的交点,记为 p . (1) 证明:点 p 的坐标是 22 2 1 u x uv = + , 22 2 1 v y uv = + , 22 22 1 1 uv z uv + = + , 并且它给出了球面上去掉北极N的剩余部分的正则参数表示; (2) 求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的正则参数表示; (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换; (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设( , )r u vOp=. 如图,, ,N p p三点共线,故有t使得 (1)OptOpt ON = +. (1) 由于 2 1 Op ON = =, 2 22 uv Op =+,0Op ON =,0t ,取上式两边的模长平 方,得 22 2/(1)tuv=+. 从而 22 2222 21 ( , , )( , ,0)(0,0,1) 11 uv x y zOpu v uvuv + =+ + 22 222222 221 , 111 uvuv uvuvuv + = + , 2 ( , )u v . (2) 由(1)可知 ( , , 1)(0,0,1)(,1)rOptNpONt u vtu tvt=+=+=, 又 2( )dttuduvdv= +,所以 2 ( , , 1)(1,0,0) u rt u u vt= +, 2 ( , , 1)(0,1,0) v rt v u vt= +, N p p O q S 10 332 (1,0, )(0,1, )(0,0,1) uv rrt uut vvt= + 22222 (, ()1)(,1)0ttu tv t uvttu tvtt r= += = . (3) 因此( , )rr u v=给出了 2 SN的正则参数表示. (2)令( , ,0)qu v=是,S p两点连线与赤道平面的交点. 同理,有 (1)(,1)Opt Oqt OSt u t v t = +=, 22 2/(1)tuv=+, 22 222222 221 ( , , ) , 111 uvuv rx y zOp uvuvuv = + , 2 ( , )u v . (4) 2 ( , ,1)(1,0,0) u rt u u vt= +, 2 ( , ,1)(0,1,0) v rt v u vt= +, 332 ( 1,0, )(0, 1, )(0,0,1) uv rrt uut vvt= + 22222 (,1()(,1)0tt u t vt uvtt u t v tt r=+=. (5) 因此(4)给出了 2 SS的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得 2222 ()()1uvuv+=,从而上面两种正则参数表示在公 共部分 2 , SN S上的参数变换公式为 22 u u uv = + , 22 v v uv = + . (6) 由(3)和(5)可知 2222 2222222 ( , )(1)1 0 ( , )(1)() u vtuv u vtuvuv + = = = + . 所以参数变换是可允许的,并且是改变定向的参数变换. 注. 如果采用复坐标,令,zuiv wuiv=+=,则上面的参数变换可写成 1/wz=. 这就是广义复平面上的共形变换. (4) 在 2 SN上采用(1)式给出的正则参数表示,在 2 SS上采用正则参数 表示 22 222222 221 ( , ). , 111 uvuv r u v uvuvuv = + 则在公共部分的参数变换公式为 22 u u uv = + , 22 v v uv = + . (4) 由于 22 , SNSS构成 2 S的开覆盖,并且 22 22 222 2 22 22 222 2 2 ()() 222 2 ()() ( , )1 0 ( , )() vuuv uvuv uvvu uvuv u v u vuv + + = + , 所以 2 S是可定向的. 5 写出单叶双曲面 222 222 1 xyz abc +=和双曲抛物面 22 22 2 xy z ab =作为直纹面的参数 方程. 解. . (1) 对单叶双曲面,取腰椭圆 ( )( cos , sin ,0)a uau bu=,(0,2 )u 11 为准线. 设直母线的方向向量为()( )( ),( ),( )l uaX u bY u cZ u=. 则直纹面的参数方 程为 ()( , )( )( )(cos( ), (sin( ),( )r u va uvl uauvX ubuvY ucvZ u=+=+. 由于( , )r u v的分量满足单叶双曲面的方程,可得 222 (cos( )(sin( )( )1uvX uuvY uvZ u+=,v . 由v得任意性得到 cos( )sin( )0uX uuY u+=, 222 ( )( )( )XuYuZu+=. 因此( ):( ):( )sin :cos : 1X uY uZ uuu= . 取()( )sin , cos ,l uau bu c= 得 ()( , )(cossin ), (sincos ),r u vauvu buvu cv=+,( , )(0,2 )u v. (2) 对双曲抛物面,令()xa uv=+,()yb uv=,则2zuv=. 曲面的参数方 程为 ()( , )(), (),2r u va uv b uvuv=+ (,0)( ,2 )(,0)( , ,2 )au buv abuavbvu a bv=+=+, 2 ( , )u v . p. 94 习题 3.2 1. 证明:一个正则参数曲面S是球面它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “”设S是球面,参数方程为( , )r u v,球心为a,半径为R. 则有 22 ( ( , )r u vaR=,, u vD. (1) 微分可得 ()0 u r ra=,()0 v r ra=. (2) 所以()/ uv rarr,从而 uv rarr=,即有函数( , )u v=使得 ( , )( , ) ( , ) ( , ) uv ar u vu vr u vr u v=. (3) 这说明球心a在它的所有法线上. “” 设S的所有法线都经过一个固定点a. 则有函数( , )u v=使得(3)式 成立, 即有 uv rarr=. 分别用, uv r r作内积, 可得(2). 这说明 2 ()0d ra=, 从 而(1)式成立,其中0R (否则S只是一个点,不是正则曲面)是常数. 因此S是以 a为球心,以R为半径的球面,或球面的一部分. 3. 证明: 一个正则参数曲面S是旋转面它的所有法线都与一条固定直线相交. 证明. “”设S是旋转面,旋转轴L为z轴. 它的参数方程为 ()( , )( )cos ,( )sin , ( )r u vf vu f vu g v=,( ( )0)f v . 因为()( )sin ,cos ,0 u rf vuu=,()( )cos ,( )sin ,( ) v rfvu fvu g v=, ()( )( )cos ,( )sin ,( ) uv rrf vg vu g vufv=, 所以S上任意一点( , )r u v处的法线N的参数方程为 ( )( , ) ( , )( , ) uv X tr u vt r u vr u v=+. 由于z轴的参数方程为( )(0,0,1)Y sssk=,并且 12 () ( )cos( )sin( ) ( )0( )cos( )sin( ), 001 uv f vuf vug v f v g vu g vufvr rr k=, 所以L与N共面. 如果L与N处处平行,则()/ uv rrk,从而( )0g v=. 此时S是垂 直于z轴的平面( )zg vc=. 所以当S不是垂直于z轴的平面时, 旋转面S的所有 法线都与z轴相交. “” 通过选取坐标系,不妨设固定直线为z轴. 设S的参数方程为 ( , )( ( , ), ( , ), ( , )r u vx u vy u v z u v=,( , )u vD. 由条件,S的所有法线都与z轴相交,所以法线不能与z轴平行,即 00 (,) ( , )( , )( , ) ,/ ( , )( , )( , ) uv u v y zx zx y rr u vu vu v = (0,0,1), 00 (,)u vD. 因此 00 (,) ( , ) ( , ) u v y z u v , 00 (,) ( , ) ( , ) u v x z u v 不能全为零. 不妨设在 00 (,)u v点邻近 ( , ) 0 ( , ) y z u v . 通过参数变换,曲面的参数方程可以写成 ( , )( ( , ), , )r u vx u v u v=,( , )u vD. (1) 于是 (),1,0 uu rx=,(),0,1 vv rx=,()1, uvuv rrxx=. 因为所有法线都与z轴相交,()0, uv r rr k ,即有0 u xxu+=. 这说明 22 xu+是 一个仅仅依赖于v的函数. 设 222( ) xufv+=, 其中( )0f v . 作参数变换( )cos ,uf vvv=. 由上式得( )sinxf v=,S的参数 方程(1)可以改写为 ( , )( ( )sin ,( )cos , )rvf vf vv=. 这是一个旋转面,由yOz平面上的母线( )yf z=绕z轴旋转而得. 5. 设S是圆锥面( cos , sin , )rvu vu v=,:2 , t C ut ve=是S上的一条曲线. (1) 将曲线C的切向量用, uv r r的线性组合表示出来; (2) 证明:C的切向量平分了 u r和 v r的夹角. (1) 解. . C的参数方程为 ()()cos( 2 ),sin( 2 ),cos( 2 ),sin( 2 ),1 t ttt re et et ett =. C的切向量为 ()() 2 cos( 2 ),sin( 2 ),1sin( 2 ),cos( 2 ),0 2 ( 2 ,)( 2 ,). tt ttt uv ree tttt rt ee rt e = + =+ (2) 证明. . 因为 (sin , cos ,0),(cos ,sin ,1) uv rvu vuruu= =, 在曲线C上每一点t处, () ( 2 ,) sin( 2 ),cos( 2 ),0 tt u rt ee tt = ,()( 2 ,) cos( 2 ),sin( 2 ),1 t v rt e tt =. 由上可知2 t e r =. 所以 13 2 2 21 cos( , ) 22 t u u t u r re r r re r = ,( ,) 4 u r r =; 21 cos( , ) 222 t v v t v r re r r re r = ,( , )( , ) 4 vu r rr r =. p. 104 习题 3.3 2. 设球面的参数方程是 222 222222222 22 , auavuva r uvauvauva + = + . 求它的第一基本形式. 解. 记 222 2/()tuva=+. 则 ( , ,)(0,0,1)rat u va=+, 2 u tut= , 2 v tvt= , ( , ,)(1,0,0) uu rat u vaat=+,( , ,)(0,1,0) vv rat u vaat=+. 所以 ( ) 2 2 2222222 22 2 2222 4 ()2 () uuu a Era tuvaa tt ua ta t uva =+= + , 222222 ()0 uvu vuv Frra t t uvaa tt va tt u=+=, ( ) 2 2 2222222 22 2 2222 4 ()2 () vvv a Gra tuvaa tt va ta t uva =+= + , 从而 2 2222 2222 4 I() () a EduGdvdudv uva =+=+ + . 5. 设在曲面上一点( , )u v,由微分,du dv的二次方程 22 ( , )2 ( , )( , )0P u v duQ u v dudvR u v dv+= (1) 确定了在该点的两个切方向. 证明:这两个切方向彼此正交函数,P Q R满足 20ERFQGP+=, 其中,E F G是曲面的第一基本形式. 证明. 由条件,二次方程(1)有两个互异的实根:du dv和:uv,因此可以分 解为两个一次因子的乘积: 22 1122 2()()PduQdudvRdvAduB dvA duB dv+=+. (2) 其中 1122 ,A B A B是关于变量( , )u v的函数. 因为上式是关于文字,du dv的二次多 项式,比较两边的系数,得 12 PA A=, 1221 2QABA B=+, 12 RB B=. (3) 由(2)可知(1)所确定两个切方向为 11 :du dvBA= , 22 :uvBA= . (4) 这两个切方向彼此正交 ()0Edu uF du vdv uGdv v+= (课本(3.18) 12121212 ()0EB BF B AABGA A+= (由(4)式) 20ERFQGP+=. (由(3)式) 14 8. 已知曲面的第一基本形式为 2222 I()duuadv=+. (1) 求曲线 1: 0Cuv+=与 2: 0Cuv=的交角; (2) 求曲线 2 1: Cuav=, 2 2: Cuav= 和 3: 1Cv =所围成的曲边三角形的各个 边长和各个内角. (3) 求曲线 1: Cuav=, 2: Cuav= 和 3: 1Cv =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知 22 1,0,EFGua=+. 因为交点为( , )(0,0)u v =. 在交点处 2 Ga=. 对于 1 C,dudv= ;对于 2 C,uv=. 所以它们的切方向,drr满足 22 2 222222 1 cos(,) 1 drrdu ua dv va drr a drrdua dvuav + = + + . 于是它们的交角为 2 2 1 arccos1 a a + ,或 2 2 1 arccos 1 a a + . (2) 不妨设常数0a . 如图, 在曲纹坐标下, 1 C与 2 C的交点为(0,0)O, 1 C与 3 C的交点为( ,1)A a, 2 C与 3 C的交点为(,1)Ba. 因为是计算内角,在O点20,0duavdvdv=. 同理,0,0uv=,所以 内角0O=. 在A点220duavdvadv=,0,0uv=,所以 22222 2 cos 6 () drrdu u A drrduuadvu = + . 在B点220duavdvadv= = ,0,0uv=, 22222 2 cos 6 () drrdu u B drrduuadvu = + . 所以0O=,arccos 2/3AB = =. 曲线 1 C, 2 C, 3 C的弧长分别为 1 1 222224 12 0 ()()41() C L CduuadvavvdvL C=+=+= , 3 2222 3 ()()2 a Ca L Cduuadvdua =+= . 注. 在 90 版中,本题为 2 12 : a Cuv=, 2 22 : a Cuv= , 3: 1Cv =,故 2 1: Cuav= 3: 1Cv = 2 2: Cuav= O AB v u 15 1 11 2222242 71 12426 00 ()()1(2)() a C L Cduuadvavvdvv dvaL C=+=+=+= , 3 /2 2222 3 /2 ()() a Ca L Cduuadvdua =+= . (3) 因为 22 dua dudv=+,所以曲边三角形的面积 11 2222 000 2 avav AOBav Adua dudvua dudv =+=+ () 1 2222 0 0 ln1( ) av uu aa au audv =+ () 1 222 0 ln11avvvvdv =+ ()() () 1 3/2 2222222 1 33 0 ln111ln 12.avvvvva =+=+ p. 110 习题 3.4 1. 设空间曲线( )rr s=以弧长s为参数,曲率是. 写出它的切线曲面的参数方 程,使得相应的参数曲线构成正交曲线网. 解. 设曲线( )r s的 Frenet 标架是; , ,r . 则它的切线曲面参数方程可写 为 ( , )( )( )R s tr sts=+. 由sRt =+,tR=可得它的第一基本形式 2222 I(1( )2ts dsdsdtdt=+. (1) 直母线(即t-曲线)0s=的正交轨线的微分方程为0dsdt+=,即()0d st+=. 为此,作 参数变换us=,vst= +. 则逆变换为su=,tvu=,切线曲面的参数方程为 ( , )( )() ( )R u vr uvuu=+. 在新参数下, ( , )( )( )() ( ) ( )() ( ) ( )uRu vuuvuuuvuuu=+=,( , )( )vRu vu=. 第一基本形式化为 2222 I()( )vuu dudv=+. 所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将su=,tvu=直接代入(1)式得到上式: 22222222 I1()( )2()()()( )vuu dudu dvdudvduvuu dudv=+=+. 3. 求曲线( cossin , sincos ,)rvuku vuku ku=+的参数曲线的正交轨线,其
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 个人商铺租赁合同15篇
- 专技人员公共知识培训课件
- 企业劳动合同
- 二手挖掘机买卖合同集合15篇
- 人行法律知识专题培训课件
- 2025标准写字楼租赁合同模板下载
- 2025金属冲压设备制造企业劳务派遣合作协议
- 中国银行吉安市峡江县2025秋招笔试计算机基础专练及答案
- 邮储银行长春市朝阳区2025秋招笔试金融学专练及答案
- 中国银行濮阳市清丰县2025秋招笔试计算机基础专练及答案
- 淮北矿业安全管理办法
- ECMO护理进修汇报
- 建筑施工职业健康与安全防护指南
- 跨境电商股权分配协议范文
- 2025年深圳中考化学试卷真题(含答案)
- 三甲医院影像科管理制度
- T/CCAS 015-2020水泥助磨剂应用技术规范
- 江苏省南京市2024-2025学年高二物理上学期10月月考试题
- GB/T 320-2025工业用合成盐酸
- 2024年公路水运工程助理试验检测师《水运结构与地基》考前必刷必练题库500题(含真题、必会题)
- 2025年社工招聘考试试题及答案
评论
0/150
提交评论