微分方程在几类实际问题中的应用

毕业设计（论文）题目名称：微分方程在几类实际问题中的应用院系名称：理学院班 级：数学102学 号：3学生姓名：陈博先指导教师：宋长明2014年 6 月论文编号：3微分方程在几类实际问题中的应用Application of Differential Equation in Several Practical Problems院系名称：理学院班 级：数学102学 号：3学生姓名：陈博先指导教师：宋长明 2014年6 月摘 要在数学上,物质运动和其变化规律是用函数关系进行描述的,但是实际问题中常常不能直接写出反应相应规律的函数,却比较容易建立起这些变量与它们的导数之间的关系式,即微分方程.只有一个自变量的微分方程即为常微分方程,简称为微分方程.本文讨论的是微分方程在实际问题中的应用.微分方程在各个学科领域都可以发挥出其数学优势,将微分方程理论和实际问题结合起来,便可建立实际问题的模型.本文在介绍微分方程应用背景的基础上,结合微分方程的概念性质,利用归纳总结的方法探讨了常微分方程在物理问题、生物问题、军事问题、经济问题和医学问题等“现实生活”中问题的应用,同时结合相应实例进行分析.从这些应用问题中,我们可以看出：微分方程,它确实是数学联系实际的一个活跃分支. 关键词：微分方程；实际问题；应用；数学模型AbstractIn mathematics, the motion of matter and its change rule are described by the relationship of function. But for practical problems , compared with writing the reaction of the corresponding rules directly, establishing the relationship between these variables and their derivatives named differential equation becomes relatively easy. Only a variable of differential equation is called ordinary differential equation, for short differential equation.In this paper, we discuss the application about differential equations in the actual problems. Differential equation can perform its mathematical advantage in various disciplines.Combining differential equation theory and practical problems, we can establish the model of the actual problems.Based on the application background of differential equation and combined with the concept and nature of differential equation,this paper discussed the application of ordinary differential equation in the field of physics,biology,military,economic and medicine,and so on,with the method of summarizing. From these applications,we can see that differential equation is really a active branch of connetting math and practical problems.Keywords: differential equations；the actual problem；application；mathematical model 目 录1引 言12 微分方程简介22.1 微分方程的概念22.1.1微分方程22.1.2微分方程的阶22.2高阶微分方程解法22.2.1可降价高阶微分方程的解法32.2.2线性微分方程解的结构32.2.3二阶常系数齐次线性方程解法42.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法42.3微分方程建立模型的主要方法52.3.1定理规律法52.3.2模拟近似法52.3.3微元分析法52.4微分方程解决问题的基本步骤52.4.1基本步骤52.4.2案例分析53 微分方程在实际问题中的应用73.1 微分方程在物理问题中的应用73.2 微分方程在生物问题中的应用93.3 微分方程在军事问题中的应用103.4微分方程在经济问题中的应用123.4.1新产品推广模型123.4.2价格调整模型133.5 微分方程在医学问题中的应用153.5.1模型153.5.2模型163.5.3模型173.5.4模型19结 论21参考文献22致 谢23III中原工学院理学院毕业论文1引 言客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映,便有变数（或变量）概念.事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的,反映在数学上,就是变量之间的关系,从而又形成了函数的概念.由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数（或微分）间的关系式,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知变量直接的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.因而,研究微分方程具有很重要的应用价值和实际意义.本文研究的主要是常微分方程在实际问题中的应用,在生物、物理、化学等学科中都有微分方程的应用.微分方程是数学理论联系实际的重要渠道,它是研究许多自然科学、工程技术以及生物医学技术等实际问题的有力工具.本论文内容由两部分组成：第一部分,通过查阅教材和相关资料收集总结微分方程的定义性质,通过阅读前人文献以及向老师同学请教总结利用微分方程建立模型解决实际问题的方法和基本步骤；第二部分,这一部分总共选择了五个学科领域,通过举例建立模型分析了微分方程分别在物理、生物、军事、经济和医学方面的应用,这一部分选择了与我们生活更加相关联的经济问题和医学问题作为重点,分别从不同方面建立相关的微分方程模型并求解分析其实际意义,这一部分介绍了微分方程解决实际问题的能力及其便利性. 2 微分方程简介在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下,微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用,刺激和推动了一系列应用分支的形成,微分方程理论正是在这一时代背景下应时而兴的.本章简单的介绍了微分方程的相关概念以及微分方程解决问题的步骤和方法.2.1 微分方程的概念2.1.1微分方程许多客观的变化过程包含一定的函数关系,但是这个函数关系一般无法获得.然而,可以根据实际背景和各种有用信息建立起一个包涵未知函数的导数方程.一般的,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,例如下面的方程:在许多问题中,不能够直接求出所需要的函数关系.但是能够根据实际问题的背景与各种客观规律建立起关于未知函数的一个微分方程.研究微分方程就可以求出这个函数,从而获得相关问题的各方面的有用信息.2.1.2微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶.例如,方程的阶数为1；方程的阶数为2.阶数为一的微分方程为一阶微分方程,阶数为二及其以上的微分方程为高阶微分方程,本文主要讨论二阶微分方程.例如的微分方程称为一阶微分方程；为三阶微分方程.2.2高阶微分方程解法对于高阶微分方程的求解,一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些.因为本论文主要用到二阶常微分方程,故本节主要介绍常见的二阶常微分方程的相应的解法.2.2.1可降价高阶微分方程的解法型解法：接连积分n次,即得通解.型特点：不显含未知函数y解法：令,代入原方程,得.型特点：不显含自变量x.解法：令,代入原方程,得.2.2.2线性微分方程解的结构二阶齐次方程解的结构：形如方程的解为：若是解,则也是解；若是两无关解,则是通解.二阶非齐次线性方程解的结构：形如方程的解为：非齐次方程的任两解之差是相应齐次方程的解,则有：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解.若,则.若是的特解,则分别是的特解.2.2.3二阶常系数齐次线性方程解法形如的方程即为二阶常系数齐次线性方程,又此类方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.如特征方程为,则其通解如下：表2-1 通解表格特征根的情况通解的表达式实根实根实根2.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法形如的方程即为二阶常系数非齐次线性微分方程,此类方程的解法称为待定系数法.型可设,型可设,其中,是次多项式,.2.3微分方程建立模型的主要方法2.3.1定理规律法在数学、物理、化学等学科领域有许多定理和规律,它们或以文字存在、或以方程存在.比如数学里面的斜率公式、弧长公式,物理里面的牛顿定律、万有引力定律、虎克定律等.这些都有其相应的方程,在解决相关问题的时候,可以以相应的规律方程建立模型求解.2.3.2模拟近似法 在生物、经济、医学等学科领域中,微分方程也能够发挥其便利性和可行性.然而在这些实际问题中,往往给出的数据都是个我们生活息息相关的不确定词,而且大部分又无规律可循.故而此时,我们往往需要对相关数据和变量进行假设模拟,建立相应的微分方程模型求解.2.3.3微元分析法 微元分析法就是利用已知的定理与规律寻找微元直接的关系式,与定理规律法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律.2.4微分方程解决问题的基本步骤2.4.1基本步骤理解题意选择建立模型的方法；根据题意建立常微分方程模型；判断微分方程类型解出模型精确解或近似解或者研究解的性态；解的实际意义.2.4.2案例分析 本小节选择几何里面的一道例题进行分析,题意如下:例1 曲线簇是由微分方程所确定的,求出另一簇曲线,它和前一簇曲线在相交点处均互相垂直,即于交点处切线相互正交.分析 本题是求与已知曲线交点垂直的曲线,故可通过曲线率来求出曲线方程.本题按照定了规律法建立微分方程模型进行求解.解 由题中方程可解出,此簇曲线在点处的切线斜率为：又,所求的曲线簇与之正交,故,此曲线斜率为：整理得：这便是所求的曲线簇的微分方程.模型建立完成,此微分方程是一阶微分方程.下面,我们来解此方程.方程变形为：即解得：,即这是一簇通过原点,且圆心在上的圆.本题是利用微分方程解答几何问题,在几何上的应用主要是用曲线的法线斜率、切线斜率、曲率、曲边梯形面积等来描述一些所求的曲线或者图形的几何特征.3 微分方程在实际问题中的应用 常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等,这些问题都可以通过建立数学模型化为求微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题本章选取了物理、生物、军事、经济和医学五个方面,通过上一章的微分方程解决实际问题的总结,从而举例并研究了微分方程在实际问题的应用.3.1 微分方程在物理问题中的应用 物理学中有很多常用的物理规律,如牛顿运动定律、万有引力定律等.在解物理应用题的时候,我们可以结合微分方程理论与这些物理定律列出相应的微分方程模型,然后求出解并对之分析.我们可以通过以下例题进行相应解析：例2 一子弹以速度垂直地射进一块厚度为10的板,穿透后以速度飞出,假设板对子弹运动的阻力与运动速度的平方成正比,问子弹在板子里经过了多少时间？分析 本题是讨论物体运动规律的物理问题,由此便想到利用定理规律法.由题意可以知道,子弹在木板中只受到一个力,即木板的阻力,为比例系数8.解 设在时刻子弹穿入板的厚度为,由牛顿第二定律知应满足的微分方程是,即这便是本题的微分方程模型,可以看出此模型二阶其次微分方程,相应求解为：其初始条件为:令,则.于是有,.由初始条件,定出,故 （3.1.1）积分得,由定出,故 （3.1.2）注意到式（3.1.1）,当时有,即代入式（3.1.2）得从而得到,子弹在板内经过的时间为 本题是牛顿运动学相关的问题,本题采用的是定理规律法利用牛顿第二定律建立的微分方程模型.从本题的结果可知,子弹在木板内经过的时间及其的小,从这些数据我们可以感受物理的奥妙以及微观世界里面强大的力量.3.2 微分方程在生物问题中的应用 生物学不像数学、物理那样有许多规律可用,生物问题是我们生活中典型的实际问题.对于此类问题的分析,数学模型的建立没有那么多的工具可用,故一般需要利用模拟近似法进行求解,我们可以通过下面例题感受微分方程在解决生物问题方面的能力.例3 用微分方程分析生物总数问题.分析 对于生物方面的问题,我们可以采用模拟近似法.本来生物总数只取离散的整数值,绝非时间t的可微函数,因此似乎不能用微分方程来描述其变化,但若事先能肯定这个总算很大,且在短时间内只有少量的增减,则可近似地认为这个总数是t的连续函数,甚至是可微函数,于是可用微分方程来描述.解 设为在时刻t的生物总数,为出生率与死亡率之差.若这种生物是孤立系统,即既无迁出才,有无迁入,则总数的时间变化率为： （3.2.1）这即是描述生物总数变化情况的模型一阶常微分方程.在最简单的模型中,设为常数,得线性方程 （3.2.2）若在某个计算起始时刻统计出总数为,即得初值条件 （3.2.3）模型（3.2.2）与实际情况的偏离较大,通常设,而采用模型 （3.2.4）常数、为生物总数的生命系数.一般说,它们可按统计结果算出.方程（3.2.4）是Bemoulli方程当的情况.当在和为常数时,这个方程可用分离变量法求解设在时刻的生物总数是,将代入上式积分得：或 由此可解出： （3.2.5）由式（3.2.5）可看出,当时,有,且当时,是单增函数.此外,因此时设,必有,则有,故是单增的.而当时,是单减的.上式讨论表明：在生物总数达到其极限值的一半以前的期间,是加速生长时期,过这一时刻以后,生长的速度逐渐减少,而为减速生长时期.指出：当考虑人口总数时,情况比较复杂,因为工业技术的发展,环境污染状况以及社会制度等,都对生命系数和有重大影响.3.3 微分方程在军事问题中的应用 例4 如果交战双方在时刻的兵员数量分别为,双方的伤亡率（即兵员变化率,）均与双方兵员数量成正比,在不考虑士气的情况下,研究交战规律16.分析 军事问题也是一个实际问题,在军事交战时,交战双方的胜负要综合很多因素,现代化的军事交战则更为严重,所以此问题不考虑现代武器在内.把交战时双方的兵力、伤亡等进行模拟近视化,然后建立相应的微分方程模型,从而研究交战规律. 解 设交战的方时刻的兵员数量为,方兵员数为,则时刻各方的伤亡率分别为： （3.3.1）其中比例系数,分别为,各方的战斗威力.表现为装备及技术水平越高,系数,越大,因而给对方的杀伤越大.将方程（3.3.1）化成对称形式,得：讨论前两项,构成方程：,积分后,可得： （3.3.2）如果交战双方投入的人数各位及,即满足初始条件： （3.3.3）将初始条件（3.3.3）代入方程（3.3.2）中得：即： 特别是,当交战双方形成了均势,最后出现的情况时,必有.此时初始条件和威力系数间存在下面关系：即： （3.3.4）由式（3.3.4）可知：交战的双方如果方的威力系数大于的威力系数,当威力大的投入兵力为时,则威力小的方,只要投入的兵力就能形成均势的交战. 说明：如果一方的威力为另一方的2倍,为了维持均势的交战,威力小的一方只要投入对方兵力的倍即可.因此在交战中,兵力数量是主要的,其他则较为次要.3.4微分方程在经济问题中的应用一个新产品的上市,要考虑到很多因素,产品营销的成功与否直接决定了一个企业的存亡.当今,越来越多的企业需求数学建模方面的人才,在产品的推出前后都需要建立数学模型进行分析.本论文列出了这一过程中的新产品推广模型和价格调整模型,同时分析了微分方程在经济模型的建立过程中发挥的作用.3.4.1新产品推广模型例5 现有某种新产品要推向市场,其时刻的销量为.由于性能良好,每一个产品都是宣传品.试分析该产品的推广.分析 利用模拟近似法,可以设在时刻产品的销量增长率为,则它与成正比；同时设该产品的市场容量为,由统计可知增长率与尚未购买此产品的潜在顾客数量成正比.解 由分析得 其中,为综合比例系数,且.这便是本题的数学模型,且其符合Logistic方程,故可知其通解为：,当时,有,产品销量单调增加,当时,.当时,.当时,.即当销量达到最大需求量的一半时,产品最畅销；当销量不足一半时,销量迅速不断增大；当销量超过一半时,销量速度逐渐减少.研究调查表明：许多产品的销售曲线和Logistic曲线十分接近,很多分析家认为,新产品刚推广的时候,宜采用小批量生产,加强广告宣传,在产品用户达到20%和80%之间时,产品要大批量生产,产品用户超过80%时,应转变.3.4.2价格调整模型例6 某商品在时刻的售价为,社会对该商品的需求量和供给量分别是的函数和,试分析该商品的价格调整策略.分析 本题拟用模拟近似法进行求解,故可以假设商品的需求量和供给量都已经把竞争对手和季节等因素考虑在内.在经济学中,在时刻的价格对于时间的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量成正比.解 因为与成正比,即有微分方程: 这便是本题的数学模型,在和确定时,可以得到价格和时间的函数关系,这便是商品的价格调整模型.商品的价格变化主要是服从于市场供求关系,通常,商品供给量是价格的单调递增函数,商品需求量是价格的单调递减函数,为了简单起见,该商品的供给函数和需求函数分别为： (3.4.1)其中均为常数,并且.当供给量与需求量相等时,由式（3.4.1）可得到供求平衡时的价格：并称为均衡价格.一般情况下,当某种商品供不应求即时,该商品价格提升；当供大于求即时,该商品价格下降.因此,假定时刻的价格的变化率与超额需求量成正比,则有方程：其中,这便是用来反映价格的调整速度将式（3.4.1）代入方程可得： (3.4.2)其中常数,此方程是一阶微分方程,故方程（3.4.2）的通解为：假设初始价格,代入上式得,于是上述价格的调整模型的解为：由于知道,时,由此表明,随着时间的不断推延,实际价格将逐渐趋近均衡价格本题求出的结果可以知道,随着时间的推移,该商品的市场渐渐成熟,而商品的实时价格也会渐渐逼近均衡价格这些结果和经济学中的相关理论吻合,从这些可以看出微分方程在经济学中发挥的作用可见一斑3.5 微分方程在医学问题中的应用随着整个科学技术的数学化,现代医学也加快了向数学化发展的速度普遍有效地应用数学方法解决医学科研中的问题,提示其中的数量规律性,已成为现代医学发展的潮流这种提示医学问题中各变量之间关系的解析式,成为数学模型而微分方程则是建立这种数学模型的最为广泛、有力的工具之一.本节,我们列举传染病模型的例子分析微分方程在医学问题中的应用.例7 随着卫生设施的改善,医疗水平的提高及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制.但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来,20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球,至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间,给人们的生命财产带来了极大的危害.长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等,一直是有关专家关注的一个热点问题.分析 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识.我们在这里不可能从医学角度一一分析各种传染病的传播特点,而只能是按照一般的传播机理来建立数学模型.所以,对于此类问题,我们只能采用模拟近似法建立微分方程模型进行解析.3.5.1模型这是一个最简单的传染病模型.设时刻的病人人数是连续、可微函数,并且每个病人每天有效接触（足以使人致病的接触）的平均人数是常数.考察到这段时间内病人人数的增加,于是就有 ,再设时,有个病人.并对上式取时的极限,得微分方程: （）方程（）的解为 （）模型（）表明,随着的增加,病人人数无限增长,这显然是不符合实际的,建模失败.上述建模失败的原因是：（1）在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人.所以在下面改进的模型中必须区别这两种人.（2）人群的总人数是有限的,不是无限的.并且随着病人人数的增加,健康人的人数在逐渐减少.因此,病人的人数不会无限地增加下去.3.5.2模型模型假设：（1）在疾病传播期内所考察地区的总人数不变,既不考虑生死,也不考虑迁移.（2）人群分为易感染者和已感染者两类,以下简称健康者和病人.并记时刻这两类人在总人数中所占的比例分别为和.（3）每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率.当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人.根据上述假设,每个病人每天可使个健康者变为病人.因为病人人数为,所以每天共有个健康者被感染.于是就是病人人数的增加率,即有 . （）又因为,再记初始时刻时的病人的比例为,则 , （）这便是本题的数学模型,可以看出方程（）是Logistic模型,它的解为： （）模型（）和方程（）的图形见图31和图32. (3-1) (3-2)由式子（）和（）及图(3-1)和图(3-2)知：（1）当时,达到最大值,这个时刻为这时病人增加得最快,可以认为是医院门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻.与成反比,因为日接触率表示该地区的卫生水平,越小卫生水平越高.所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.（2）当时,.即所有人终将被传染,全变为病人,这显然不符合实际情况.其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者.以上结果说明了建模的再次失败,为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设,在下面的两个模型中将讨论病人可以治愈的情况.3.5.3模型有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性.于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人.模型假设：模型的前三个假设与模型的假设相同.（4）每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数,称为日治愈率.病人治愈后成为仍可被感染的健康者,显然是这种传染病的平均传染期.考虑到假设（4）,模型中的（）式应修正为 （）由于,所以（）式化为 （）方程（）的解为 （）定义 （）注意到和的含义,可知是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数.利用,（）式可改写为 （）方程（）和模型（）的图形见图(3-3)和图(3-4). (3-3)(3-4)由图(3-3)和图(3-4)不难看出,接触数是一个阈值.当时,的增减性取决于的大小,但其极限值随着的增加而增加；当时病人比例越来越小,最终趋于零,这是由于传染期内健康者变成病人的人数不超过原来病人数的缘故.3.5.4模型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者（易感染者）,也非病人（已感染者）,他们已经退出传染系统.这种情况比较复杂,下面将详细分析建模过程.模型假设：（1）在疾病传播期内所考察地区的总人数不变,既不考虑生死,也不考虑迁移.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者,三类人在总人数中占的比例分别记作和.（2）病人的日接触率为常数,日治愈率为常数,传染期接触数为.由假设（1）知 （）由假设（2）知方程（）仍成立.对于病愈免疫的移出者而言应有: （）再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是和,且不妨假设移出者的初始值.则由（）、（）和（）式得: （）式（）即为我们所要建立的数学模型.由于方程（）无法求出和的解析解,因此只能采用数值计算,具体应用时,可使用数学软件来完成.在模型中是一个重要参数,由于方程（）无解析解,因此、都很难估计.而当一次传染病结束后,可以获得和,这时可采用下式对进行估计 （）当同样的传染病到来时,如果估计、没有多大变化,那么就可以用上面得到的分析这次传染病的蔓延过程.结 论微分方程建立的数学模型所具备的优点和作用可见一斑,但是本文没有夸大在建立数学模型时常微分方程的比重,而是在其发挥的实际优势与指导意义上作了简单研究.从我们大学学习目的来看,一门专业的开设,就是为了更好地创造价值、服务生活.当然,纯粹地研究微分方程并不是本学科的目的,微分方程真正的研究是为了将不容易解决的生产生活实际问题里的难题用微分方程辅助以解决.本文对微分方程在物理、生物、军事、经济和医学五个方面的应用作了研究.在问题的解决过程中,利用了微分方程和数学建模将生产生活实际与数学理论巧妙的结合了起来,从而把实际问题转化为了数学问题,从而简化了解决问题的方式.正因为微分方程的这种便利,才使得它的应用越来越广泛,才使得它活跃于各个学科之间.参考文献1肖勇.常微分方程在数学建模中的应用N.荆楚理工学院学报,2009(11):50522辛春元.例谈微分方程在实际问题中的简单应用N.赤峰学院院报,2013-11(11):1-2.3王高雄.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2007.4李晓红.常微分方程数值解法及其应用D.2008.5Spinger-Veriag.Ordinary Differential EquationsM.世界图书出版社,2005.6许贝.浅谈应用常微分方程求解物理问题J.成功(教育).2011(8):286.7郭爽,李秀丽,高云伟.如何利用微分方程理论进行数学建模N.大庆师范学院院报,2007-4-6(7).8张树民.微