怎样利用向量证明三点共线与四点共面问题

考武 山 东 利用向量证 明三点共线和 四点共面 问题是现行 高中教材第二册 ( 下 B ) 中的基本问题 ， 有些学生对这 类问题无从下手乱写一通 ， 找不到解决这类 问题的关 键 ， 其主要问题就在于对利用 向量证明三点共线与 四 点共面的实质不理解 ， 解决这类问题的实质和关键主 要是通过证明其所对应 的向量共线和共 面来解决 三 点共线和四点共面问题 ， 就是把证明三点共线和 四点 共面问题转化为证明向量共线 和共面问题， 其主要理 论 是两 个 定理 和两 个 推论 及反 证 法 。 I 、 共线 向量 定理 对空问任意两个向量 a ， b ( b O ) ， a b 的充要条 件是存在实数 使 a=k b 推论 如果 L为经过已知点 A且平行于 已知非零 向量 a 的直线 ， 那么对任一点 O， 点 P在直线 L上的充要条 件是存在实数 t ， 满足等式 OP=X0A +t a 其中向量叫做直线的方 向向量 在 L上取A B：a 在O P=X O A+t a 可化为 O P=O A+t A B O P=( 1 一t ) O A+t OB 上述定理和推论就告诉人们证 明三点共线 的具 体方法就是 ： A， B ， C三点共线铮A B A c 存在实数 t ， 使A C= t A 卫 存 在实数 t ， 使O C=( 1 一t ) O A+t O B 例题 1 已知点 A ( 2 ， 一5 ， 一1 ) ， B ( 一1 ， 一4 ， 一2 ) ， C (一4 ， 一3 ， 一3 ) 求证 ： 点 A、 B、 C共线 证 明 ： ( 一 ) 由 已知 A( 2 ， 一5 ， 一1 ) ， B (一1 ， 一4 ， 一 2 ) ， C ( 一4 ， 一3 ， 一3 ) 任荣 民 得 ： A B=( 一3 ， 1 ， 一1 ) ， A C=(一6 ， 2 ， 一2 ) 。 2 (一3 ， 1 ， 一1 ) ：( 一6 ， 2 ， 一2 ) AC =2AB 由共线向量定理得 ： 点 A、 B 、 C共面 ( -) 设 O( x ， Y ， z ) 是空间任一点。 由已知 A( 2 ， 一5 ， 一1 ) ， B( 一1 ， 一4 ， 一2 ) ， C (一4 ， 一 3 ， 一3 ) 得 ： O A=( 2一X ， 一5一Y ， 一1 一z ) ， O B=(一1一x ， 一 4一Y ， 一2一z ) O C=( 一4一X ， 一3一Y ， 一3一z ) 设 O A=( 1 一X ) O B+ O C ( X ER) 即 ： ( 2 一X ， 一5一Y ， 一1 一z ) = ( 1 一 ) (一1 一X ， 一4 一Y ，一2一z ) + ( 一4一X ， 一3 一 Y ， 一3一z ) = 一 1 。 O A=( 1 +1 ) O BO C 由向量共线定理 的推论得 ： A、 B 、 C三点共线。 2 共 面 向量 定理 如果两个向量 a b 不共线 ， 则 向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在实数对 x ， y 使 P=X 8+y b 推论 空间一点 P位于平面 MA I l 内的充分必要 条件是 存在有序实数对 X ， Y 使 MP=XMA +YMB 或对空 间任一定点 O， 有O P=O M+x M A Y MB 上述定理和推论 就告诉人们证 明 四点共 面的具 体方法就是 ： A、 B、 C、 D四点共面铮A D 与A B， A C 共面苗存在实 Il ， 维普资讯 麓音 !； ； i E 缉合 薯。 - 薯 考试 山西金 良 以几何 为背 景的排列组合题受几何体 中各 元素 位置关系制约， 因而难度较大 、 综合性较强 ， 加之题 目 类型多 ， 且有一定的切入点和转化技巧 。为 了达到纲 举 目张的效果， 本文将对高中阶段此类问题 的常见题 型作分门别类的剖析。 一 、点 、 线 、 面 间基 本 组 合 问题 。 在 充 分 考 虑 线 面 位 置关 系 的 同时 。 可 使 用直 接法 或 间接 法 例 1 ( 9 0年全 国高考题 ) 以一个 正方体 的顶点 为顶点的四面体共有 ( ) ( A ) 9 0 个 ( B ) 6 4 个 ( c ) 5 8个 ( D) 5 2个 分析与略解一 ： ( 直接法) 把正方体看成八个顶点 在两个平行平面上 ， 每个平面 4个点 。满足题意 的四 面体分两类 ： 一类是一个平面取 1 点 ， 另一个平面取 3 点 ； 另一类是每个平面各取两点， 再去掉 4个侧 面和 6 个对角面， 所 以总共有 qC i +( ( = 暑 一1 0 )=5 8 个 选 ( C ) 分析与略解二 ： ( 间接法 ) “ 全部 ” 为 ， 去掉共 面 的 4个侧面、 2 个底面和 6个对角面 共有不 同的四 面体 4 2 6：5 8个 选( c ) 数对 x ， Y ) ， 使A D=x A B+YA 存在实数 x ， Y 使O D：( 1 一xy ) O A+x O B+YO C 例题 2已 知 A( 1 ， 0 ， 1 ) ， B( 4 ， 4 ， 6 ) ， C( 2 ， 2 ， 3 ) ， D 求证 ： A、 B 、 C、 D共面 证 明 ： ( 一 ) 由 已知 A( 1 ， 0 ， 1 ) ， B( 4 ， 4 ， 6 ) ， C( 2 ， 2 ， 3 ) ， D 设 A D=x A B+Y AC ( x ， y 6R) ( 9 ， 1 4 ， 1 6 ) =x ( 3 ， 4 ， 5 ) +Y ( 1 ， 2 ， 2 ) r 3 x+Y=9 ： x + 2 y = 1 h 3 5x+2 v： 1 6 Y 由向量共面定理得 ： A、 B、 C 、 D共面。 ( 二) 设 O( x ， Y ， z ) 是空间任一点 。 由已知 A( 1 ， 0， 1 ) ， B( 4， 4 ， 6 ) C( 2 ， 2 ， 3 ) ， D( 1 0 ， 1 4 ， 得 ： O A=( 1 一x ， Y ， 1 一z ) ， O B=( 4一x ， 4v ， 6一 O D=( 1 0一x ， 1 4一Y ， 1 7一z ) 设 O A=( 1 一mn ) O B+mO C+n O D( m、 n 6R) ( 1 一x ， 一Y ， 1 一z ) ：( 1 一mn ) ( 4一x ， 4一y ， 6一z ) +m( 2一x ， 2一Y ， 3 一z ) +n ( 1 0一x ， 1 4一Y ， 1 7一z ) f I l l =1 解得 ： 1 L “ 一 O A = ( 1 1 吉) o B + O C 一 言0 D 由向量共面定理的推论得 A 、 B 、 C 、 D共面。 3 、 反证 法 例题 3 已知平 面 a ， p且 a np ：1 ， P A j _ a ， P B j _ p ， A， B为 垂 足 P C j _ l ， C为 垂 足 证 明 ： P 、 A 、 B 、 C共 面 证明： 设 P 、 A、 B、 C不共面 ， 则 P A、 P B 、 P C不共面 。 在 P A、 P B、 P C 、 l 上分别取非零向量 a ， b， C ， l ，