高中数学必修2第二章点线面之间的位置关系导学案

2.1.1 平面 学习目标 1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.学习过程 一、课前准备（预习教材P40 P43，找出疑惑之处）引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学探究1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面,平面,平面等.规定：画平行四边形，锐角画成，横边长等于其邻边长的2倍；两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：点在平面内，记作；点在平面外，记作.点在直线上，记作，点在直线外，记作.直线上所有点都在平面内,则直线在平面内(平面经过直线),记作；否则直线就在平面外，记作.探究2：平面的性质问题：直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?有两个公共点呢?新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：且问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面.完成P42思考新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面与平面相交于直线，记作.公理3用集合符号表示为且,且 典型例题例1 P43例2 如图在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：直线在平面内；设上下底面中心为，则平面与平面的交线为；点可以确定一平面；平面与平面重合.练习P43: 1、 2 、3、 4三、学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)； 3. 用符号表示点、线、面的关系.当堂检测：1. 下面说法正确的是（ ）.平面的面积为个平面重合比个平面重合厚空间图形中虚线都是辅助线平面不一定用平行四边形表示. A. B. C. D.2. 下列结论正确的是（ ）.经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面经过两条相交直线，可以确定一个平面经过两条平行直线，可以确定一个平面经过空间任意三点可以确定一个平面 A.个 B.个 C.个 D.个3. 如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.都不对 4. 直线相交于点，并且分别与平面相交于点两点，用符号表示为_.5. 两平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定_个平面.6.如图在正方体中，是顶点，都是棱的中点，请作出经过三点的平面与正方体的截面.2.1.2空间直线与直线之间的位置关系学习目标 1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.学习过程 一、课前准备 （预习教材P44 P47，找出疑惑之处）复习1：平面的特点是_ _、 _ _ _ 、_ _.复习2：平面性质(三公理)二、新课导学探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线与的位置关系如何？结论：直线与既不相交，也不平行.新知1：像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：在长方体中，直线，那么直线与平行吗?新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,与,与的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何? 新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图2-2新知5: 如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ,，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.反思：思考下列问题. 作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗?点的位置怎样取才比较简便? 异面直线所成的角的范围是多少? 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? 典型例题例1 课本P45例2例2 在正方体中，求下列异面直线所成的角.和 和练习: 正方体的棱长为，求异面直线与所成的角.三、学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法； 2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.知识拓展 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，则直线与直线是异面直线. 当堂检测：1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是（ ）.A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线3. 已知,，且是异面直线，那么直线（ ）. A.至多与中的一条相交 B.至少与中的一条相交 C.与都相交 D.至少与中的一条平行4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有_条.5. 长方体中,=1，异面直线与所成角的余弦值是_.2.1.3空间直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1. 掌握直线与平面之间位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.学习过程 一、课前准备（预习教材P48 P50，找出疑惑之处）复习1：空间任意两条直线的位置关系有_、_、_三种.复习2：异面直线是指_的两条直线,它们的夹角可以通过_ 的方式作出,其范围是_.复习3：平行公理：_；空间等角定理：_ _.二、新课导学探究1：空间直线与平面的位置关系问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图直线与长方体的六个面有几种位置关系?新知1：直线与平面位置关系只有三种：直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行其中，、两种情况统称为直线在平面外.反思：从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的符号后面请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.探究2：平面与平面的位置关系问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?新知2：两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.典型例题例1 下列命题中正确的个数是（ ）若直线上有无数个点不在平面内，则.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.A. B. C. D.例2 已知平面，直线，且,，则直线与直线具有怎样的位置关系?练1 课本P49练习练2. 已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面： ,； ,；,； ,；,. 其中正确的命题是（ ）A. B. C. D.三、学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性. 当堂检测：1. 直线在平面外，则（ ）. A. B. 与至少有一个公共点 C. D . 与至多有一个公共点2. 已知，则（ ）. A. B.和相交 C.和异面 D.与平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）. A.1对 B.1对或2对 C.1对或2对或3对 D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与此直线平行的直线有_条；过直线外一点与此直线平行的平面有_个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是_.课后作业 1. 已知直线及平面满足: ,则直线的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）学习目标 1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法； 4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.学习过程 一、课前准备（预习教材P40 P50，找出疑惑之处）复习1：概念与性质平面的特征和平面的性质(三个公理)； 平行公理、等角定理；直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系点与线、点与面的关系； 线与线、线与面的关系；面与面的关系.二、新课导学典型例题例1 如图,在平面外，求证：,三点共线.小结：证明点共线的基本方法有两种找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例2 如图,空间四边形中，,分别是和上的点，,分别是和上的点，且相交于点.求证：,三条直线相交于同一点. 小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.例3 如图,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.练1. 课本P52 B组1练2. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?三、 学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.异面直线的判定方法：定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.定理法：利用异面直线的判定定理说明.反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾. 当堂检测：1. 直线,在上取3个点，在上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）. A.1个 B.3个 C.6个 D.9个2. 下列推理错误的是（ ）. A., B., C., D., ,且,不共线3. ,是异面直线,是异面直线，则,的位置关系是（ ）. A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面_.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线_.6.在正方体中,分别是和的中点，求异面直线与所成的角.7 如图,已知不共面的直线,相交于点，,点是直线上两点，,分别是直线,上一点.求证：和是异面直线. 2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.学习过程 一、课前准备（预习教材P54 P55，找出疑惑之处）复习：直线与平面的位置关系有_，_，_.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？二、新课导学探究1：直线与平面平行的背景分析实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边与墙所在的平面位置关系如何？ 图5-1 图5-2实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？结论：上述两个问题中的直线与对应平面都是平行的.探究2：直线与平面平行的判定定理问题：探究两个实例中的直线为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 如图5-3所示，.图5-3反思：思考下列问题用符号语言如何表示上述定理；上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？如果要证明这个定理，该如何证明呢？典型例题例1 有一块木料如图5-4所示，为平面内一点，要求过点在平面内作一条直线与平面平行，应该如何画线？图5-4例2 课本P55例1练1. 正方形与正方形交于，和分别为和上的点，且，如图5-6所示.求证：平面.图5-6练2. 已知,分别为的中点，沿将折起，使到的位置，设是的中点，求证：平面.三、学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题. 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法：利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明.利用判定定理，证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)当堂检测：1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（ ）. A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行 B.直线与平面不相交，则平面 C.是平面外两点，是平面内两点，若，则平面 D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果、是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线的位置关系是（ ）. A.平行 B.相交 C.在此平面内 D.平行或相交4. 在正方体的六个面和六个对角面中，与棱平行的面有_个.5. 若直线相交，且，则与平面的位置关系是_.6.课本P5622.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标 1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程 一、课前准备（预习教材P56 P57，找出疑惑之处）复习1：直线与平面平行的判定定理是_.复习2：两个平面的位置关系有_种，分别为_和_.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?二、新课导学探究：两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题如图6-1，,面，则面面吗？图6-1 图6-2 图6-3如图6-2，则吗？如图6-3，直线和相交，且、都和平面平行(为什么)，则平面平面吗？反思：由以上3个问题，你得到了什么结论新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.如图6-4所示，.图6-4反思：定理的实质是什么?用符号语言把定理表示出来. 如果要证明定理，该怎么证明呢？ 典型例题例1 课本P57例2例2 如图6-6，已知是两条异面直线，平面过，与平行，平面过，与平行，求证：平面平面图6-6小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.练. 如图6-7，正方体中，分别是棱，的中点，求证：平面平面.图6-7三、 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.判定平面与平面平行通常有5种方法根据两平面平行的定义(常用反证法)；根据两平面平行的判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论). 当堂检测：1. 平面与平面平行的条件可以是（ ）. A.内有无穷多条直线都与平行 B.直线与都平行，且不在和内 C.直线,直线,且, D.内的任何直线都与平行2. 经过平面外的一条直线且与平面平行的平面（ ）. A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个3. 设有不同的直线，及不同的平面、，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）.若,则若,则若,则.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是_.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是_.课后作业 2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标 1. 掌握直线和平面平行的性质定理；2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.学习过程 一、课前准备（预习教材P58 P60，找出疑惑之处）复习1：两个平面平行的判定定理是_；它的实质是由_平行推出_平行.复习2：直线与平面平行的判定定理是_.讨论：如果直线与平面平行，那么和平面内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学探究：直线与平面平行的性质定理问题1：如图，直线与平面平行.请在图中的平面内画出一条和直线平行的直线.问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在上图中把直线确定的平面画出来，并且表示为.问题3：在你画出的图中，平面是经过直线的平面，显然它和平面是相交的，并且直线是这两个平面的交线，而直线和又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：在图中过直线再画另外一个平面与平面相交，交线为.直线,平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?新知：直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？ 典型例题例1 课本P59例3例2课本P59例4小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件线面平行，即；面面相交，即=；线在面内，即.练1. 如图，已知，求证：.练2. 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.三、学习小结1. 直线和平面平行的性质定理运用；2. 体会线线平行与线面平行之间的关系.在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结论.当堂检测：1. 、表示直线，表示平面，可以确定的条件是（ ）. A., B., C., D.、和的夹角相等2. 下列命题中正确的个数有（ ）.若两个平面不相交，则它们平行；若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行；空间两个相等的角所在的平面平行. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3. 平行四边形的四个顶点、 分别在空间四边形的四条边、上，又，则（ ）. A. ，不平行于 B. ，不平行于 C. ， D .以上都不对4. 和是异面直线，则经过可作_ _个平面与直线平行.5. 异面直线都和平面平行，它们和平面内同一条直线的夹角分别是和，则和的夹角为_.课后作业 1. 如图7- 6，在所在平面外有一点，、分别是，过作平面平行于，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.图7-62. 已知异面直线都平行于平面，且、在两侧，若与平面相交于、两点，求证：.2.2.4 平面与平面平行的性质学习目标 1. 掌握两个平面平行的性质定理；2. 灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.学习过程 一、课前准备（预习教材P60 P61，找出疑惑之处）复习1：直线与平面平行的性质定理是_.复习2：平面与平面平行的判定定理是_.讨论：如果平面和平面平行,那么平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?二、新课导学探究：平面与平面平行的性质定理问题1：如图，平面和平面平行，.请在图中的平面内画一条直线和平行. 问题2：在图中，把平行直线所确定的平面作出来，并且表示为.问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线分别是和、的交线，并且它们是平行的.根据以上论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.问题4：在图中，任意再作一个平面与都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？新知：两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.反思：定理的实质是什么? 练习:课本P61 典型例题例1 如图，且，.求证：. 例2 已知平面平面,夹在之间，分别为的中点，求证：，.(提示：注意的关系)小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面.练. 已知平面平面,，直线与交于点，且,，, 当在之间时，长多少？当不在之间时，长又是多少？三、学习小结1. 平面与平面平行的性质定理及应用；2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换. 知识拓展 两个平面平行，还有如下结论：如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.当堂检测：1. 下列命题错误的是（ ）. A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交2. 是不重合的直线，是不重合的平面：，则 ，则，则且 上面结论正确的有（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3. 个平面把空间分成个部分，则（ ）. A.三平面共线 B.三平面两两相交 C.有两平面平行且都与第三平面相交 D.三平面共线或有两平面平行且都与第三平面相交4. 直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_. 5. 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面_.课后作业 1. 若面面，面面，求证：.2. 设是单位正方体的面、面的中心，如图，证明：平面；面面.2.2 直线、平面平行的判定及其性质(练习)学习目标 1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理,能合理选用证明平行关系；2. 熟练掌握线线、线面、面面之间的相互转化关系.学习过程 一、课前准备（预习教材P54 P63，找出疑惑之处）复习1：直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？判定定理性质定理复习2：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：线线平行 线面平行面面平行 二、新课导学典型例题例1 如图，在正方体中，分别为，的中点.求证：； .例2 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点，证明：直线 小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行，线面平行到面面平行，最后又回到线线平行这一过程,归根结底还是线线平行.练1. 课本P62 8练2. 如图，右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和右边画出（单位：）在所给直观图中连结，证明：面；求多面体体积.46422EDABCFG2练3. 课本P63 3三、 学习小结线面平行、面面平行判定定理和性质定理的熟练运用；平行关系的熟练转化. 当堂检测：1. 下列条件能推出平面平面的是（ ）. A.存在一条直线， B.存在一条直线， C.存在两条平行直线， D. 存在两条异面直线，2. 设为两条直线，为两个平面，下列三个结论正确的有（ ）个.若与所成的角相等，则若，则若，则 A.0 B.1 C.2 D.33. 和是夹在平行平面间的两条异面线段，分别是它们的中点，则和（ ）. A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定4. 在由正方体棱的中点组成的直线中，和正方体的一个对角面平行的直线有_条.5. ,试在横线上写出条件，使得._课后作业 1. 如图，四边形是矩形，是、的中点，求证：面.2. 如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：面.2.3.1 直线与平面垂直的判定学习目标 1. 理解直线与平面垂直的定义；2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.学习过程 一、课前准备（预习教材P64 P67，找出疑惑之处）复习1：当两条直线的夹角为_，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_或_.复习2：如图，直线，请你任意作出至少3条和垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面垂直的直线吗？二、新课导学探究1：直线和平面垂直的概念问题：如图，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知1：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图课本P64图2.3-3所示.反思：如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直？结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如图课本P65图2.3-5所示. 反思：折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗?如图10-5，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论?新知2：直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是角.典型例题例1 如图，已知，求证：.例2 课本P66例2练1. 课本P67练习1 2练2. 如图，在Rt中，斜边，其射影，,求与平面所成角的正弦值.三、学习小结1. 直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；2. 直线与平面所成的角的定义及求法.当堂检测：1. 直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（ ）. A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能2. 已知直线和平面，下列错误的是（ ）. A. B. C.或 D.3. 是异面直线,那么经过的所有平面（ ）. A.只有一个平面与平行 B.有无数个平面与平行 C.只有一个平面与垂直 D.有无数个平面与垂直4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是_.5. 若平面平面,直线,则与_.6. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接、，若，则点在的什么位置？7. 如图，在正方体中，是底面的中心，为垂足，求证：面. 2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标 1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.学习过程 一、课前准备（预习教材P67 P69，找出疑惑之处）复习1：若直线垂直于平面，则这条直线_ _平面内的任何直线；直线与平面垂直的判定定理为_.复习2：什么是直线与平面所成的角?直线与平面所成的角的范围为_ _.二、新课导学探究1：二面角的有关概念问题：课本P67图2。2-10中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图2.3-11中的二面角可记作：二面角或或. 问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：图2.3-12，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.反思：两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？你觉的二面角的大小范围是多少？二面角平面角的大小和点的选择有关吗？除以上作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直. 如图2.3-13，垂直，记作.问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.反思：定理的实质是什么?典型例题例1 课本P69例3课本P69探究 练习例2 如图，在正方体中，求面与面所成二面角的大小（取锐角）. 小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(为什么?) 练. 如图，在空间四边形中， =90，求证：平面平面.求二面角的平面角的正弦值. 三、学习小结1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用. 知识拓展 当堂检测：1. 以下四个命题，正确的是（ ）. A.两个平面所成的二面角只有一个 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角 C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个 D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,平面,能得出的一个条件是（ ）. A. B. C. D.3. 在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（ ）. A.相交不垂直 B.相交成60角 C.互相垂直 D.互相平行4. 二面角的大小范围是_.5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系_.课后作业 1. 如图，面，设=，求证：2. 如图，在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角）2.3.3 直线与平面垂直的性质学习目标 1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；2. 了解反证法证题的思路和步骤；3. 掌握平行与垂直关系的转化.学习过程 一、课前准备（预习教材P70 P71，找出疑惑之处）复习1：什么是二面角？什么是二面角的平面角？当两个平面所成的二面角_时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定定理是_.复习3：垂直于同一直线的两条直线的位置关系是_；垂直于同一平面的两个平面的位置关系是_.二、新课导学探究：直线与平面垂直的性质定理问题1：东升汇景酒店门口竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题2：课本P70思考反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？典型例题例1 如图，已知直线平面，直线平面，求证：.小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明,我们假设不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：.这种证明命题的方法叫做“反证法”.新知：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.反思：这个定理揭示了什么?例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行.小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.练1. 如图，于点，于点，且，求证：.练2. 如图，是异面直线的公垂线（与都垂直相交的直线），求证：