河南郑州第一中学高三数学入学考试理

郑州一中2017-2018上期高三入学测试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合A=x|lnx0=x|0x1，B=xR|z=x+i，i是虚数单位=x|x或x，AB=x|=故选：B点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知向量均为单位向量，若它们的夹角为60，则等于（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】3.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（ ）A. B. 1C. 27D. 【答案】A【解析】依题意二项式系数和为.故二项式为，令，可求得系数和为.4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据函数g（x）的图象知，=，T=，=2；由五点法画图知，x=时，x+=2+=，解得=；g（x）=sin（2x+）；又f（x）向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，f（x）=sin2（x）+=sin（2x）故选：A点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面，若，则下列四个命题：若，则；若，则； 若，则；若，则，其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于,若,则,因为,所以,所以正确;对于,若时,不能推出,所以不能得出,错误;对于,若,则,而,由面面垂直的判定定理有,所以正确;对于,若,又,则的关系不能确定,可能平行,可能相交,可能异面,错误.正确的有,故正确命题的个数为2.选C.点睛:本题主要考查了立体几何中的线面位置关系,属于易错题.在中考查了线面垂直的性质定理,线面垂直,则线线垂直;在中,反例:见下图,直三棱柱中,平面,面,但平面平面,故是错误的; 是考查面面垂直的判定定理;在中, 直线的位置关系不能确定,可能平行,可能相交,可能异面.6.阅读下面程序框图，输出的结果的值为（ ）A. B. 0C. D. 【答案】C【解析】由于即每项的和为零，程序运行得.7.已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知有圆心 到直线的距离为1,所以有 ,当 时,圆心为 在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当时, 圆心为 在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以.选B.8.若变量满足条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】变量x,y满足条件的可行域如图：xy的几何意义是，如图虚线矩形框的面积，显然矩形一个顶点在C求出xy的最小值，顶点在AB线段时求出最大值，由,可得C(1,0)，所以xy的最小值为：0，xy=x(6x)=6xx2，当x=3时.xy取得最大值：9.则xy的取值范围是：0,9.故选：D.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意有，由余弦定理得，由正弦定理得.点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.10.设，若函数存在整数零点，则符合条件的的取值个数为（ ）A 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】令 ,得 ,则有 ,因为 ,所以当 时,所以 可以取 ,相对应 的值为 (其中 时的值不存在),又当 也符合,所以符合条件的 的值共有4个,选C.点睛: 本题主要考查函数零点与方程根问题, 属于中档题. 本题注意自变量 的范围, 不要漏掉这种情况. 考查学生分析问题解决问题的能力.11.已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】以线段 为直径的圆方程为 ,双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ,联立方程 ,求得 ,因为 ,所以有 ,又 ,平方化简得 ,由求根公式有 (负值舍去).选D.点睛: 本题主要考查双曲线离心率, 计算量比较大, 属于中档题. 本题思路: 由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方. 涉及的公式有双曲线中,两点间距离公式, 求根公式等.12.数学上称函数（，）为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（ ）A. 大于B. 小于C. 等于D. 与的大小关系无法确定【答案】A【解析】设，令，则，故近似值大于.点睛：本题主要考查新定义概念的理解，考查基本初等函数的导数的求法，考查近似值的一种求法，考查比较大小的方法.题目所给新定义是一种近似值的求法，阅读理解后，将所求的近似值利用新定义的概念来表示，即，然后利用平方的方法进行大小的比较.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数（），若，则_【答案】【解析】,，=9a+3b，则9a+3b=3a+3b，=3,解得：=，故答案为：.14.由数字2,0,1,7组成没有重复数字的四位偶数的个数为_【答案】10【解析】零结尾的有个，结尾的先排首位，故有个，故有个.15.下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是_【答案】【解析】由三视图可画出该几何体的直观图,如下图,三棱锥,顶点S在底面上的射影为D,且 ,四边形 为正方形,对角线长为,易得 的中点为三棱锥的外接球的球心,所以外接球的半径为 ,体积为 .16.已知函数（），则的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式将化为，利用二次函数与正弦函数性质可得结果.【详解】，当时，时函数的最大值为，此时，函数在时取得最小值1，的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查两角差的正弦函数、二次函数与三角函数的最值，属于难题. 复杂函数的最值问题往往具有特殊性，利用特殊性把不可为之转化为可为之，本题要求最大值转化为求分子的最大值与分母的最小值，并且可以同时取到.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列中，已知，且，为递增的等比数列.（）求数列的通项公式；（）若数列的通项公式（），求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）三个数成等比数列，则，即，由此解得公差的值并求出数列的通项公式.（2）分别令为奇数或偶数，即令或，当时利用分组求和法求得其前项和，当时，利用前项和减去第项来求和.试题解析：解：（）设数列的公差为，由题意，即，解之得，或（舍去），所以 ，即，为所求.（）当，时， ；当，时， .综上，（）.18.河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动I级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：年龄（岁）频数510151055赞成人数469634（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在，两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（）由频数分布表求出年龄在35，45）的频率，从而求出对应的小矩形的高，由此能补全频率分布直方图（）X的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望试题解析：（1）补全频率分布直方图如图年示：（2）所有可能的取值为0，1，2，3，0123所以的数学期望为.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.如图所示的多面体中，是平行四边形，是矩形，面，.（）求证：平面平面；（）若，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（I）在三角形中，利用余弦定理求得，利用勾股定理可的，利用由平面得到，所以平面，进而平面平面.（II）建立以为坐标原点，以射线，分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，利用的方向向量和平面的法向量代入公式计算得与平面所成角的正弦值.试题解析：解：（）证明：在平行四边形中，由余弦定理，得，从而，故.可得为直角三角形且，又由平面，平面，得.又，所以平面.由平面，得平面平面.（）由（）可得在中，又由，设，由平面，建立以为坐标原点，以射线，分别为轴，轴，轴正方向空间直角坐标系，如图所示：得，.设平面的法向量为，得所以令，得，又因为，所以 .所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：本题主要考查余弦定理和勾股定理解三角形，考查面面垂直的证明思路和方法，考查利用向量法求线面角的正弦值.要证明面面垂直，则通过线面垂直来证明，要证明线面垂直，则是通过线线垂直来证明，在证明线线垂直的过程中，可利用勾股定理或者线面垂直来证.空间向量法求解的过程主要注意坐标和法向量不要求错.20.已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.（）求椭圆的方程；（）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的左上方.若，且直线，分别与轴交于，点，求线段的长度.【答案】（1）（2）【解析】试题分析: (1)由已知条件求出 的值,得出椭圆方程; (2)设直线 的方程, 联立直线与椭圆方程,求出两根之和,两根之积,求出 ,得到为等腰直角三角形,求出线段 的长.试题解析:（1）由题意知，解之，得.所以椭圆的方程为；（2）设直线，将代入中，化简整理，得，得，于是有，注意到，上式中，分子，从而，由，可知，所以是等腰直角三角形，即为所求.点睛:本题主要考查了求椭圆方程以及直线与椭圆相交时求另一线段的长,计算量比较大,属于中档题.解题思路:在(1)中,直接由已知条件得出;在(2)中,通过求出,而,得出,得到为等腰直角三角形,再求出线段 的长.21.已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（）求出f（x）的导数，由两直线垂直的条件：斜率相等，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而f（x）的解析式和导数，求出单调区间，可得f（2016）f（2017），即可得到20162017与20172016的大小；（）运用分析法证明，不妨设x1x20，由根的定义可得所以化简得lnx1kx1=0，lnx2kx2=0可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1lnx2=k（x1x2），要证明，即证明lnx1+lnx22，也就是k（x1+x2）2求出k，即证，令 ，则t1，即证令（t1）求出导数，判断单调性，即可得证试题解析：（1）依题意得，所以，又由切线方程可得，即，解得此时，令，即，解得；令，即，解得所以的增区间为，减区间为所以，即，.（2）证明：不妨设因为所以化简得，可得，.要证明，即证明，也就是因为，